高二数学下学期第三次月考试题 文（含解析）

高二数学下学期第三次月考试题 文（含解析）

‎【2019最新】精选高二数学下学期第三次月考试题 文（含解析）‎ 文科数学 ‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 若关于的一元二次实系数方程 有一个根为（为虚数单位），则的值是（ ）‎ A. -1 B. 0 C. 2 D. -2‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：把代入方程，化简后，利用复数相等的性质求解即可.‎ 详解：把代入方程得，‎ 即，即，‎ 为实数，故选B.‎ 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.‎ - 21 - / 21‎ ‎2. 若洗水壶要用 1 分钟、烧开水要用 10 分钟、洗茶杯要用 2 分钟、取茶叶要用 1 分钟、 沏茶 1 分钟，那么较合理的安排至少也需要 （ ）‎ A. 10分钟 B. 11分钟 C. 12分钟 D. 13分钟 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：根据题意，可得最合理安排是，洗水壶要用1分钟，再烧开水要用10分钟，同时可以洗茶杯和拿茶叶，最后用开水泡茶要1分钟，这样的安排时间最少．‎ 解：根据题意可知，一边烧开水，一边还可以洗茶杯和拿茶叶，则最少时间是：1+10+1=12（分钟）．‎ 故选C．‎ 点评：本题考查统筹思想的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．‎ ‎3. 类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是 （ ）‎ ‎①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等； ‎ ‎②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ‎ ‎③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等．‎ A. ① B. ③ C. ①② D. ．①②③‎ ‎【答案】D ‎【解析】由三角形的性质结合正四面体的性质进行类比推理可得：‎ - 21 - / 21‎ ‎①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；‎ ‎②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；‎ ‎③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等．‎ 即比较恰当的性质是①②③.‎ 本题选择D选项.‎ ‎4. 老师给学生出了一道题，“试写一个程序框图，计算”，发现同学们有如下几种做法，其中有一个是错误的，这个错误的做法是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C - 21 - / 21‎ ‎【解析】分析：逐个的模拟运行程序，并写出程序的运行结果，然后和题目要求进行比较，如果一致，则说明流程图编写正确，如果不—致说明错误.‎ 详解：对答案中列示的流程图逐个进行分析，‎ 根据分折程序框图结果知：‎ 的功能均为累加计算，故均正确；‎ 的功能为累加计算，与题目要求不一致，‎ 故答案对应的流程图不正确，故选C.‎ 点睛：由子算法的多样性，我们在把编制算法时，可以通过不同的方法实现同—个目标，要判断分析流程图的正误，可模拟程序的运行过程，并写出程序的运行结果，然后和题目要求进行比较，如果一致，则说明流程图填写正确，如果不一致，说明错误. ‎ ‎5. 在吸烟与患肺病这两个变量的计算中，下列说法正确的是 ( )‎ A. 若的值大于6.635 ，我们有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在 100 个吸烟的人中必有 99 人患有肺病 B. 从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸 烟，那么他有 99%的可能患有肺病 C. 若从统计量中求出有 95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有 5%的可能性 使得推断出现错误 D. 以上三种说法都不正确 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：要正确认识观测值的意义，‎ 观测值同临界值进行比较得到一个概率，这个概率是推断出错误的概率，‎ - 21 - / 21‎ 若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，‎ 是指有5%的可能性使得推判出现错误 考点：独立性检验 ‎6. 四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐在 1，2，3，4 号位子上（如图）， 第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位,.....,这样交替进行下去，那么第 2013 次互换座位后，小兔的座位对应的是( )‎ A. 编号 1 B. 编号 2 C. 编号 3 D. 编号 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据变换规律，可得每换座位四次与原来的一样，即以为周期，从而可得结果.‎ 详解：‎ 根据动物换座位的规则，可得第四次、第五次、第六次、第七次换座位的结果如图，据此可以归纳得到：四个小动物在换座位的过程中，每换座位四次与原来的一样，即以为周期，因此在2013次换座位后，四个小动物的位置应该是和第一次换座位的位置一样，即小兔的座位对应的是编号，故选A.‎ 点睛：.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)‎ - 21 - / 21‎ ‎ 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.‎ ‎7. 已知复数 和复数 ，则复数的实部是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：利用复数乘法运算法则化简复数，结合两角和的正弦公式、两角和的余弦公式求解即可.‎ 详解：‎ ‎，‎ 实部为,故选D.‎ 点睛：本题主要考查的是复数的乘法，属于中档题．解题时一定要注意和运算的准确性，否则很容易出现错误.‎ ‎8. 观察下列各等式：依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据所给等式观察规律，可得左边分子之和等于，分母和等于，右边都是，从而可得结果.‎ 详解：观察观察各等式：‎ - 21 - / 21‎ 可知，左边分子之和等于，分母和等于，右边都是，只有选项适合，故选A.‎ 点睛：本题通过观察几组等式，归纳出一般规律来考察归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤:①通过观察个别情况发现某些相同的性质.②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）,由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现十分有用,观察、实验、对有限的资料作归纳整理，提出带规律性的说法是科学研究的最基本的方法之一.‎ ‎9. 根据如图样本数据得到的回归方程为，若样本点的中心为．则当每增加 1 个单位时，就( )‎ ‎ ‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎ ‎ ‎4.0‎ ‎-0.5‎ ‎0.5‎ A. 增加 1.4 个单位 B. 减少 1.4 个单位 C. 增加 7.9 个单位 D. 减少 7.9 个单位 ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据样本中心点在回归直线上以及平均数公式列方程可求得的值，进而可得关于的回归方程,根据回归方程的性质可得结果.‎ 详解：由题意，，，①‎ 因为样本中心为，②‎ 联立①②可得，，，‎ - 21 - / 21‎ 每增加个单位，就减少个单位，故选B.‎ 点睛：本题主要考查回归方程的意义，属于简单题.利用回归方程估计总体一定要注意两点：一是所有由回归方程得到的值，都是预测值（或估计值，或平均值）而不是一定发生的结果；二是回归方程的系数可以预测变化率（负减正增）.‎ ‎10. 若 ，且，则的最小值是（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由复数模的几何意义可得，在复平面的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，根据圆的几何性质可得结果.‎ 详解：由复数模的几何意义可得，表示：复平面上的点到的距离为的圆，即以为圆心，以为半径的圆，‎ 表示：圆上的点到的距离的最小值，‎ 即圆心到的距离减去半径，‎ 则，故选B.‎ 点睛：复数的模的几何意义是复平面内两点间的距离，所以若，则表示点与点的距离，表示以为圆心，以为半径的圆.‎ ‎11. 设函数 的定义域为，是 的极大值点，以下结论一定正确的是( )‎ A. B. 是的极小值点 C. 是的极小值点 D. 是的极小值点 - 21 - / 21‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析： 根据极值不一定是最值可得错误，根据函数的对称性，结合函数图象可得错误，正确，从而可得结果.‎ 详解：对于项，是的极大值点，不一定是最大值点，因此不能满足在整个定义域上值最大，故错误；‎ 对于项，是把的图象关于轴对称，因此，是的极大值点，故错误；‎ 对于项，是把的图象关于轴对称，因此，是的极小值点，故错误；‎ 对于项，是把的图象关于原点对称，因此，是的极小值点，故正确，故选D.‎ 点睛：两个函数图象的对称性：（1）函数的图象与的图象关于轴对称；（2）函数的图象与的图象关于轴对称；（3）函数的图象与的图象关于原点对称......................‎ ‎12. 已知函数 记…， 则 则 等于( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：利用初等函数的求导公式以及导数乘法的求导法则，求出…，观察规律，可归纳出结果.‎ - 21 - / 21‎ 详解： ，‎ ‎，表示的次导数，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当时，，故选D.‎ 点睛：本题通过观察几组导数式，归纳出一般规律来考查初等函数的求导公式、导数乘法的求导法则及归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 命题“，若 ，则 ”用反证法证明时应假设为__________．‎ ‎【答案】. ‎ ‎【解析】分析： 利用的否定为不都等于，从而可得结果.‎ - 21 - / 21‎ 详解：考虑的否定，由于都等于，故否定为不都等于，故答案为或.‎ 点睛：反证法的适用范围：（1）否定性命题；（2）结论涉及“至多”、“至少”、“无限”、“唯一”等词语的命题；（3）命题成立非常明显，直接证明所用的理论较少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；（4）要讨论的情况很复杂，而反面情况较少．‎ ‎14. 已知函数 ，若曲线 与曲线 在交点处有共 同的切线，的值是 __________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析：由曲线与曲线在交点处有相同的切线，根据切线斜率相等列方程求解即可.‎ 详解：已知函数，‎ 则，‎ 由已知曲线与曲线在交点处有相同的切线，‎ 故有且，‎ 解得，故答案为.‎ 点睛：应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.‎ ‎15. 给出下列四种说法：‎ ‎① 是虚数，但不是纯虚数； ‎ - 21 - / 21‎ ‎②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数； ‎ ‎③已知 ，则 的充要条件为； ‎ ‎④如果让实数与 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应． ‎ 其中正确说法的为 __________．‎ ‎【答案】③.‎ ‎【解析】分析：①根据纯虚数的定义可判断；②根据共轭复数的定义可判断；③根据复数相等的性质可判定；④根据纯虚数的定义可判断.‎ 详解：①因为是虚数也是纯虚数，错误；‎ ‎②两个复数的和为实数时，这两个复数不一定是共轭复数，如和，这两个复数的和为实数，但这两个复数不是共轭复数，错误；‎ ‎③已知，则的充要条件为，正确；‎ ‎④如果让实数与对应，那么实数集与纯虚数集不是一一对应的，如当时，错误，故答案为③.‎ 点睛：本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查复数的基本概念，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.‎ ‎16. 若集合 ，，…，满足，则称 ，…，为集合 的一种拆分，已知: ‎ ‎①当时，有 种拆分； ‎ - 21 - / 21‎ ‎②当 时，有 种拆分； ‎ ‎③当 时，有种拆分；… ‎ 由以上结论,推测出一般结论： ‎ 当时，有 __________种拆分．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析：根据的拆分数，由归纳推理发现共同规律，从而可得结论.‎ 详解：因为当有两个集合时；‎ 当有三个集合时；‎ 当有四个集合时，‎ 由此可以归纳有个集合时，有拆分，故答案为.‎ 点睛：本题通过观察几组等式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知 ，且，求复数.‎ - 21 - / 21‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：设，则，利用复数的模的公式，化简，由复数相等的性质列方程求解即可.‎ 详解：，设，则.由，得，所以解方程组得所以复数 点睛：本题主要考查共轭复数的定义，复数模的公式以及复数相等的性质，意在考查综合利用所学知识解决问题的能力.‎ ‎18. 用综合法或分析法证明： ‎ ‎（1）如果 ，那么； ‎ ‎（2）设 ，求证：‎ ‎【答案】(1)证明见解析.‎ ‎(2)证明见解析.‎ ‎【解析】分析：（1）利用综合法或分析法，结合均值不等式证明即可；(2)利用分析法，不等式两边同时六次方，化简，直至等价于成立即可证明.‎ 详解：（1）综合法：‎ 又 分析法：‎ 要证只需证即证 只需证即证即证 而恒成立，故原不等式成立.‎ - 21 - / 21‎ ‎(2)要证明 只需证明即证 只需证成立，原式成立；‎ 点睛：分析法证明不等式的主要事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误的作为“逆推”，分析法的过程仅需寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接关键词.‎ ‎19. 抛掷红、蓝两颗骰子，设事件为“蓝色骰子的点数为 3 或 6”，事件为“两颗骰子的点数之和大于 8”． ‎ ‎（1）求 ； ‎ ‎（2）当已知蓝色骰子的点数为 3 或 6 时，问两颗骰子的点数之和大于 8 的概率为多少？‎ ‎【答案】(1)‎ ‎(2)‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出总的事件数和该事件所包含的基本事件数，作商可得；（2）求出，利用条件概率公式.‎ 试题解析：①②∵两个骰子的点数之和共有个等可能的结果，点数之和大于的结果共有个.‎ ‎③当蓝色骰子的点数为或时，两颗骰子的点数之和大于的结果有个，故,.‎ - 21 - / 21‎ 由知.‎ 考点：古典概型，条件概率.‎ ‎20. 为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，调查了 105 个样本，统计结果为：服药的共有 55 个样本，服药但患病的仍有 10 个样本，没有服药且未患病的有 30个样本. ‎ ‎（1）根据所给样本数据完成 列联表中的数据； ‎ ‎（2）请问能有多大把握认为药物有效？ ‎ ‎(参考公式：独立性检验临界值表 概率 ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 患病 不患病 合计 服药 没服药 合计 ‎【答案】(1) ‎ 患病 不患病 合计 服药 ‎10‎ ‎45‎ ‎55‎ 没服药 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 合计 ‎30‎ ‎75‎ ‎105‎ ‎ (2)97.5%.‎ - 21 - / 21‎ ‎【解析】分析：(1)由所给数据可得服药但没有病的人，没有服药且患病的，从而可得到联表；（2）利用公式求得 ，与邻界值比较，即可得到结论.‎ 详解：(1)解依据题意得，服药但没有病的45人，没有服药且患病的20可列下列联表 ‎（2）假设服药和患病没有关系，则的观测值应该很小，‎ 而 由独立性检验临界值表可以得出，由97.5%的把握药物有效；‎ 点睛：独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.‎ ‎（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）‎ ‎21. 某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数， 得到如下资料：‎ 日期 ‎1月10日 ‎2月10日 ‎3月10日 ‎4月10日 ‎5月10日 ‎6月10日 昼夜温差 ‎10‎ ‎11‎ ‎13‎ ‎12‎ ‎8‎ ‎6‎ 就诊人数(个）‎ ‎22‎ ‎25‎ ‎29‎ ‎26‎ ‎16‎ ‎12‎ 该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取 2 ‎ - 21 - / 21‎ 组，用剩下的 4 组数据求 线性回归方程，再用被选取的 2 组数据进行检验； ‎ ‎（Ⅰ）求选取的 2 组数据恰好是相邻两个月的概率； ‎ ‎（Ⅱ）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出 关于的线性回归方程 ； ‎ ‎（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人， 则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？ ‎ 附：对于一组数据， ，…，（ ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ‎ ‎， .‎ ‎【答案】(1)‎ ‎(2).‎ ‎(3)小组所得线性回归方程是理想的.‎ ‎【解析】分析：从组数据种选取组数据共有种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两个月的数据的情况有种，利用古典概型概率公式可得结果；（Ⅱ）由所给数据求得，由公式求得，再由求得，从而可得结果；（Ⅲ）利用所求回归方程，当时，当时，分别求出对应的的值，即可判断所得线性回归方程是否理想.‎ - 21 - / 21‎ 详解：（Ⅰ）设抽到相邻两个月的数据为事件，因为从6组数据种选取2组数据共有15种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两个月的数据的情况有5种，所以 ‎（Ⅱ）由数据求得由公式求得，再由求得 所以关于的线性回归方程为 ‎（Ⅲ）当时，‎ 同样，当时，‎ 所以，该小组所得线性回归方程是理想的.‎ 点睛：求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.‎ ‎22. 已知函数 ‎ 若曲线在点 处的切线与直线 垂直，求实数的值； ‎ ‎（Ⅱ）讨论函数 的单调性； ‎ ‎（Ⅲ）当 时，记函数 的最小值为 ，求证：；‎ ‎【答案】(1) 或.‎ ‎ (2) 时, 在上单调递增，在上单调递减; 当时, 在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎ (3)证明见解析.‎ - 21 - / 21‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）求出，根据可求得实数的值；（Ⅱ）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当时，函数的最小值，故，利用导数研究函数的单调性，可得当时，，从而可得结果.‎ 详解：（Ⅰ）由已知可知的定义域为，‎ 根据题意可得，‎ ‎ 或 ‎（Ⅱ）‎ ‎①时，由可得 由可得 在上单调递增，在上单调递减 ‎②当时，‎ 由可得 由可得 在上单调递增，在上单调递减 ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当时，函数的最小值 故 则 令可得 - 21 - / 21‎ 当变化时，的变化情况如表：‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎-‎ 增 极大值 减 是在上的唯一的极大值，从而是的最大值点，‎ 当时，‎ 时，‎ 点睛：本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.‎ - 21 - / 21‎