江苏省扬州市广陵区扬州市新华中学2019-2020学年高二10月月考数学试题

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江苏省扬州市新华中学2019-2020学年高二（上）第一次月考数学试卷 一、选择题（本大题共有12小题，每题5分，共60分）‎ ‎1.已知数列的一个通项公式为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把数列，化简为，利用归纳法，即可得到数列的一个通项公式，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，数列，可化为，所以数列的一个通项公式为，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用归纳法求解数列的通项公式，其中解答中把数列，化简为，合理归纳是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎2.在等差数列中，，，则＝（ ）‎ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据等差中项性质求得，进而得到；利用求得结果.‎ ‎【详解】由题意知： ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查等差数列性质和通项公式的应用，属于基础题.‎ ‎3.设等比数列的公比，前项和为，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等比数列的前n项和公式表示出 ,利用等比数列的通项公式表示出，计算即可得出答案。‎ ‎【详解】因为，‎ 所以 故选C ‎【点睛】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式，属于基础题。‎ ‎4.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要谁推，这位公公年龄最小的儿子年龄为（ ）‎ A. 8岁 B. 11岁 C. 20岁 D. 35岁 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 九个儿子的年龄成等差数列，公差为3．‎ ‎【详解】由题意九个儿子的年龄成等差数列，公差为3．记最小的儿子年龄为，则，解得．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的应用，解题关键正确理解题意，能用数列表示题意并求解．‎ ‎5.已知等差数列的前n项和为，则 A. 140 B. 70 C. 154 D. 77‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的前n项和公式，及等差数列的性质，即可求出结果.‎ ‎【详解】等差数列的前n项和为，‎ ‎.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的前n项和的求法和等差数列的性质，属于基础题.‎ ‎6.数列各项均为正数，且满足，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，则为以1为首项1为公差的等差数列，写出的通项公式，反解出的通项公式，带入1024计算即可得出答案。‎ ‎【详解】因为，‎ 所以数列为以1为首项1为公差的等差数列，‎ 所以 所以 故选D ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式，属于基础题。‎ ‎7.在等比数列中，已知，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据求出等比数列的公比，令 则所求式子为等比数列的前n项和。‎ ‎【详解】因为所以 ‎ 令 则 故选D ‎【点睛】本题考查等比数列前n项和公式，属于基础题。‎ ‎8.设正项等比数列的首项，前项和为，且，则公比的值为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 化简等式可得到，解出即可得出答案。‎ ‎【详解】化简得 因为为等比数列，为其前项和，所以 所以 故选A ‎【点睛】本题考查等比数列的性质，属于基础题。掌握性质：为等比数列，为其前项和，，是解题的关键。‎ ‎9.已知是等差数列( )的前项和，且,以下有四个命题：‎ ‎①数列中的最大项为 ②数列的公差 ‎③ ④‎ 其中正确的序号是（ ）‎ A. ②③ B. ②③④ C. ②④ D. ①③④‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵，∴，∴‎ ‎∴数列中的最大项为，‎ ‎，‎ ‎∴正确的序号是②③④‎ 故选：B ‎10.已知数列的通项公式为，那么满足的整数（ ）‎ A. 有3个 B. 有2个 C. 有1个 D. 不存在 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为，检验，时，‎ ‎，不合题意.‎ 时，‎ ‎，满足题意 由对称性知，.所以，均满足题意 ‎11.各项为正数的数列的前项和为，且，当且仅当和时成立，那么的取值范围是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令n=1解出 将，配凑成，‎ 故数列为以为首项为公比的等比数列，‎ 写出数列的通项公式，解出的表达式，‎ 根据当且仅当和时成立，即即可解出的取值范围。‎ ‎【详解】当n=1时 因为 所以，又 所以 当n=1时 当n=2时 当n=3时，‎ 因，，所以单调递增 所以 故选A ‎【点睛】本题考查根据一阶线性递推公式求通项公式，数列的单调性，属于中档题。‎ ‎12.等比数列中，，使不等式成立的最大自然数是（）‎ A. 4 B. 5 C. 6 D. 7‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列的前n项和公式分别写出等比数列的前n项和为与等比数列的前 n项和为，不等式等价于代入解不等式，即可得出答案。‎ ‎【详解】由题意知 等比数列的前n项和为 等比数列的前n项和为 不等式等价于 即将代入化简得又因 所以，‎ 故使不等式成立的最大自然数是5‎ 选B ‎【点睛】本题考查等比数列的前n项和公式，解不等式。属于中档题。‎ 二、填空题（本大题共有4小题，每题5分，共20分）‎ ‎13.三个数成等比数列，它们的和为14，积为64，则这三个数按从小到大的顺序依次为__________.‎ ‎【答案】2,4,8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出这三个数根据题意联立方程组，解方程组即可得出答案。‎ ‎【详解】设这三个数为 则或 所以三个数按从小到大为2,4,8‎ ‎【点睛】本题考查等比数列，属于基础题。‎ ‎14.已知数列的首项，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 两边取倒数即可得出数列为以1为首项1为公差的等差数列，求出数列的通项公式，化简即得出数列的通项公式，代入2019即可得出答案。‎ ‎【详解】因为所以，‎ 所以数列为以1为首项1为公差的等差数列即 所以，‎ 故填 ‎【点睛】本题考查根据递推公式求数列通项，属于基础题。‎ ‎15.已知数列的前项和为，其首项，且满足，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用公式，化简即可得出 与的递推关系，再利用类乘法计算出数列的通项公式。‎ ‎【详解】当n=1时恒成立 当时 ‎ 所以 ‎ 当n=1时满足 所以 故填 ‎【点睛】本题考查已知数列与的关系，求通项公式，掌握理解公式是解本题的关键，属于基础题。‎ ‎16.在数列中，，，若，则的前项和取得最大值时的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解法一：利用数列的递推公式，化简得，得到数列为等差数列，求得数列的通项公式，得到，，得出所以，，，，进而得到结论；‎ 解法二：化简得，令，求得，进而求得 ‎，再由，解得或，即可得到结论．‎ ‎【详解】解法一：因为①‎ 所以②，‎ ‎①②，得即，所以数列为等差数列．‎ 在①中，取，得即，又，则，‎ 所以．因此，‎ 所以，，‎ ‎，‎ 所以， ‎ 又，所以时，取得最大值．‎ 解法二：由，得，‎ 令，则，则，‎ 即，‎ 代入得，‎ 取，得，解得，又，则，故 所以，于是．‎ 由，得，解得或，‎ 又因为，，‎ 所以时，取得最大值．‎ ‎【点睛】本题主要考查了数列的综合应用，以及数列的最值问题的求解，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，合理利用数列的性质是关键，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等，属于中档试题.‎ 三、解答题（本大题共有6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.设是等差数列，，且成等比数列.‎ ‎（1）求通项公式；‎ ‎（2）记的前项和为，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意列方程组，解方程组即可得出，再写出数列的通项公式即可。‎ ‎（2）解出得到，即等差数列的前5项为负，第6项为0，其前n项和的最小值为前5项或者前6项的和。‎ ‎【详解】（1）由题意知 解得，‎ 所以 ‎（2）解得，‎ 所以 ‎【点睛】本题考查等差数列，等差数列前n项和的最值，属于基础题。‎ ‎18.已知非零数列满足，且的等差中项为6.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由知数列为以3为公比的等比数列，再利用等差中项求出首项，即可。‎ ‎（2）将代入，计算出，再求和即可得出答案。‎ ‎【详解】（1）非零数列满足，数列为以3为公比的等比数列；‎ 当n=1时①‎ 因为 的等差中项为6，所以②‎ 联立①②得， ‎ 所以 ‎（2）将代入得到 所以 所以 ‎【点睛】本题考查等比数列的通项，裂项相消求前n项和。属于基础题。‎ ‎19.已知递增等比数列，，，另一数列其前项和.‎ ‎（1）求、通项公式；‎ ‎（2）设其前项和为，求.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由等比数列的性质得出，可求出和的值，求出等差数列的首项和公式，可得出数列的通项公式，然后利用求出数列的通项公式；‎ ‎（2）求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求出.‎ ‎【详解】（1）设等比数列的公比为，由题意可知，‎ 由等比数列的性质可得，所以，解得，‎ ‎，得，.‎ 当时，；‎ 当且时，.‎ 也适合上式，所以，；‎ ‎（2），‎ ‎，‎ 则，‎ 上式下式，得 ‎ ，‎ 因此，.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列通项的求解，考查利用前项和求通项以及错位相减法求和，解题时要注意错位相加法所适用的数列通项的结构类型，熟悉错位相减法求和的基本步骤，难点就是计算量大，属于常考题型。‎ ‎20.某创业投资公司计划在2010年向某企业投入800万元用于开发新产品，并在今后若干年内，每年的投入资金都比上一年减少20%.估计2010年可获得投资回报收入400万元，由于该项投资前景广阔，预计今后的投资回报收入每年都会比上一年增加25%.‎ ‎（Ⅰ）设第年（2010年为第一年）的投入资金为万元，投资回报收入为万元，求和的表达式；‎ ‎（Ⅱ）从哪一年开始，该投资公司前几年的投资回报总收入将超过总投入?‎ ‎【答案】（Ⅰ），‎ ‎（Ⅱ）2014‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据题意分别写出首项与公比，即可写出和的表达式。‎ ‎（Ⅱ）分别计算出前年的投入与回报的和再解不等式，即可得出答案。‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题意知， 所以 ‎，所以 ‎（Ⅱ）前年共投入 ‎ 前年投资回报总收入 解得 即，‎ 即从2014年开始该投资公司前几年的投资回报总收入将超过总投入。‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的应用，属于基础题。‎ ‎21.‎ 设数列的前项和为．已知，，．‎ ‎（Ⅰ）设，求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，，求的取值范围． ‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（Ⅰ）依题意，，即，由此得，因此，．当时，为等比数列，首项是，公比，所求通项公式为，；当时，，，也适合上式，故数列的通项公式为；（Ⅱ）由通项可知，，‎ 当时，，，所以 ‎（），当n=1时再验证一下 试题解析：（Ⅰ）依题意，，即，‎ 由此得，因此，．‎ 当时，为等比数列，首项是，公比，‎ 所求通项公式为，．①‎ 当时，，，也适合①．‎ 故数列的通项公式为，．‎ ‎（Ⅱ）由①知，，‎ 于是，当时，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当时，．又．‎ 综上，所求的的取值范围是．‎ 考点：数列性质及其恒成立问题 ‎22.设数列的前项和为，若对任意，都有，则称数列具有性质P.‎ ‎（1）若数列是首项为1，公比为2的等比数列，试判断数列是否具有性质P；‎ ‎（2）若正项等差数列具有性质P，求数列的公差；‎ ‎（3）已知正项数列具有性质P，，且对任意，有，求数列的通项公式.‎ ‎【答案】（1）数列不具有性质P ‎（2）0‎ ‎（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意写出，，带入看是否对任意恒成立。‎ ‎（2）根据题意写出，，带入对任意恒成立解出公差d即可。‎ ‎（3）令m=1解出，得到，由等式说明数列为以4位首项4为公比的等比数列，计算出数列的通项公式，再计算出数列的通项公式即可。‎ ‎【详解】（1）由题意知，，，‎ ‎，无解，‎ 所以数列不具有性质P ‎（2）为等差数列，，，‎ 又因 所以对于任意的恒成立。即 ‎ 数列的公差为0‎ ‎（3）令m=1得，又为正项数列，所以 又 ‎ 所以 又 ， ‎ 所以 ‎【点睛】本题考查等差数列、等比数列的前n项和公式，构造等比数列求数列通项，属于难题。‎ ‎ ‎ ‎ ‎