【数学】2019届一轮复习北师大版9-2两条直线的位置关系学案

【数学】2019届一轮复习北师大版9-2两条直线的位置关系学案

‎§9.2　两条直线的位置关系 最新考纲 考情考向分析 ‎1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．‎ ‎2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．‎ ‎3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.‎ 以考查两条直线的位置关系、两点间的距离、点到直线的距离、两条直线的交点坐标为主，有时也会与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇考查．题型主要以选择、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，特别是距离公式，是高考考查的重点.‎ ‎1．两条直线的位置关系 ‎(1)两条直线平行与垂直 ‎①两条直线平行：‎ ‎(ⅰ)对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.‎ ‎(ⅱ)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.‎ ‎②两条直线垂直：‎ ‎(ⅰ)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，‎ 则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.‎ ‎(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.‎ ‎(2)两条直线的交点 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．‎ ‎2．几种距离 ‎(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离 ‎|P1P2|＝.‎ ‎(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝.‎ ‎(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝ .‎ 知识拓展 ‎1．直线系方程 ‎(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．‎ ‎(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．‎ ‎2．两直线平行或重合的充要条件 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0.‎ ‎3．两直线垂直的充要条件 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.‎ ‎4．过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.‎ ‎5．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 ‎(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．‎ ‎(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(　×　)‎ ‎(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定为－1.(　×　)‎ ‎(3)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.(　√　)‎ ‎(4)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(　×　)‎ ‎(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(　√　)‎ ‎(6)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－，且线段AB的中点在直线l上．(　√　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．[P110B组T2]已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于(　　)‎ A. B．2－ C.－1 D.＋1‎ 答案　C 解析　由题意得＝1.‎ 解得a＝－1＋或a＝－1－.∵a>0，∴a＝－1＋.‎ ‎3．[P101A组T10]已知P(－2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________.‎ 答案　1‎ 解析　由题意知＝1，所以m－4＝－2－m，‎ 所以m＝1.‎ 题组三　易错自纠 ‎4．(2017·郑州调研)直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m等于(　　)‎ A．2 B．－3‎ C．2或－3 D．－2或－3‎ 答案　C 解析　直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有＝≠，故m＝2或－3.故选C.‎ ‎5．直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是______．‎ 答案　 解析　先将2x＋2y＋1＝0化为x＋y＋＝0，‎ 则两平行线间的距离为d＝＝.‎ ‎6．若关于x，y的方程组有无数多组解，则实数a＝________.‎ 答案　2‎ 解析　当a＝0时，不合题意；‎ 当a≠0时，＝＝，得a＝2，综上，a＝2.‎ 题型一　两条直线的位置关系 典例 (2018·青岛模拟)已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，‎ 求满足下列条件的a，b的值．‎ ‎(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；‎ ‎(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．‎ 解　(1)由已知可得l2的斜率存在，且k2＝1－a.‎ 若k2＝0，则1－a＝0，a＝1.‎ ‎∵l1⊥l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b＝0.‎ 又∵l1过点(－3，－1)，‎ ‎∴－3a＋4＝0，即a＝(矛盾)，‎ ‎∴此种情况不存在，‎ ‎∴k2≠0，即k1，k2都存在且不为0.‎ ‎∵k2＝1－a，k1＝，l1⊥l2，‎ ‎∴k1k2＝－1，即(1－a)＝－1.(*)‎ 又∵l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.(**)‎ 由(*)(**)联立，解得a＝2，b＝2.‎ ‎(2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，∴直线l1的斜率存在，‎ k1＝k2，即＝1－a，①‎ 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1∥l2，‎ ‎∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b，②‎ 联立①②，解得或 ‎∴a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.‎ 思维升华 (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．‎ ‎(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．‎ 跟踪训练 已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.‎ ‎(1)试判断l1与l2是否平行；‎ ‎(2)当l1⊥l2时，求a的值．‎ 解　(1)方法一　当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，‎ l2：x＝0，l1不平行于l2；‎ 当a＝0时，l1：y＝－3，‎ l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；‎ 当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1：y＝－x－3，‎ l2：y＝x－(a＋1)，‎ l1∥l2⇔解得a＝－1，‎ 综上可知，当a＝－1时，l1∥l2.‎ 方法二　由A1B2－A2B1＝0，‎ 得a(a－1)－1×2＝0，‎ 由A1C2－A2C1≠0，‎ 得a(a2－1)－1×6≠0，‎ ‎∴l1∥l2⇔ ‎⇔可得a＝－1，‎ 故当a＝－1时，l1∥l2.‎ ‎(2)方法一　当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，‎ l1与l2不垂直，故a＝1不成立；‎ 当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2，‎ 故a＝0不成立；‎ 当a≠1且a≠0时，‎ l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，‎ 由·＝－1，得a＝.‎ 方法二　由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2(a－1)＝0，‎ 可得a＝.‎ 题型二　两直线的交点与距离问题 ‎1．已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________．‎ 答案　 解析　方法一　由方程组 解得 ‎(若2k＋1＝0，即k＝－，则两直线平行)‎ ‎∴交点坐标为.‎ 又∵交点位于第一象限，‎ ‎∴ 解得－＜k＜.‎ 方法二　如图，已知直线y＝－x＋2与x轴、y轴分别交于点A(4,0)，B(0,2)．‎ 而直线方程y＝kx＋2k＋1可变形为y－1＝k(x＋2)，表示这是一条过定点P(－2,1)，斜率为k的动直线．‎ ‎∵两直线的交点在第一象限，‎ ‎∴两直线的交点必在线段AB上(不包括端点)，‎ ‎∴动直线的斜率k需满足kPA＜k＜kPB.‎ ‎∵kPA＝－，kPB＝.‎ ‎∴－＜k＜.‎ ‎2．若直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为____________________________．‎ 答案　x＋3y－5＝0或x＝－1‎ 解析　方法一　当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.‎ 由题意知＝，‎ 即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－.‎ ‎∴直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.‎ 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．‎ 方法二　当AB∥l时，有k＝kAB＝－，‎ 直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，‎ 即x＋3y－5＝0.‎ 当l过AB的中点时，AB的中点为(－1,4)．‎ ‎∴直线l的方程为x＝－1.‎ 故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.‎ 思维升华 (1)求过两直线交点的直线方程的方法 先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．‎ ‎(2)利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等．‎ 题型三　对称问题 命题点1　点关于点中心对称 典例 过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．‎ 答案　x＋4y－4＝0‎ 解析　设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.‎ 命题点2　点关于直线对称 典例　如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　　)‎ A．3 B．6 C．2 D．2 答案　C 解析　直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2,0)，则光线经过的路程为|CD|＝＝2.‎ 命题点3　直线关于直线的对称问题 典例 已知直线l：2x－3y＋1＝0，求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．‎ 解　在直线m上任取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．‎ 设对称点M′(a，b)，则 解得 ‎∴M′.‎ 设直线m与直线l的交点为N，则 由 得N(4,3)．‎ 又∵直线m′经过点N(4,3)，‎ ‎∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.‎ 思维升华 解决对称问题的方法 ‎(1)中心对称 ‎①点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足 ‎②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．‎ ‎(2)轴对称 ‎①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有 ‎②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．‎ 跟踪训练 已知直线l：3x－y＋3＝0，求：‎ ‎(1)点P(4,5)关于l的对称点；‎ ‎(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程；‎ ‎(3)直线l关于(1,2)的对称直线．‎ 解　(1)设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)，∵kPP′·kl＝－1，‎ 即×3＝－1.①‎ 又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上，‎ ‎∴3×－＋3＝0.②‎ 由①②得 把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7，‎ ‎∴点P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2,7)．‎ ‎(2)用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y，‎ 得关于l对称的直线方程为 －－2＝0，‎ 化简得7x＋y＋22＝0.‎ ‎(3)在直线l：3x－y＋3＝0上取点M(0,3)，‎ 关于(1,2)的对称点M′(x′，y′)，‎ ‎∴＝1，x′＝2，＝2，y′＝1，∴M′(2,1)．‎ l关于(1,2)的对称直线平行于l，∴k＝3，‎ ‎∴对称直线方程为y－1＝3×(x－2)，‎ 即3x－y－5＝0.‎ 妙用直线系求直线方程 一、平行直线系 由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系．‎ 典例1 求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程．‎ 思想方法指导 因为所求直线与3x＋4y＋1＝0平行，因此，可设该直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠1)．‎ 规范解答 解　由题意，设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠1)，‎ 又因为直线过点(1,2)，‎ 所以3×1＋4×2＋c＝0，解得c＝－11.‎ 因此，所求直线方程为3x＋4y－11＝0.‎ 二、垂直直线系 由于直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件为A1A2＋B1B2＝0.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必然的联系．可以考虑用直线系方程求解．‎ 典例2 求经过A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．‎ 思想方法指导 依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解．‎ 规范解答 解　因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋C1＝0，又直线过点A(2,1)，‎ 所以有2－2×1＋C1＝0，解得C1＝0，‎ 即所求直线方程为x－2y＝0.‎ 三、过直线交点的直线系 典例3 (2017·湖南东部十校联考)经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为____________．‎ 思想方法指导 可分别求出直线l1与l2的交点及直线l的斜率k，直接写出方程；也可以根据垂直关系设出所求方程，再把交点坐标代入求解；又可以利用过交点的直线系方程设直线方程，再用待定系数法求解．‎ 解析　方法一　由方程组 解得 即交点为，‎ ‎∵所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，‎ ‎∴所求直线的斜率为k＝.‎ 由点斜式得所求直线方程为y－＝，‎ 即4x－3y＋9＝0.‎ 方法二　由垂直关系可设所求直线方程为4x－3y＋m＝0，‎ 由方程组 可解得交点为，‎ 代入4x－3y＋m＝0，得m＝9，‎ 故所求直线方程为4x－3y＋9＝0.‎ 方法三　由题意可设所求直线方程为 ‎(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0，‎ 即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0，①‎ 又∵所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，‎ ‎∴3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，‎ ‎∴λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x－3y＋9＝0.‎ 答案　4x－3y＋9＝0‎ ‎1．直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是(　　)‎ A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．不能确定 答案　C 解析　直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直线x＋2y＋n＝0的斜率k2＝－，则k1≠k2，且k1k2≠－1.‎ 故选C.‎ ‎2．已知直线l1：x＋my＋7＝0和l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0互相平行，则实数m等于(　　)‎ A．－1或3 B．－1‎ C．－3 D．1或－3‎ 答案　A 解析　当m＝0时，显然不符合题意；‎ 当m≠0时，由题意得，＝≠，‎ 解得m＝－1或m＝3，故选A.‎ ‎3．从点(2,3)射出的光线沿与向量a＝(8,4)平行的直线射到y轴上，‎ 则反射光线所在的直线方程为(　　)‎ A．x＋2y－4＝0 B．2x＋y－1＝0‎ C．x＋6y－16＝0 D．6x＋y－8＝0‎ 答案　A 解析　由直线与向量a＝(8,4)平行知，过点(2,3)的直线的斜率k＝，所以直线的方程为y－3＝(x－2)，其与y轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A正确．‎ ‎4．(2017·浙江嘉兴一中月考)若点P在直线l：x－y－1＝0上运动，且A(4,1)，B(2,0)，则|PA|＋|PB|的最小值是(　　)‎ A. B. C．3 D．4‎ 答案　C 解析　设A(4,1)关于直线x－y－1＝0的对称点为A′(2，3)，∴|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|，‎ 当P，A′，B三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值 ‎|A′B|＝＝3.‎ ‎5．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2之间的距离为(　　)‎ A. B．4 C. D．2 答案　C 解析　∵l1∥l2，∴a≠2且a≠0，‎ ‎∴＝≠，解得a＝－1，‎ ‎∴l1与l2的方程分别为l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0，‎ ‎∴l1与l2的距离d＝＝.‎ ‎6．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2经过定点 (　　)‎ A．(0,4) B．(0,2)‎ C．(－2,4) D．(4，－2)‎ 答案　B 解析　直线l1：y＝k(x－4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2经过定点(0,2)．‎ ‎7．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________．‎ 答案　－9‎ 解析　由得 ‎∴点(1,2)满足方程mx＋2y＋5＝0，‎ 即m×1＋2×2＋5＝0，∴m＝－9.‎ ‎8．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________.‎ 答案　 解析　由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，‎ 于是　解得 故m＋n＝.‎ ‎9．已知直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，若l1⊥l2，则a＝________，此时点P的坐标为________．‎ 答案　1　(3,3)‎ 解析　∵直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，且l1⊥l2，‎ ‎∴a×1＋1×(a－2)＝0，‎ 即a＝1，联立方程 易得x＝3，y＝3，∴P(3,3)．‎ ‎10．已知点A(0,1)，直线l1：x－y－1＝0，直线l2：x－2y＋2＝0，则点A关于直线l1的对称点B的坐标为________，直线l2关于直线l1的对称直线的方程是__________．‎ 答案　(2，－1)　2x－y－5＝0‎ 解析　设B(x，y)，‎ 则解得即B(2，－1)．‎ 由得 设C(4,3)，由(1)得l2上的点A(0,1)关于直线l1的对称点为B，因此所求对称直线过B，C两点，‎ 所以y－3＝(x－4)，即2x－y－5＝0.‎ ‎11．已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2,2)．‎ ‎(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；‎ ‎(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4.‎ ‎(1)解　显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线．‎ ‎∵方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，‎ ‎∴解得 故直线经过的定点为M(2，－2)．‎ ‎(2)证明　过P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ|≤|PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ|＝|PM|，‎ 此时对应的直线方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.‎ 但直线系方程唯独不能表示直线x－y－4＝0，‎ ‎∴M与Q不可能重合，而|PM|＝4，‎ ‎∴|PQ|<4，故所证成立．‎ ‎12．已知三条直线：l1：2x－y＋a＝0(a＞0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0，且l1与l2间的距离是.‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：‎ ‎①点P在第一象限；‎ ‎②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；‎ ‎③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶.‎ 若能，求点P的坐标；若不能，请说明理由．‎ 解　(1)直线l2：2x－y－＝0，所以两条平行直线l1与l2间的距离为d＝＝，‎ 所以＝，‎ 即＝，‎ 又a＞0，解得a＝3.‎ ‎(2)假设存在点P，设点P(x0，y0)．‎ 若点P满足条件②，‎ 则点P在与l1，l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，‎ 且＝×，‎ 即c＝或，‎ 所以直线l′的方程为 ‎2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0；‎ 若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，‎ 有＝×，‎ 即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，‎ 所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0；‎ 由于点P在第一象限，所以3x0＋2＝0不可能．‎ 联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，‎ 解得(舍去)；‎ 联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，‎ 解得 所以存在点P同时满足三个条件．‎ ‎13．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为(　　)‎ A. B. C．2 D．2 答案　A 解析　联立解得x＝1，y＝2.‎ 把(1,2)代入mx＋ny＋5＝0可得，m＋2n＋5＝0.‎ ‎∴m＝－5－2n.‎ ‎∴点(m，n)到原点的距离 d＝＝ ‎＝≥，‎ 当n＝－2，m＝－1时取等号．‎ ‎∴点(m，n)到原点的距离的最小值为.‎ ‎14．(2018届山西名校模拟)已知M(x，y)为曲线C：＋＝1上任意一点，且A(－3,0)，B(3,0)，则|MA|＋|MB|的最大值是________．‎ 答案　8‎ 解析　原曲线方程可化为＋＝1，作图如下：‎ 由上图可得要使|MA|＋|MB|取得最大值，则M必须在菱形的顶点处，不妨取M(0，±)，或M(±4,0)，均可求得|MA|＋|MB|＝8，故|MA|＋|MB|的最大值为8.‎ ‎15．定义点P(x0，y0)到直线l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距离为d＝.已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2，则下列命题正确的是(　　)‎ A．若d1＝d2＝1，则直线P1P2与直线l平行 B．若d1＝1，d2＝－1，则直线P1P2与直线l垂直 C．若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直 D．若d1·d2≤0，则直线P1P2与直线l相交 答案　A 解析　设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则由d1＝d2＝1，‎ 得ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝≠0，‎ 化简得＝－(x1≠x2)，‎ 由x1＝x2得y1≠y2，b＝0，又P1，P2不在直线l上，所以直线P1P2与直线l平行；由d1＝1，d2＝－1或d1＋d2＝0得ax1＋by1＋c＝－(ax2＋by2＋c)，化简得a(x1＋x2)＋b(y1＋y2)＝－2c，得不到a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0；若d1·d2≤0，则P1，P2可能都在直线l上，所以命题正确的是A项．‎ ‎16．在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合．若直线l与直线l1关于点(2,3)对称，则直线l的方程是______________．‎ 答案　6x－8y＋1＝0‎ 解析　由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1：y＝k(x－3)＋5＋b，将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，则平移后的直线方程为y＝k(x－3－1)＋b＋5－2，即y＝kx＋3－4k＋b，∴b＝3－4k＋b，解得k＝，∴直线l的方程为y＝x＋b，直线l1为y＝x＋＋b，取直线l上的一点P，则点P关于点(2,3)的对称点为 ，∴6－b－＝(4－m)＋b＋，解得b＝.∴直线l的方程是y＝x＋，即6x－8y＋1＝0.‎