2020届艺术生高考数学二轮复习课时训练:第十一章 选修模块 第1节

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2020届艺术生高考数学二轮复习课时训练:第十一章 选修模块 第1节

第十一章 第1节 ‎1.(2020·太原市质检)已知曲线C1:x+y=和C2:(φ为参数).以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,且两种坐标系中取相同的长度单位.‎ ‎(1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程;‎ ‎(2)设C1与x,y轴交于M,N两点,且线段MN的中点为P.若射线OP与C1,C2交于P,Q两点,求P,Q两点间的距离. ‎ 解:(1)曲线C1化为ρcos θ+ρsin θ=.‎ ‎∴ρsin=.‎ 曲线C2化为+=1.(*)‎ 将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入(*)式 得cos2θ+sin2θ=1,即ρ2(cos2θ+3sin2θ)=6.‎ ‎∴曲线C2的极坐标方程为ρ2=.‎ ‎(2)∵M(,0),N(0,1),∴P,‎ ‎∴OP的极坐标方程为θ=,‎ 把θ=代入ρsin=得ρ1=1,P.‎ 把θ=代入ρ2= 得ρ2=2,Q.‎ ‎∴|PQ|=|ρ2-ρ1|=1,‎ 即P,Q两点间的距离为1.‎ ‎2.(2018·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).‎ ‎(1)求C和l的直角坐标方程;‎ ‎(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.‎ 解:(1)曲线C的参数方程为(θ为参数),‎ ‎∴+=1.‎ 直线l的参数方程为(t为参数)‎ ‎∴=tan α(α≠90°),即tan α·x-y+2-tan α=0,当α=90°时,x=1.‎ 综上:l: ‎(2)当α=90°,点(1,2)不为中点,∴不成立.‎ 当α≠90°,把l代入曲线C中得:4x2+[tan α·(x-1)+2]2=16,‎ 化简得:(4+tan2α)x2+(4tan α-2tan2α)x+tan2α-‎ ‎4tan α-12=0,‎ ‎∵点(1,2)为弦的中点,∴x1+x2=2,即=2,∴tan α=-2,∴直线l的斜率k=-2.‎ ‎3.在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1:ρcos θ=3,‎ 曲线C2:ρ=4cos θ(0≤θ≤).‎ ‎(1)求C1与C2交点的极坐标;‎ ‎(2)设点Q在C2上,=,求动点P的极坐标方程.‎ 解:(1)联立方程得得cos θ=±,‎ ‎∵0≤θ<,∴cos θ=,∴θ=,‎ ‎∴ρ=2,‎ ‎∴所求交点的极坐标为.‎ ‎(2)设P(ρ,θ),Q(ρ0,θ0)且ρ0=4cos θ0,θ0∈,‎ 由已知=OP―→,得 ‎∴ρ=4cos θ(θ∈[0,),故点P的极坐标方程为ρ=10cos θ,θ∈[0,).‎ ‎4.(2020·石家庄模拟)在平面直角坐标系中,直线l的参数方程是(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρ2+2ρsin θ-3=0.‎ ‎(1)求直线l的极坐标方程;‎ ‎(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,求|AB|.‎ 解:(1)由消去t得y=2x,‎ 把代入y=2x,得ρsin θ=2ρcos θ,‎ ‎∴直线l的极坐标方程为sin θ=2cos θ.‎ ‎(2)∵ρ2=x2+y2,y=ρsin θ.‎ ‎∴曲线C的方程可化为x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4,‎ 圆C的圆心C(0,-1)到直线l的距离d=,‎ ‎∴|AB|=2=.‎ ‎5.(2018·全国Ⅲ卷)在平面直角坐标系xOy中,⊙O的参数方程为,(θ为参数),过点(0,-)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A,B两点.‎ ‎(1)求α的取值范围;‎ ‎(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.‎ 解:(1)根据⊙O的参数方程,可得⊙O的直角坐标方程为x2+y2=1,‎ 当α=时,直线l与圆⊙O交于两点.‎ 当α≠时,tan α=k 设过点(0,-)的直线为y=kx-,要使直线与⊙O相交于两点,则d=<1.‎ 故k∈(-∞,-1)∪(1,+∞)‎ ‎∴α∈.‎ ‎(2)设P点的坐标为(x,y),联立方程得(k2+1)x2-2kx+1=0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1·x2=,‎ 故x==,y=-.‎ ‎∴P.∵k=tan α,‎ ‎∴点P的轨迹的参数方程为 .‎ ‎6.(2020·桂林联考)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,长度单位相同,建立极坐标系,直线l的参数方程为(t为参数,α为l的倾斜角),曲线E 的极坐标方程为ρ=4sin θ,射线θ=β,θ=β+,θ=β-与曲线E分别交于不同于极点的A,B,C三点.‎ ‎(1)求证:|OB|+|OC|=|OA|;‎ ‎(2)当β=时,直线l过B,C两点,求y0与α的值.‎ 解:(1)证明:依题意知,|OA|=4sin β,‎ ‎|OB|=4sin ,‎ ‎|OC|=4sin ,‎ 则|OB|+|OC|=4sin +4sin ‎=4sin β=|OA|.‎ ‎(2)当β=时,点B的极坐标为=,‎ 点C的极坐标为=,‎ 故B、C化为直角坐标为B(0,4),C(,1),‎ 所以直线l:y=-x+4,‎ ‎∴y0=4,α=.‎
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