宁夏银川唐徕回民中学2019-2020学年高一12月数学试题

宁夏银川唐徕回民中学2019-2020学年高一12月数学试题

银川唐徕回民中学2019-2020学年第一学期12月月考高一年级数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简集合P，再由，即求解.‎ ‎【详解】因为，‎ 又因为，‎ 所以 ‎ 所以 ‎ 故选:B ‎【点睛】本题主要考查集合的基本关系，属于基础题.‎ ‎2.若二次函数f(x)＝4x2－2(t－2)x－2t2－t＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值m，使得f(m)>0，则实数t的取值范围（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数f（x）的图象是开口向上的抛物线，故二次函数f（x）在区间[﹣1，1]内至少存在一个实数m，使得f(m)>0的否定为：对于区间[﹣1，1]内的任意一个x都有f（x）≤0，即f（﹣1），f（1）均小于等0，由此可以构造一个关于t的不等式组，解不等式组，找出其对立面即可求出实数t的取值范围．‎ ‎【详解】二次函数f（x）在区间[﹣1，1]内至少存在一个实数m，使f（m）＞0，‎ 该结论的否定是：对于区间[﹣1，1]内的任意一个x都有f（x）≤0，‎ 由，求得t≤﹣3或t≥．‎ ‎∴二次函数在区间[﹣1，1]内至少存在一个实数m，使f（m）＞0的实数t的取值范围是：（﹣3，），‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了一元二次方程根的分布和二次函数的单调性和值域等知识，属于中档题．同学们要注意解题过程中运用反面的范围，来求参数取值范围的思路，属于中档题．‎ ‎3.已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意，都有成立，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数是定义在上的奇函数，且，结合，推知 的周期为4求解.‎ ‎【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且，‎ 所以，‎ 又因为，‎ 令 得，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以 的周期为4，‎ ‎.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查函数的周期性的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.‎ ‎4.设均为正数，且，，．则（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：在同一坐标系中分别画出，，的图象，‎ 与的交点的横坐标为，与的图象的交点的横坐标为，与的图象的交点的横坐标为，从图象可以看出．‎ 考点：指数函数、对数函数图象和性质的应用．‎ ‎【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解．‎ ‎5.函数在单调递减，且为奇函数.若，则满足的x取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇函数的性质由，可以求出的值，再利用函数的单调性结合已知，可以求出x取值范围.‎ ‎【详解】为奇函数，.‎ ‎，.‎ 故由，得.‎ 又在单调递减，，‎ ‎.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了利用奇函数的单调性求解不等式问题，考查了数学运算能力.‎ ‎6.一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削，打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. 5 D. 6‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图知，几何体是一个底面为直角三角形，高为12的直三棱柱，若使球最大，则球的半径为正视图内切圆的半径求解.‎ ‎【详解】由三视图知，几何体是一个底面为直角三角形，高为12的直三棱柱，‎ 若使球最大，则球的半径为正视图内切圆的半径，‎ 即， ‎ 解得： .‎ 所以能得到的最大球的半径等于2.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查三视图的应用以及组合体问题，属于基础题.‎ ‎7.球面上有四个点，如果两两互相垂直，且，则球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两两互相垂直，且，构成一个以为邻边的正方体，再根据在球面上，得到正方体的体对角线的长为球的直径.‎ ‎【详解】因为两两互相垂直，且，‎ 所以可以构成一个以为邻边的正方体，‎ 又因为在球面上，‎ 所以球是正方体的外接球，‎ 所以正方体的体对角线的长为球的直径，‎ 即，‎ 所以 ，‎ 所以球的表面积为 .‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查与球有关的组合体问题，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.‎ ‎8.正四面体的棱长为为该正四面体内任一点，则点到该正四面体各个面的距离之和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得正四面体的体积，再根据正四面体的体积等于四个小三棱锥的体积之和求解.‎ ‎【详解】如图所示：‎ ‎ 面 ，， ‎ 所以 ，‎ ‎ ，‎ 所以 正四面体 = .‎ 因为正四面体的体积等于四个小三棱锥的体积之和，‎ 设点到该正四面体各个面的距离分别为 ‎ 四个面的面积都为： ，‎ 所以正四面体的体积为： ，‎ 所以 ，‎ 所以 .‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查正四面体的体积及应用，还考查了转化思想和求解问题的能力，属于中档题.‎ ‎9.某三棱锥的三视图如图所示，其侧视图为直角三角形，则该三棱锥外接球的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图，该几何体是底面为直角三角形，侧面垂直于底面，高为5的三棱锥，可以补成一个以3，4，5为邻边的长方体，外接球的直径为长方体的体对角线的长.‎ ‎【详解】由三视图可知：该几何体是底面为直角三角形，侧面垂直于底面，高为5的三棱锥，可以补成一个以3，4，5为邻边的长方体，外接球的直径为长方体的体对角线的长，‎ 即 ，‎ 所以，‎ 所以外接球的体积为. ‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查三视图的应用以及与球有关的组合体问题，还考查了转化思想和求解问题的能力，属于中档题.‎ ‎10.已知函数的最大值为，最小值为，则（ ）‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，易知是奇函数，则，再由求解.‎ ‎【详解】因为，‎ 令，‎ 因为，‎ 所以是奇函数，‎ 所以，‎ 所以.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于常考题.‎ ‎11.用表示两数中的最小值，若函数的图像关于直线对称，则的值为（ ）‎ A. B. ‎1 ‎C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，根据，得到，再根据函数的图像关于直线对称，有求解.‎ ‎【详解】令，‎ 因为，‎ 所有，‎ 因为函数的图像关于直线对称，‎ 所以，‎ 所以，‎ 解得.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查函数对称性的应用，还考查了特殊与一般的思想方法，属于中档题.‎ ‎12.已知函数，若关于的方程有7个不同实数解则（ ）‎ A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 作出函数的图象，令，由图象可知 有4个不等实根，时，有3个不相等的实数根，时无实根.题中原方程有且只有7个不等实根，即有两个实根，一根为0，另一根大于零，则，所以选A.‎ ‎【点睛】涉及较复杂复合型的方程的根的个数问题解决方法是换元法，令，先画出函数的图象，根据根的个数判断原方程的根应该有几个，每个根应在哪个区间？问题转化为一元二次方程的根的分布问题，利用一元二次方程的根的分布列不等式，求出参数的取值范围.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.如图，的直观图为等腰直角，其中，则的面积为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算出直观图的面积，再利用平面图形的面积与直观图的面积比为求解.‎ ‎【详解】因为的直观图为等腰直角，且 所以 ，‎ 因为平面图形的面积与直观图的面积比为 ‎ 所以 ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查斜二测画法以及原图形与直观图的面积比，属于基础题.‎ ‎14.已知（且），则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数的运算法则，将，转化为，再构造转化为求解.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以，‎ 即，‎ 所以，‎ 解得 .‎ ‎.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查对数运算法则的简单应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.‎ ‎15.已知函数的值域为，则实数的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，根据值域为，则取遍 所有的实数，即求解.‎ ‎【详解】令 因为的值域为，‎ 所以取遍 所有的实数 所以 解得 故答案为： ‎ ‎【点睛】本题主要考查复合函数的值域问题，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.‎ ‎16.设,是二次函数，若的值域是，则的值域 是___________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：的图像如下图所示，又因为是二次函数，且的值域是，‎ 则值域是.‎ 考点：函数的图像与值域.‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17.已知集合，，．‎ ‎（1）若，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由补集的运算求出，由条件和并集的运算求出实数的取值范围．‎ ‎（2）由得，分类讨论与，求出实数的取值范围 ‎【详解】解：（1），或.‎ 又，，，即实数的取值范围是.‎ ‎（2），.‎ 当时，符合题意.‎ 当时，由得，故，‎ 当时，不等式的解集为空集；‎ 当时，解得.‎ 综上可知，实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查并、补集的混合运算，以及求参数的范围，属于基础题．‎ ‎18.设函数的定义域为，对任意有，且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求证是偶函数，且.‎ ‎【答案】（1）1（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据，采用赋值法令 求解.‎ ‎（2）采用赋值法令 得，再利用奇偶性的定义证明.，令 得，再根据证明.‎ ‎【详解】（1）因，‎ 令 得，‎ 所以；‎ ‎（2）令 得，‎ 所以，‎ 所以是偶函数.‎ 令 得，‎ 因为 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查抽象函数的应用和赋值法研究函数奇偶性、对称性，还考查了探究解决问题的能力，属于中档题.‎ ‎19.已知函数.‎ ‎（1）求的值； ‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）1（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据函数，直接代入求解.‎ ‎ ‎ ‎（2）根据 ‎ 令，再利用倒序相加法求解.‎ ‎【详解】（1）因为函数，‎ 所以， ‎ ‎ . ‎ ‎（2），‎ ‎ .‎ 令，‎ 所以，‎ 两式相加得： ，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查求函数值以及倒序相加法求和，还考查了运算求解问题的能力，属于中档题.‎ ‎20.已知正三棱锥，一个正三棱柱的一个底面的三个顶点在正三棱锥的三条侧棱上，另一底面在正三棱锥的底面上，若正三棱锥的高为15，底面边长为12，内接正三棱柱的侧面积为120.‎ ‎（1）求三棱柱的高； ‎ ‎（2）求棱柱的上底面截棱锥所得的小棱锥与原棱锥的侧面积之比.‎ ‎【答案】（1）10或5（2） 或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设正三棱柱的高为 ，底面边长为 ，根据相似比有，再根据正三棱柱的侧面积为120，有，两式联立求解. ‎ ‎（2）根据面积之比等于相似比的平方，结合（1）的结论求解.‎ ‎【详解】（1）设正三棱柱的高为 ，底面边长为 ，如图所示:‎ 则 解得 ‎ 又因为正三棱柱的侧面积为120.‎ 所以 ‎ 所以 ‎ 解得 或 所以三棱柱的高是10或5.‎ ‎（2）因为面积之比等于相似比的平方，‎ 所以棱柱的上底面截棱锥所得的小棱锥与原棱锥的侧面积之比：或 .‎ ‎【点睛】本题主要考查空间几何体中的截面以及相似比、侧面积等问题，还考查了平面与空间的转化求解问题的能力，属于中档题.‎ ‎21.三棱锥的三视图如图所示，.‎ ‎（1）求该三棱锥的表面积；‎ ‎（2）求该三棱锥内切球的体积.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据三视图可知，此三棱锥的底面是腰长为6的等腰直角三角形，顶点 在底面上的摄影是底面直角三角形斜边的中点，且三棱锥的高为4，要求表面积，再利用三视图，明确，，上的高即可.‎ ‎（2）根据三棱锥的体积等于以球心为顶点，三棱锥的四个面为底的小三棱锥的体积之和求解.‎ ‎【详解】（1）如图所示：‎ 由三视图可知，此三棱锥的底面是腰长为6的等腰直角三角形 ，且 ，顶点 在底面上的摄影是底面直角三角形斜边的中点，且三棱锥的高为4，‎ 在中，边上的高为5，‎ 在中，边上的高为5，‎ 在中，边上的高为4，‎ 所以该三棱锥的表面积 ‎ ‎（2）设内切球的球心为 ，半径为 ‎ 则由 ‎ 得 ‎ 解得 ，‎ 所以该三棱锥内切球的体积 ‎【点睛】本题主要考查三视图的应用，空间几何体的表面积，体积，组合体等，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.‎ ‎22.已知函数在区间上有最大值，最小值，设.‎ ‎（1）求 的值； ‎ ‎（2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎(1)由题意得到关于实数a,b的方程组，求解方程组可得；‎ ‎(2)不等式恒成立转化为，结合二次型复合函数的性质和恒成立的条件可得实数的取值范围是.‎ 试题解析：‎ 解：（1），‎ 当时, 在上增函数，故，‎ 当时, 在上为减函数，故，‎ ‎.‎ ‎（2）,不等式化为，‎ ‎，令，则，，记，‎ ‎.‎ 点睛：在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．‎