【数学】2021届一轮复习北师大版（理）第7章第1节不等式的性质与一元二次不等式学案

【数学】2021届一轮复习北师大版（理）第7章第1节不等式的性质与一元二次不等式学案

全国卷五年考情图解 高考命题规律把握 ‎1.考查形式 高考在本章一般命制1～2个小题，分值5～10分．‎ ‎2.考查内容 ‎(1)小题主要考查：一元二次不等式的解法、简单的线性规划中线性目标函数的最值求法、简单的逻辑推理题等．‎ ‎(2)大题主要考查：应用基本不等式求最值(或范围)、运用演绎推理、直接证明与间接证明以及数学归纳法证明代数或几何问题．‎ ‎3.备考策略 从2019年高考试题可以看出，高考对简单线性规划的考查会逐渐趋于淡化，对于推理与证明的思想运用会进一步加强.‎ 第一节　不等式的性质与一元二次不等式 ‎[最新考纲]　1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的算法框图．‎ ‎1．两个实数比较大小的方法 ‎(1)作差法 ‎(2)作商法 ‎2．不等式的性质 ‎(1)对称性：a>b⇔bb，b>c⇒a>c；‎ ‎(3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；‎ a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；‎ ‎(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；‎ a>b，c<0⇒acb>0，c>d>0⇒ac>bd；‎ ‎(5)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n≥2，n∈N)；‎ ‎(6)开方法则：a>b>0⇒>(n≥2，n∈N)；‎ ‎(7)倒数性质：设ab>0，则a.‎ ‎3．“三个二次”的关系 判别式 Δ＝b2－‎‎4ac Δ>0‎ Δ＝0‎ Δ<0‎ 二次函数 y＝ax2＋bx＋c ‎(a>0)的图像 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0‎ ‎(a>0)的根 有两相异实根 x1，x2(x10 ‎ ‎(a>0)的解集 ‎{x|xx2}‎ R ax2＋bx＋c<0 ‎ ‎(a>0)的解集 ‎{x|x1b＋d D．a＋d>b＋c C　[由同向不等式具有可加性可知C正确．]‎ ‎4．若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为，则a＋b＝________.‎ ‎－14　[由题意知x1＝－，x2＝是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，‎ 则解得(经检验知满足题意)．‎ ‎∴a＋b＝－14.]‎ 考点1　比较大小与不等式的性质 ‎　比较大小的5种常用方法 ‎(1)作差法：直接作差判断正负即可(常用变形手段：因式分解、配方、有理化、通分等)．‎ ‎(2)作商法：直接作商与1的大小比较，注意两式的符号．‎ ‎(3)函数的单调性法：把比较的两个数看成一个函数的两个值，根据函数的单调性比较．‎ ‎(4)不等式的性质法．‎ ‎(5)特殊值排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论．‎ ‎　1.若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是(　　)‎ A．a＋c≥b－c B．(a－b)c2≥0‎ C．ac＞bc D．≤ B　[(不等式的性质法)a，b，c∈R，且a＞b，可得a－b＞0，因为c2≥0，所以(a－b)c2≥0.故选B.]‎ ‎2．若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为(　　)‎ A．pq D．p≥q B　[法一： (作差法)p－q＝＋－a－b ‎＝＋＝(b2－a2)· ‎＝＝，‎ 因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.‎ 若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；‎ 若a≠b，则p－q<0，故pb时，‎3a>3b，故B不正确；因为函数y＝x3在R上单调递增，所以当a>b时，a3>b3，即a3－b3＞0，故C正确；当b1.‎ 若a<0，原不等式等价于(x－1)>0，‎ 解得x<或x>1.‎ 若a>0，原不等式等价于(x－1)<0.‎ ‎①当a＝1时，＝1，(x－1)<0无解；‎ ‎②当a>1时，<1，解(x－1)<0得1，解 (x－1)<0得11}；‎ 当01时，解集为.‎ ‎[母题探究]　将本例(2)中不等式改为x2－(a＋1)x＋a<0(a∈R)，求不等式的解集．‎ ‎[解]　原不等式可化为(x－a)(x－1)<0，‎ 当a>1时，原不等式的解集为(1，a)；‎ 当a＝1时，原不等式的解集为∅；‎ 当a<1时，原不等式的解集为(a,1)．‎ ‎　解含参不等式的分类讨论依据 提醒：含参数讨论问题最后要综上所述．‎ ‎[教师备选例题]‎ 解不等式：x2－2ax＋2≤0(a∈R)．‎ ‎[解]　对于方程x2－2ax＋2＝0，因为Δ＝‎4a2－8.‎ ‎(1)当Δ＜0，即－＜a＜时，x2－2ax＋2＝0无实根．又二次函数y＝x2－2ax＋2的图像开口向上，所以原不等式的解集为∅；‎ ‎(2)当Δ＝0，即a＝±时，x2－2ax＋2＝0有两个相等的实根，‎ 当a＝时，原不等式的解集为{x|x＝}，‎ 当a＝－时，原不等式的解集为{x|x＝－}；‎ ‎(3)当Δ＞0，即a＞或a＜－时，x2－2ax＋2＝0有两个不相等的实根，分别为x1＝a－，x2＝a＋，且x1＜x2，所以原不等式的解集为{x|a－≤x≤a＋}．‎ 综上，当a＞或a＜－时，解集为{x|a－≤x≤a＋}；当a＝时，解集为{x|x＝}；当a＝－时，解集为{x|x＝－}；当－＜a＜时，解集为∅.‎ ‎　1.(2019·济南模拟)已知不等式ax2－5x＋b>0的解集为 ，则不等式bx2－5x＋a>0的解集为(　　)‎ A. B. C．{x|－32}‎ C　[由题意知a>0，且，－是方程ax2－5x＋b＝0的两根，∴解得 ‎∴bx2－5x＋a＝－5x2－5x＋30>0，‎ 即x2＋x－6<0，‎ 解得－3a2(a∈R)．‎ ‎[解]　原不等式可化为12x2－ax－a2>0，‎ 即(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，‎ 解得x1＝－，x2＝.‎ 当a>0时，不等式的解集为∪；‎ 当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；‎ 当a<0时，不等式的解集为∪.‎ 考点3　一元二次不等式恒成立问题 ‎　在R上恒成立，求参数的范围 ‎　 一元二次不等式在R上恒成立的条件 不等式类型 恒成立条件 ax2＋bx＋c>0‎ a>0，Δ<0‎ ax2＋bx＋c≥0‎ a>0，Δ≤0‎ ax2＋bx＋c<0‎ a<0，Δ<0‎ ax2＋bx＋c≤0‎ a<0，Δ≤0‎ ‎　不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．‎ ‎(－2,2]　[当a－2＝0，即a＝2时，不等式即为－4<0，对一切x∈R恒成立，‎ 当a≠2时，则有 即∴－20时，g(x)在[1,3]上是增函数，‎ 所以g(x)max＝g(3)，即‎7m－6<0，‎ 所以m<，所以00，‎ 又因为m(x2－x＋1)－6<0，所以m<.‎ 因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m<即可．‎ 所以m的取值范围是.‎ ‎[母题探究]　若将“f(x)<5－m恒成立”改为“存在x，使f(x)<5－m成立”，如何求m的取值范围？‎ ‎[解]　由题意知f(x)<5－m有解，‎ 即m<有解，则m3}　[对任意的k∈[－1,1]，x2＋(k－4)x＋4－2k>0恒成立，即g(k ‎)＝(x－2)k＋(x2－4x＋4)>0，在k∈[－1,1]时恒成立．‎ 只需g(－1)>0且g(1)>0，即 解得x<1或x>3.]‎ ‎　解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．‎ ‎　函数f(x)＝x2＋ax＋3.‎ ‎(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎(2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎(3)当a∈[4,6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围．‎ ‎[解]　(1)∵当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，‎ 需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋‎4a－12≤0，解得－6≤a≤2.‎ ‎∴实数a的取值范围是[－6,2]．‎ ‎(2)当x∈[－2,2]时，设g(x)＝x2＋ax＋3－a≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)：‎ ‎①如图1，当g(x)的图像与x轴不超过1个交点时，‎ 有Δ＝a2－4(3－a)≤0，即－6≤a≤2.‎ ‎②如图2，g(x)的图像与x轴有2个交点，‎ 但当x∈[－2，＋∞)时，g(x)≥0，‎ 即即 可得 解得a∈∅.‎ ‎③如图3，g(x)的图像与x轴有2个交点，　‎ 但当x∈(－∞，2]时，g(x)≥0.‎ 即即 可得∴－7≤a<－6，‎ 综上，实数a的取值范围是[－7,2]．‎ ‎(3)令h(a)＝xa＋x2＋3.‎ 当a∈[4,6]时，h(a)≥0恒成立．‎ 只需即 解得x≤－3－或x≥－3＋.‎ ‎∴实数x的取值范围是 ‎(－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞)．‎