2020年高中数学第一章算法初步

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2020年高中数学第一章算法初步

‎1.3 算法案例 ‎[课时作业]‎ ‎[A组 学业水平达标]‎ ‎1.用辗转相除法求35和134的最大公约数,第一步是(  )‎ A.134-35=99      B.134=35×3+29‎ C.先除以2,得到18和67 D.35=25×1+10‎ 解析:按照辗转相除法的算法步骤,先用大数除以小数,故选B.‎ 答案:B ‎2.下列各数转化成十进制后最小的数是(  )‎ A.111 111(2) B.210(6)‎ C.1 000(4) D.81(9)‎ 解析:A项,将111 111(2)转化为十进制数为111 111(2)=1×25+1×24+1×23+1×22+1×2+1×20=32+16+8+4+2+1=63;B项,将210(6)转化为十进制数为210(6)=2×62+1×61+0×60=78;C项将1 000(4)转化为十进制数为1 000(4)=1×43+0×42+0×41+0×40=64;D项,将81(9)转化为十进制数为81(9)=8×91+1×90=73,比较这四个数,78>73>64>63,即A项转化为十进制数之后表示的数最小.‎ 答案:A ‎3.利用秦九韶算法计算多项式f(x)=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1,当x=4时的值,需要做乘法和加法的次数分别为(  )‎ A.6,6       B.21,6‎ C.5,6 D.6,5‎ 解析:用秦九韶算法计算多项式的值时,‎ 计算的乘法的次数与多项式的未知数的最高次项的指数相同,‎ ‎∴一共进行了6次乘法运算,‎ 加法运算的次数在多项式有常数项的条件下与乘法的次数相同,‎ ‎∴一共进行了6次加法运算,‎ 故答案为A.‎ 答案:A ‎4.把89化成五进制数的末位数字为(  )‎ A.1 B.2‎ C.3 D.4‎ 解析:89÷5=17……4, 17÷5=3……2,3÷5=0……3,所以把89化成五进制数为324(5)‎ 答案:D ‎5.下列结论正确的是(  )‎ 5‎ A.88(9)<210(6) B.62=124(5)‎ C.110(2)>10(3) D.32(4)=23(6)‎ 解析:对于A:‎ 因为88(9)=8×9+8×90=80,‎ ‎210(6)=2×62+1×6+0×60=78,80>78,‎ 所以A错误.‎ 对于B:因为124(5)=1×52+2×5+4×50=39≠62,‎ 所以B错误.‎ 对于C:因为110(2)=1×22+1×2+0×20=6,‎ ‎10(3)=1×3+0×30=3,6>3,‎ 所以C正确.‎ 对于D:因为32(4)=3×4+2×40=14,‎ ‎23(6)=2×6+3×60=15,14≠15,‎ 所以D错误.‎ 答案:C ‎6.用辗转相除法求得数98与63的最大公约数是________.‎ 解析:98=63×1+35,63=35×1+28,35=28×1+7,28=4×7+0.所以最大公约数为7.‎ 答案:7‎ ‎7.25(7)=________(2).‎ 解析:因为根据除k取余法,得到25(7)=1 011(2).‎ 答案:1 011‎ ‎8.读程序:‎ 5‎ 若在INPUT语句中输入m,n的数据分别是72,168,则程序运行的结果为__________.‎ 解析:程序是求n的最大公约数.‎ 答案:24‎ ‎9.用秦九韶算法求多项式f(x)=5x5-4x4+3x2+8x-6,当x=3时的值.‎ 解析:f(x)=5x5-4x4+3x2+8x-6‎ ‎=((((5x-4)x+0)x+3)x+8)x-6,‎ 当x=3时,‎ v0=5,‎ v1=5×3-4=11,‎ v2=11×3+0=33,‎ v3=33×3+3=102,‎ v4=102×3+8=314,‎ v5=314×3-6=936.‎ ‎∴f(3)=936.‎ ‎10.用辗转相除法求下列两数的最大公约数,并用更相减损术检验你的结果.‎ ‎(1)80,36; (2)294,84.‎ 解析:(1)80=36×2+8,36=8×4+4,8=4×2,即80与36的最大公约数是4.‎ 验证:80-36=44,44-36=8,36-8=28,28-8=20,20-8=12,12-8=4,8-4=4,‎ 故80与36的最大公约数为4.‎ ‎(2)294=84×3+42,84=42×2,即294与84的最大公约数是42.‎ 验证:∵294与84都是偶数,可同时除以2,∴取147与42的最大公约数后再乘以2.‎ ‎147-42=105,105-42=63,63-42=21,42-21=21,‎ ‎∴294与84的最大公约数为21×2=42.‎ ‎[B组 应考能力提升]‎ ‎1.计算机中常用十六进制,采用数字0~9和字母A~F共16个计数符号与十进制得对应关系如下表:‎ 例如用十六进制表示有D+E=1B,则A×B=(  )‎ A.6E      B.‎‎7C C.‎5F D.B0‎ 解析:∵表格中A对应的十进制数为10,B对应的十进制数为11,‎ 5‎ ‎∴A×B=10×11,‎ 由十进制表示为:10×11=6×16+14,‎ 又表格中E对应的十进制为14,‎ ‎∴用十六进制表示A×B=6E.故选A 答案:A ‎2.已知多项式f(x)=4x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8,用秦九韶算法计算f(5)时的v1值为(  )‎ A.22 B.564.9‎ C.20 D.14 130.2‎ 解析:根据秦九韶算法,把多项式改写为f(x)=((((4x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8;按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当x=5时的值:v0=4,v1=4×5+2=22.‎ 答案:A ‎3.下列各数85(9),210(6),1 000(4),111 111(2)中最小的数是________.‎ 解析:将题中四个数化为十进制数.‎ ‎85(9)=8×91+5×90=72+5=77;‎ ‎210(6)=2×62+1×6+0=72+6=78;‎ ‎1 000(4)=1×43=64;‎ ‎111 111(2)=25+24+23+22+21+20=63.‎ 答案:111 111(2)‎ ‎4.已知n次多项式Pn(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an.如果在一种算法中,计算x(k=2,3,4,…,n)的值需要k-1次乘法,计算P3(x0)的值共需要9次运算(6次乘法,3次加法),那么计算Pn(x0)的值共需要__________次运算.‎ 下面给出一种减少运算次数的算法:P0(x)=a0,‎ Pk+1(x)=xPk(x)+ak+1(k=0,1,2,…,n-1).利用该算法,计算P3(x0)的值共需要6次运算,计算Pn(x0)的值共需要__________次运算.‎ ‎(参考公式:1+2+3+…+n= )‎ 解析:Pn(x0)=a0x+a1x+…+an-1x0+an,共需n次加法运算,每个小因式中所需乘法运算依次为n,n-1,…,1,0.故总运算次数为n+n+(n-1)+…+1=n+=n(n+3).‎ 第二种算法中,P0(x0)=a0,不需要运算,P1(x0)=x0P0(x0)+a1需2次运算, P2(x0)=x0P1(x0)+a2需2+2次运算,依次往下,Pn(x0)需2n次运算.‎ 5‎ 答案:n(n+3) 2n ‎5.用秦九韶算法求多项式f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x,当x=3时的值.‎ 解析:由f(x)=((((((7x+6)x+5)x+4)x+3)x+2)x+1)x,‎ ‎∴y1=7×3+6=27;‎ ‎ y2=27×3+5=86;‎ y3=86×3+4=262;‎ y4=262×3+3=789;‎ y5=789×3+2=2 369;‎ y6=2 369×3+1=7 108;‎ y7=7 108×3=21 324;‎ ‎∴ f(3)=21 324. ‎ ‎6.若二进制数100y 011和八进制数x03相等,求x+y的值.‎ 解析:100y 011(2)=1×26+y×23+1×2+1=67+8y,‎ x03(8)=x×82+3=64x+3,‎ ‎∴8y+67=64x+3.‎ ‎∵y可取0,1,x可以取1,2,3,4,5,6,7,‎ y=0时,x=1;y=1时,64x=72无解;‎ ‎∴x+y=1.‎ 5‎
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