2012福州3月份质检文数试卷
福建省福州市2012届高三3月质量检查
数 学 试 题（文）
（完卷时间：1 20分钟；满分：1 50分）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．）
1．抛物线y2=4x的焦点坐标为
A．（1，0） B．（－l，0） C．（0，1） D．（0，－1）
2．命题“x∈，x3>0”的否定是
A．x∈，x3≤0 B．x∈，x3≤0
C．x∈，x3＜0 D．x∈，x3＞0
3．集合M={ x∈N*| x （x－3）< 0}的子集个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
4．从一堆苹果中任取20粒，称得各粒苹果的质量（单位：克）数据分布如下表所示：
分组
[1 00，1 1 0]
（110，1 20]
（1 20，1 30]
（1 30，140]
（1 40，1 50]
（1 50，1 60]
频数
1
3
4
6
a
2
根据频数分布表，可以估计在这堆苹果中，质量大于140克的苹果数约占苹果总数的
A．10％ B．30％ C．70％ D．80％
5．执行如下程序框图后，若输出结果为－1，则输入x的值不可能是
A．2 B．1 C．－1 D．－2
6．如图，水平放置的三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面A1B1C1，其正视图是边长为a的正方形．俯视图是边长为a的正三角形，则该三棱柱的侧视图的面积为
A．a2 B．a2 C．a2 D．a2
7．在区间（0，）上随机取一个数x，使得0
0，b>0）的渐近线与圆（x-2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是
A．（2，+∞） B．（1，2） C．（1，） D．（，+∞）
11．函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ ω>0，0<φ<π）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，点A、B分别为该部分图象的最高点与最低点，且|AB|=4，则函数f（x）图象的一条对称轴的方程为
A．x=2 B．x=2π
C．x= D．x=
12．已知函数 f（x）的定义域为，其导函数f＇（x）的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈（ x1≠x2），下列结论正确的是
①f（x）< 0恒成立；
②（x1－x2）[ f（x1）－f（x2）] < 0；
③（x1－x2）[ f（x1）－f（x2）] > 0；
④ > ；
⑤ < ．
A．①③ B．①③④ C．②④ D．②⑤
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题后的横线上．）
13．已知i是虚数单位，则复数= ___________
14．已知函数f（x）=2x 满足f（m）·f（n）=2，则m n的最大值为_________
15．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若a =2，b=2，B=60°，则sinC=
____________．
16．对一个边长为1的正方形进行如下操作：第一步，将它分割成3×3方格，接着用中心和四个角的5个小正方形，构成如图①所示的几何图形，其面积S1=；第二步，将图①的5个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作，得到图②；依此类推，到第n步，所得图形的面积．若将以上操作类比推广到棱长为1的正方体中，则到第n步，所得几何体的体积Vn=____________．
三、解答题（本大题共6小题，共79分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．）
17．（本小题满分12分）
在数列{an}中，a1=，点（an，an+1）（n∈N*）在直线y=x+上
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）记bn=,求数列{bn}的前n项和Tn．
18．（本小题满分12分）
某教室有4扇编号为a、,b、c、d的窗户和2扇编号为x、y的门，窗户d敞开，其余门和窗户均被关闭．为保持教室空气流通，班长在这些关闭的门和窗户中随机地敞开2扇．
（Ⅰ）记“班长在这些关闭的门和窗户中随机地敞开2扇”为事件A，请列出A包含的基本事件；
（Ⅱ）求至少有1扇门被班长敞开的概率．
19．（本小题满分12分）
已知函数f（x）=．
（Ⅰ）求函数f（）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间．
20．（本小题满分12分）
在直角坐标系xOy中，已知椭圆C ：（a >0）与x轴的正半轴交于点P．点Q的坐
标为（3，3），=6．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点Q且斜率为的直线交椭圆C于A、B两点，求△AOB的面积．
21．（本小题满分12分）
如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFE D．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面POA；
（Ⅱ）记三棱锥P- ABD体积为V1，四棱锥P—BDEF体积为V2．求当PB取得最小值时的V1：V2值．
22．（本小题满分14分）
已知函数f（x）=－x2+2lnx．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）若函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，
（i）求实数a的值； ’
（ii）若对于x1 ，x2∈[，3 ]，不等式≤1恒成立，求实数k的取值范围．
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分．）
1．A 2．B 3．D 4．B 5．D 6．C
7．C 8．B 9．A 10．C 11．A 12．D
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）
13． 14． 15．1 16．
三、解答题（本大题共6小题，共74分．）
17．解：（Ⅰ）由已知得，即． 1分
∴ 数列是以为首项，以为公差的等差数列． 2分
∵ 3分
∴ （）． 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得， 7分
∴ ． 9分
∴ ． 12分
18．解：（Ⅰ）事件包含的基本事件为：、、、、、、、、，，共10个． 6分
注：⑴ 漏写1个情形扣2分，扣完6分为止；多写情形一律扣3分．
（Ⅱ）方法一：记 “至少有1扇门被班长敞开”为事件．
∵ 事件包含的基本事件有、、、、、，，共7个． 9分
∴ ． 12分
方法二：事件“2个门都没被班长敞开” 包含的基本事件有
、、，共3个． 8分
∴ 2个门都没被班长敞开的概率， 10分
∴ 至少有1个门被班长敞开的概率． 12分
19．方法一：由，得（），即（），
∴ 函数定义域为． 2分
∵
， 5分
注：以上的5分全部在第Ⅱ小题计分．
（Ⅰ）； 8分
（Ⅱ）令， 10分
得 11分
∴ 函数的单调递减区间为． 12分
注：学生若未求函数的定义域且将单调递减区间求成闭区间，只扣2分．
方法二：由，得（），即（），
∴ 函数定义域为． 2分
∵
， 5分
（Ⅰ）； 8分
（Ⅱ）令， 10分
得， 11分
∴ 函数的单调递减区间为． 12分
方法三：（Ⅰ）∵ ，，
∴ ． 3分
下同方法一、二．
20．解：（Ⅰ）依题意，点坐标为． 1分
∵ ，点坐标为，
∴ ，解得． 3分
∴ 椭圆的方程为． 4分
（Ⅱ）过点且斜率为的直线方程为，
即． 5分
方法一：设点、的坐标分别为、，
由消去并整理得，． 6分
∴ ， 7分
∴ ，
∴ ． 9分
∵ 直线与轴的交点为，
∴ 的面积
． 12分
方法二：设点、的坐标分别为、，
由消去并整理得， 6分
∴ ， 7分
∴ ， 9分
∵ 点到直线的距离， 10分
∴ 的面积． 12分
方法三：设点、的坐标分别为、，
由消去并整理得， 6分
∴ ， 8分
∵ 直线与轴的交点为，
∴ 的面积
．…12分
方法四：设点、的坐标分别为、，
由消去并整理得， 6分
∴ ， 7分
∴ ，
9分
∵ 点到直线的距离， 10分
∴ 的面积． 12分
21．（Ⅰ）证明：在菱形中，∵ ，
∴ ． 1分
∵ ，∴,
∵ 平面⊥平面，平面平面，且平面，
∴ 平面, 2分
∵ 平面，
∴ ． 3分
∵ ，所以平面． 4分
（Ⅱ）连结，设．
由（Ⅰ）知，．
∵ ，，
∴ ，． 5分
设（）．
由（Ⅰ）知，平面,故为直角三角形．
∴ ，
∴ ． 7分
当时，取得最小值，此时为中点． 8分
∴ ， 9分
∴ ， 10分
∴ ． 11分
∴ ．
∴ 当取得最小值时，的值为． 12分
22．解：（Ⅰ）（）， 1分
由得，；由得，．
∴ 在上为增函数，在上为减函数． 3分
∴ 函数的最大值为． 4分
（Ⅱ）∵ ， ∴ ．
（ⅰ）由（Ⅰ）知，是函数的极值点，
又∵ 函数与有相同极值点，
∴ 是函数的极值点，
∴ ，解得． 7分
经检验，当时，函数取到极小值，符合题意． 8分
（ⅱ）∵ ，，，
∵ ， 即 ，
∴ ，． 9分
由（ⅰ）知，∴ ．
当时，；当时，．
故在为减函数，在上为增函数．
∵ ，
而 ,
∴ ，． 10分
① 当，即时，
对于，不等式恒成立
，
∴ ，又∵ ，
∴ ． 12分
② 当，即时，
对于，不等式
．
∵ ，
∴ ．
又∵，∴ ．
综上，所求的实数的取值范围为． 14分
