贵州省北京师范大学贵阳附中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 含解析

贵州省北京师范大学贵阳附中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 含解析

北师大贵阳附中2019—2020学年第一学期期中考试 高一数学 第I卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.已知集合，则集合真子集的个数为（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题可得,,结合可求出集合,进而可求出集合真子集的个数.‎ ‎【详解】由题意,,解得,又因为,所以或,‎ 故,则集合的真子集的个数为.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】集合有个元素,其子集有个,真子集有个.‎ ‎2.下列四个函数中，在区间上单调递增的函数是 （　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】分别画出各个函数的图象,由单调函数图象特征可知,选项B正确. 故选B. A．  B. C.  D.‎ 本题主要考查函数的单调性的判断和证明,增函数的图象特征,属于基础题 ‎3.已知，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 令，则，所以，故选B.‎ ‎4.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的定义域求出的定义域，再根据的定义域求出的定义域．‎ ‎【详解】解：函数的定义域为，即，‎ ‎，即的定义域为，‎ ‎，解得，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的定义域的求法，是基础题．‎ ‎5.定义在上的奇函数满足，且当时，，则（ ）‎ A. B. ‎2 ‎C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等式可得函数的周期，得到，再由奇函数的性质得，根据解析式求出，从而得到 的值.‎ ‎【详解】因为，所以的周期，‎ 所以，故选D.‎ ‎【点睛】由等式得函数的周期，其理由是：为函数自变量的一个取值，为函数自变量的另一个取值，这两个自变量的差始终为4，函数值始终相等，所以函数的周期为4.‎ ‎6.函数的单调递增区间为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出定义域,再利用同增异减以及二次函数的图像判断单调区间即可.‎ ‎【详解】令,得f(x)的定义域为,根据复合函数的单调性规律,即求函数在上的减区间,根据二次函数的图象可知为函数的减区间.‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查对数函数的定义域以及复合函数的单调区间等,属于基础题型.‎ ‎7.函数的大致图象是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎∵函数 ，可得 ，  是奇函数，其图象关于原点对称，排除C，D；当时， ，令 得：，得出函数在上是增函数，排除B，故选A.‎ 点睛：在解决函数图象问题时，主要根据函数单调性、奇偶性作出判断.本题首先根据，得出是奇函数，其图象关于原点对称.再利用导数研究函数的单调性，从而得出正确选项．‎ ‎8.已知幂函数，若，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断函数的单调性,然后利用单调性可得到关于的不等式,求解即可.‎ ‎【详解】幂函数的定义域为,且是定义域上的减函数,‎ 因为,所以,解得.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查幂函数的单调性的应用,考查了不等式的解法,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.‎ ‎9.三个数的大小顺序是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由指数函数和对数函数的图象与性质得，即可求解．‎ ‎【详解】由指数函数和对数函数的图象与性质可知：，‎ 所以，故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数与对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎10.已知是上的减函数，那么的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用分段函数在上为递减函数,列式解不等式组可得.‎ ‎【详解】因为是上的减函数,‎ 所以,即,解得,‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了分段函数的单调性,属于中档题.‎ 第II卷 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）‎ ‎11.集合{x|x1}用区间表示为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：集合{x|x＜1}表示小于等于1的实数，用区间表示为 考点：集合的表示法 ‎12.设：是集合到集合的映射，若，则_________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合映射的概念,先求出集合中可能有的元素,然后与集合取交集即可.‎ ‎【详解】由题意得,或,解得或.‎ 若,则,‎ 若,则.‎ 即或.‎ 故答案为:或.‎ ‎【点睛】本题考查了映射概念的应用,考查了集合的交集的运算,考查了学生的推理能力,属于基础题.‎ ‎13.函数f(x)＝loga(x－2)必过定点________．‎ ‎【答案】(3，0)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数图像的变换分析得解.‎ ‎【详解】由题意得，函数y＝logax恒过点(1，0)，‎ 函数y＝logax向右平移2个单位，可得y＝loga(x－2)的图象，‎ 所以函数y＝loga(x－2)图象必经过定点(3，0)．‎ 故答案为(3，0)‎ ‎【点睛】本题主要考查对数函数图像的定点问题和图像的变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎14.已知函数，则的解析式为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用换元法求解析式即可 ‎【详解】令，则 ‎ 故 故答案为 ‎【点睛】本题考查函数解析式的求法，换元法是常见方法，注意新元的范围是易错点 ‎15.已知函数若方程恰有三个不同的实数解..，则的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过作出函数图像，将三个实数解问题转化为三个交点问题，可得m的取值范围，于是再解出c的取值范围可得最后结果.‎ ‎【详解】作出函数图像，由图可知，恰有三个不同的实数解，于是，而，，解得，故，所以的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数图像的运用，分段函数的交点问题，意在考查学生的转化能力，图像识别能力，对学生的数形结合思想要求较高.‎ 三、解答题（本大题共5小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎16.计算下列各式：‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）．‎ ‎【答案】（1）；（2）3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出,再结合,代入原式可求出答案;‎ ‎（2）结合对数的运算性质,化简即可.‎ ‎【详解】（1）因为,所以,‎ 又,‎ 则.‎ ‎（2）.‎ ‎【点睛】本题考查了对数的运算性质,考查了有理数的指数幂的化简求值,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.‎ ‎17.已知全集，集合，，．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别求出集合与,然后将和集合取交集即可;‎ ‎（2）先求出,再由,可分和两种情况讨论,可求出的取值范围.‎ ‎【详解】（1）由题意,,解得,‎ 即集合,则或,‎ 又,所以;‎ ‎（2）,,‎ 若,则,解得;‎ 若,则,解得.‎ 故的取值范围是或.‎ ‎【点睛】本题考查了集合间的交集、并集和补集的运算,考查了不等式的解法,考查了集合间的包含关系,考查了学生的运算求解能力,属于中档题.‎ ‎18.近年来，雾霾日趋严重，雾霾的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题，某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律，每生产该型号空气净化器（百台），其总成本为（万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入（万元）满足，假定该产品销售平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：‎ ‎（1）求利润函数的解析式（利润=销售收入-总成本）；‎ ‎（2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？‎ ‎【答案】（Ⅰ） ;（Ⅱ）12 .‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先求得，再由，由分段函数式可得所求；（2）分别求出各段的最大值，注意运用一次函数和二次函数的单调性求最值法，然后比较两个最值即可得到结果.‎ 试题解析：（1）由题意得 ‎ ‎∴ . ‎ ‎（2）当时， 函数递减，∴万元 ‎ 当时，函数 当时，有最大值60万元 ‎ 所以当工厂生产12百台时，可使利润最大为60万元 . ‎ ‎ 【方法点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是构造分段函数，构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏，分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者).‎ ‎19.已知函数．‎ ‎（1）探究的单调性，并证明你的结论；‎ ‎（2）求满足的的范围．‎ ‎【答案】（1）函数是上的增函数,证明见详解；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）函数是上的增函数,用定义法证明单调性即可;‎ ‎（2）由函数的单调性,并结合,可得到关于的不等式,求解即可.‎ ‎【详解】（1）函数是上的增函数.‎ 证明:函数的定义域为,任取,且,则,‎ 因为,所以,‎ 又,,‎ 故,即,‎ 所以函数是上的增函数.‎ ‎（2）函数是上的增函数,又,‎ 所以,解得.‎ 故满足不等式的的范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了函数单调性的证明,考查了函数单调性的应用,考查了学生的推理能力,属于中档题.‎ ‎20.已知函数．‎ ‎（1）若函数的图象与直线没有交点，求的取值范围；‎ ‎（2）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）函数没有交点,即方程没有解,可得到方程无解,构造函数,求其值域,进而可求出的取值范围;‎ ‎（2）两函数只有一个公共点,即方程只有一个解,结合对数的运算性质及二次函数的性质,分类讨论可求出的取值范围.‎ 详解】（1）由题意,方程无解,即方程无解,‎ 令,则函数与的图象无交点.‎ ‎,‎ 令,因为,所以,‎ 因为函数是上的增函数,所以的值域是,即函数的值域为.‎ 故只需,可使函数与的图象无交点.‎ 即的取值范围是.‎ ‎（2）由题意,方程只有一个解,‎ ‎,‎ 即方程为,‎ 则方程只有一个解,‎ 令,则,整理得,该方程有且仅有一个正解.‎ ‎①当时,则,解得,不符合题意,舍去;‎ ‎②当时,则为开口向上的二次函数,当时,,‎ 显然,二次函数存在唯一正零点,即方程有且仅有一个正解,符合题意;‎ ‎③当时,则为开口向下的二次函数.‎ 若一元二次方程有两个相同正解,则,解得或.‎ 时,解得,不合题意,舍去;时,解得,符合题意;‎ 若一元二次方程有两个不同的解,且只有一个正解,则,解得或,且,即,不符合,舍去.‎ 综上,的取值范围是或.‎ ‎【点睛】本题考查了对数的运算性质,考查了两函数图象交点与方程解的关系,考查了分类讨论的数学思想在解题中的应用,考查了学生的推理能力与计算求解能力,属于难题.‎