北京市中央民族大学附属中学2019-2020学年高二12月月考数学试题

北京市中央民族大学附属中学2019-2020学年高二12月月考数学试题

中央民族大学附属中学2019-2020学年第一学期 高二年级12月月考数学试题 第I卷（共32分）‎ 一、选择题：（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）‎ ‎1.在平行六面体ABCD－中，用向量来表示向量（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为， 故选B ‎2.双曲线的渐近线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将方程变为，解出来即可 ‎【详解】因为双曲线的方程为 所以其渐近线方程为：‎ 即 故选：A ‎【点睛】由双曲线的标准方程得渐近线，只需将右边的1换成0，然后解出来即可.‎ ‎3.设数列的前n项和，则的值为（ ）‎ A. 4 B. ‎6 ‎C. 8 D. 10‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由求出即可 ‎【详解】因为 所以 故选：B ‎【点睛】本题考查的是数列的前n项和与通项公式的关系，较简单.‎ ‎4.抛物线的焦点坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将抛物线方程化为即可得出 ‎【详解】抛物线方程可化为：，则 所以 所以抛物线的焦点坐标为 故选：C ‎【点睛】本题考查的是由抛物线的方程得焦点坐标，较简单.‎ ‎5.，若，则等于（ ）‎ A. B. ‎1 ‎C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可求出导函数，从而根据即可得出的值．‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ ‎，解得．‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题主要考查了基本初等函数的求导公式，积的导数的计算公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于容易题．‎ ‎6.已知的顶点A、C在椭圆上，顶点B是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在AC边上，则的周长是（ ）‎ A. B. ‎6 ‎C. D. 12‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出图形，利用椭圆的定义即可解出 ‎【详解】由椭圆的方程可知：‎ 如图，为椭圆的左右焦点 所以由椭圆的定义：‎ 所以 即 即的周长是12‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查的是椭圆的定义，较简单.‎ ‎7.已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出的是（ ）‎ A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据A、B、C、D所给条件，分别进行判断即可 ‎【详解】若且，则，或，或与相交，故A不成立 若且，则，故B成立 若且，则，或，或与相交，故C不成立 由且得不到，故D不成立 故选：B ‎【点睛】本题考查的是立体几何中平行和垂直有关的判断，较简单.‎ ‎8.设双曲线与的离心率分别为，当a，b变化时，最小值是（ ）‎ A. 4 B. C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出，利用基本不等式求出其最小值即可 ‎【详解】因为 所以 当且仅当时等号成立 所以最小值是4‎ 故选：A ‎【点睛】1.本题考查的是双曲线的离心率，属于比较典型的题.‎ ‎2.基本不等式常用来求最值 第Ⅱ卷（共68分）‎ 二、填空题：（本大题共6小题每小题4分，共24分）‎ ‎9.函数的导函数为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数计算法则直接求出即可 ‎【详解】因为 所以 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查的是导数的计算，较简单.‎ ‎10.不等式的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，解出即可 ‎【详解】因为不等式解集不是空集 所以 解得或 故答案为：或 ‎【点睛】本题考查的是一元二次不等式的知识，较简单.‎ ‎11.已知向量，若，则实数的值为______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 由题意知，向量，所以，由空间向量的坐标运算，即可求解．‎ ‎【详解】由题意知，向量，所以，‎ 又由，‎ 解得．‎ ‎【点睛】本题主要考查了空间向量的坐标运算，及空间向量的数量积的运算，其中解答中熟记空间向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎12.已知在上是增函数，则a的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 条件转化为在上恒成立，即在上恒成立，然后求出右边的最小值即可 ‎【详解】因为在上是增函数 所以在上恒成立 即在上恒成立 因为在上单调递增 所以 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查的是利用导数研究函数的单调性，较典型.‎ ‎13.已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，P是以F‎1F2为直径的圆与该椭圆的一个交点，且∠PF‎1F2＝2∠PF‎2F1，则这个椭圆的离心率是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可得为直角三角形，且 ．然后在中，用的长来表示其它两边，可得，．进而由椭圆的定义可得，可求离心率．‎ ‎【详解】因为P是以F‎1F2为直径的圆与该椭圆的一个交点，所以．‎ 因为∠PF‎1F2＝2∠PF‎2F1，所以．‎ 所以，‎ ‎，‎ ‎ 所以，‎ 所以离心率 ．‎ ‎【点睛】在焦点中解决问题，注意椭圆定义的运用．为直角三角形，故可用的长，也就是c来表示其它两边，用椭圆定义即可找到a,c之间的关系．‎ ‎14.已知数列满足：，，，，则________，________．‎ ‎【答案】 (1). 0 (2). 1‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 由条件可得，‎ ‎【详解】因为，，‎ 所以 故答案为：0，1‎ ‎【点睛】本题主要考查递推公式在数列中的应用，较简单.‎ 三、解答题：（本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎15.已知为等差数列，且．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）若等比数列满足，求的前n项和公式．‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题干条件建立关于的方程组，解出，即可得到答案 ‎（2）先求出，然后由前项和公式算出即可 ‎【详解】（1）设数列的公差为 因为 所以 解得 所以 ‎（2）设的公比为 则 所以 所以的前n项和公式为：‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和等比数列的求和公式，属于基本运算.‎ ‎16.已知函数 ‎（1）求函数在点处的切线方程；‎ ‎（2）求函数的单调区间．‎ ‎【答案】（1），（2）的单调递增区间为：，；单调递减区间为：‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出和即可 ‎（2）解出不等式和即可 ‎【详解】（1）因 所以，‎ 所以 所以函数在点处的切线方程为：‎ ‎，即 ‎（2）的定义域为R 因为 所以由得或 由得 所以的单调递增区间为：，‎ 单调递减区间为：‎ ‎【点睛】本题考查的是导数的几何意义和利用导数研究函数的单调性，较简单.‎ ‎17.如图，在三棱锥P-ABC中，，，，，平面平面ABC．‎ ‎（1）求证：平面PBC；‎ ‎（2）求二面角P-AC-B的余弦值；‎ ‎（3）求直线BC与平面PAC所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析，（2），（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由面面垂直的性质定理可得平面，然后可得，再结合条件即可证明 ‎（2）作于点O，于点M，连结，可证明，所以是二面角P-AC-B的平面角，然后求出即可 ‎（3）利用求出点B到平面的距离即可 ‎【详解】（1）因为平面平面ABC，平面平面 ‎，平面 所以平面 因为平面，所以 又因为，‎ 所以平面 ‎（2）如图，作于点O，于点M，连结 因为平面平面ABC，平面平面 ‎，平面 所以平面 根据三垂线定理得：‎ 所以是二面角P-AC-B的平面角 设，因为 所以，‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以 即二面角P-AC-B的余弦值为 ‎（3）在（2）的前提下可得：‎ ‎，‎ 设点B到平面的距离为 因为 所以 所以 所以直线BC与平面PAC所成角的正弦值为 ‎【点睛】1. 三垂线定理法是作二面角的平面角常用的方法 ‎2.求点到平面的距离常用等体积法.‎ ‎18.已知椭圆的右焦点为，且椭圆过点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于M，若 （为的面积，为的面积），，问为定值吗？若为定值求出此定值，并证明你的结论，若不为定值说出你的理由．‎ ‎【答案】（1），（2）为定值，此定值是10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由椭圆过点可得，再结合方程解出来即可 ‎（2）设直线l的方程为：，，利用图形之间的关系可得，，然后将直线方程与椭圆方程联立消元可得，然后就可算出 ‎【详解】（1）因为椭圆过点 所以 又因为 所以联立上面两个方程可解得：‎ 所以椭圆的标准方程为 ‎（2）由题意，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为：‎ 利用图形之间的关系可得：，‎ 所以 由可得：‎ 所以 所以为定值，此定值是10‎ ‎【点睛】涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.‎ ‎ ‎