高三数学试卷

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高三数学试卷（文） 满分 150 分 考试时间 120 分钟 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ，集合 ，则 等于 ( ) A． B． C． D． 2.设 是虚数单位，若复数 ，则 的值为 ( ) A． 或 B． 或 C． D．1 3.已知命题 ；命题 .则下列结论正确的是 ( ) A．命题是 假命题　　　　　 B. 命题是 真命题　　　　 C．命题是 真命题　　 D．命题是 真命题 4. 的内角 的对边分别为 ，已知 ， ， ，则 的 面积为( ) A． 或 　B． C． 或 D． 5.对于下列表格所示的五个散点，已知求得的线性回归方程为 . 100 则实数 的值为 ( ) A． B． C． D． 6. 在区域 内任意取一点 ，则 的概率是( ) { }1,0,1A = − { }1 2 4xB x= ≤ < A B { }1,0,1− { }1 { }1,1− { }0,1 i 2 01 a aiz i += >− a 0 1− 0 1 1− 0 0: R,sin 2p x x∃ ∈ = 2: R, 1 0q x x x∀ ∈ − + > p q∨ p q∧ ( ) ( )p q¬ ∨ ¬ ( ) ( )p q¬ ∧ ¬ ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2a = 2 3b = 6A π= ABC∆ 2 3 3 2 3 2 3 4 3 3 ˆ 0.76 71y x= − x 98 99 101 102 y 2 3 5 m 8 m 6.8 7 7.2 7.4  ≤≤ ≤≤ 10 10 y x ),( yxP 122 >+ yx A. B. C. 　　 D. 7. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为 ( ) A. B. C. D. 8. 执行如图的程序框图，如果输入的 ，那么输出 的值是 ( ) A. B. C. D.都有可能 9. 已知函数① ，② ，则下列结论正确的是( ) A. 两个函数的图象均关于点 成中心对称 B. 两个函数的图象均关于直线 对称 C. 两个函数在区间 上都是单调递增函数 D. 可以将函数②的图像向左平移 个单位得到函数①的图像 10. 已知直角 中，斜边 ， 为线段 的中点， 为线段 上任意一点，则 的最小值为( ) A. Ｂ. Ｃ． Ｄ． 2 4 4 π − 2 4 π − 4 π 4 4 π− π 2π 3π 4π 3 5 2log 2, log 2, log 3a b c= = = m 5log 2 3log 2 2log 3 sin cosy x x= + 2 2 sin cosy x x= ( ,0)4 π− 4x π= − ( , )4 4 π π− 4 π ABC∆ 6=AB D AB P CD ( )PA PB PC+ ⋅   9 2 9 2 − 2 2− 1 12主视图 侧视图 俯视图 7 题图 开始 输入 , ,a b c m a= m b= m c= m b< m c< 输出 m 结束 是 是 否 否 8 题图 11. 中心在原点，焦点在 轴上的双曲线 的离心率为 ，直线 与双曲线 交于 两点， 线段 中点 在第一象限，并且在抛物线 上，且 到抛物线焦点的距离 为 ，则直线 的斜率为（ ） A． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 12. 设函数 ，记 ，若函数 至少存在一个零点， 则实数 的取值范围是( ) A． B． C． D． 第 II 卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.曲线 在点 处的切线方程为 . 14. 已知过双曲线 右焦点且倾斜角为 的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲 线的离心率 的取值范围是 . 15.设直线 的倾斜角为 ,则 的值为 . 16. 已 知 函 数 为 R 上 的 增 函 数 ， 函 数 图 像 关 于 点 对 称 ， 若 实 数 满 足 ，则 的取值范围是 . 三、解答题:本大题共 5 小题，共 60 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. 17. （本小题满分 12 分）已知 为等差数列，数列 满足对于任意 ，点 在直线 上，且 ， . (1) 求数列 与数列 的通项公式； (2)若 求数列 的前 项的和 . x C 2 l C ,A B AB M 2 2 ( 0)y px p= > M p l 2 3 2 1 1 2 3 2( ) 2 lnf x x ex mx x= − + − ( )( ) f xg x x = ( )g x m 2 1,e e − ∞ +（ ] 2 10,e e +（ ] 2 1 ,e e + +∞（ ] 2 21 1,e ee e − − +（ ] (2ln 1)y x x= − (1, 1)− 2 2 2 2 1x y a b − = 45° e 2 1 0x y− + = α 2cos sin 2α α+ ( )f x (3,0) ,x y 2 2( 2 3 9) ( 2 ) 0f x x f y y− + + − ≤ y x { }na { }nb Nn ∗∈ 1( , )n nb b + 2y x= 1 1 2a b= = 2 2a b= { }na { }nb n n n a nc b n =  为奇数， 为偶数， { }nc 2n 2nS 18. （本小题满分 12 分）两会结束后，房价问题仍是国民关注的热点问题，某高校金融学一 班的学生对某城市居民对房价的承受能力（如能买每平方米 6 千元的房子即承受能力为 6 千元） 的调查作为社会实践，进行调查统计，将承受能力数按 区 间 （千元）进行分组，得到如下统计图： (1) 求 的值，并估计该城市居民的平均承受能力是多 少元； (2)若用分层抽样的方法，从承受能力在 与 的居民中抽取 人，在抽取的 人中随机取 人，求 人的承受能力不同的概率. 19. （本小题满分 12 分）如图 ， ， ， ， 为 的中点， , 沿 将 折 起 至 ，如图 2，且 在面 上的投影恰好是 ，连接 ， 是 上的点，且 . (1)求证： ∥面 ； (2)求三棱锥 的体积. 20. （本小题满分 12 分）设椭圆 的右焦点为 ，直线 与 轴交于点 ，若 （其中 为坐标原点）． (1)求椭圆 的方程； (2)设 是椭圆 上的任意一点， 为圆 的任意一条直径（ 、 为 直径的两个端点），求 的最大值． [2.5,3.5),[3.5,4.5),[4.5,5.5),[5.5,6.5),[6.5,7.5] a [3.5,4.5) [5.5,6.5) 5 5 2 2 1 ABC∆ 4AB AC= = 2 3BAC π∠ = D BC DE AC⊥ DE CDE∆ 'C DE∆ 'C ABDE E 'C B M 'C B 1' 2C M MB= AM 'C DE 'C AMD− 2 2 2: 12 x yM a + = ( )2a > 1F 2 : 2 2 − = a axl x A 1 12 0OF AF+ =   O M P M EF ( ) 12: 22 =−+ yxN E F PFPE ⋅ A B C D E图 1 图 2 A B 'C E D M 0.1 0.14 0.45 3.52.5 4.5 5.5 6.5 7.5 a 千元 频率 组距 21．（本小题满分 12 分）设函数 ． (1)若函数 在 上为减函数，求实数 的最小值； (2)若存在 ，使 成立，求正实数 的取值范围． 请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做， 则按所做的第一个题目计分，作答时请用 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.（本小题满分 10 分）选修 4－1：几何证明选讲 如图，在 中， ，以 为直径的圆 交 于点 ，点 是 边的中点，连接 交圆 于点 . (1)求证： 是圆 的切线； (2)求证： . 23.（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 .在极坐标系（与直角 坐标系 取相同的长度单位，且以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴）中，圆 的方程为 ． (1)求圆 的直角坐标方程； (2)设圆 与直线 交于点 ，若点 的坐标为 ，求 ． 24.（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲 已知函数 ， ，且 的解集为 ． (1)求 的值； (2)若 ，且 ，求 的最小值. axx xxf −= ln)( )(xf ),1( +∞ a 2 1 2, [ , ]x x e e∈ axfxf +′≤ )()( 21 a B2 ABC∆ 90=∠ABC AB O AC E D BC OD O M DE O ABDMACDMBCDE ⋅+⋅=⋅ xoy l )( 2 26 2 22 为参数t ty tx       += −= xoy O x C θρ cos10= C C l BA、 P )6,2( |||| PBPA + ( ) -| -2|f x m x= Rm∈ ( 2) 0f x + ≥ [ 1,1]− m , , Ra b c +∈ 1 1 1 2 3 ma b c + + = 2 3z a b c= + + A B C D E M O 数 学(文科) 答 案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C C A B D D A C B D A 13. 14. 15. 16. 17. （本小题满分 12 分）解：(1)由点 在直线 上，有 ，所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，即数列 的通项公式为 ， 3 分 又 ， ，则 ，所以数列 是以 为首项， 为 公差的等差数列，即数列 的通项公式为 ； 6 分 (2) 所以 12 分 18. （本小题满分 12 分）解：(1)由 ，所以 ， 2 分 平均承受能力 ， 即城市居民的平均承受能力大约为 5070 元； 5 分 (2)用分层抽样的方法在这两组中抽 5 人, 即 组中抽 人与 抽 人, 设 组中两人为 , 组中三人为 ,从这 人中随机取 人,有 , , , , , , , , , 共 10 中, 符合两人承受能力不同 的有 , , , , , 共 6 中,所以所求概率为 . 12 分 2 0x y− − = 1 2e< < 8 5 [0, 3] 1( , )n nb b + 2y x= 1 2n n b b + = { }nb 2 2 { }nb 2n nb = 1 1 2a b= = 2 2 4a b= = 2 1 4 2 2d a a= − = − = { }na 2 2 { }na 2na n= n n n a nc b n =  为奇数， 为偶数， )()( 24212312 nnn bbbaaaS +…++++…++= − 41 )41(4 2 )242( − −+−+= nnn )14(3 42 2 −+= nn 0.1 0.1 0.14 0.45 1a+ + + + = 0.21a = 3 0.1 4 0.14 5 0.45 6 0.21 7 0.1 5.07x = × + × + × + × + × = [3.5,4.5) 2 [5.5,6.5) 3 [3.5,4.5) 1 2,A A [5.5,6.5) 1 2 2, ,B B B 5 2 1 2A A 1 1A B 1 2A B 1 3A B 2 1A B 2 2A B 2 3A B 1 2B B 1 3B B 2 3B B 1 1A B 1 2A B 1 3A B 2 1A B 2 2A B 2 3A B 6 3 10 5P = = 19. （本小题满分 12 分）(1) 证明：过 作 ∥ , 交 于 , 连 接 ， 于 是 ， 又 ， ， 为 的中点，所以 ， ， 由 ，得到 ,所以 ，得 ∥ , 所以面 ∥面 ,即 ∥面 ；（注：可以在翻折前的图形中证明 ∥ ） 6 分 (2) ， ，又 面 ，所以 到平 面 的 距 离 ， ， 所 以 ， 即 得 三 棱 锥 的体积为 . 12 分 20. （本小题满分 12 分）解：（1）由题设知， ， 由 ，得 解得 所以椭圆 的方程为 4 分 (2)设圆 的圆心为 ， 则 从而求 的最大值转化为求 的最大值． 因为 是椭圆 上的任意一点，设 所以 ，即 ． M MN 'C D BD N AN 1 2DN NB= 4AB AC= = 2 3BAC π∠ = D BC 4 3 3NB = 30B∠ = ° 2 2 2 2 cos30AN AB NB AB NB= + − ⋅ ⋅ ° 4 3 3AN = 120ANB∠ = ° AN ED AMN 'C DE AM 'C DE AN ED  1' 2C M MB= ' 1 1 2 2C AMD B AMD M ABDV V V− − −∴ = = 'C E ⊥ ABD M ABD 2h = 2 3ABDS∆ = 1 4 32 2 33 3M ABDV − = × × = 'C AMD− 2 3 3 2 2 ( ,0) 2 aA a − 2 1( 2,0)F a − 1 12 0OF AF+ =   2 2 2 2 2 2( 2) 2 aa a a − = − − − 62 =a M 2 2 16 2 x y+ = ( ) 12: 22 =−+ yxN N ( ) ( )PE PF NE NP NF NP⋅ = − ⋅ −      ( ) ( )NF NP NF NP= − − ⋅ −    2 2 2 1NP NF NP= − = −   PFPE ⋅ 2 NP P M 0 0( , )P x y 126 2 0 2 0 =+ yx 2 0 2 0 36 yx −= A B C D E图 1 图 2 A B 'C E D M N 因为点 ，所以 因为 ，所以当 时， 取得最大值 12 所以 的最大值为 11 12 分 21．（本小题满分 12 分）解：(1)由已知得 ． 因 在 上为减函数，故 在 上恒成立． 所以当 时， ． 又 ， 2 分 当 ，即 时， ． 所以 于是 ，故 a 的最小值为 ． 4 分 (2)命题“若存在 ，使 成立”等价于“当 时， 有 ． 由(1)，当 时， ，∴ ． 问题等价于：“当 时，有 ”． 6 分 ①当 时，由（1）， 在 上为减函数， 则 ，故 ． 8 分 ②当 < 时，由于 在 上的值域为 （ⅰ） ，即 ， 在 恒成立，故 在 上为增函数， 于是， ，矛盾． 10 分 ( )2,0N ( ) ( ) 12122 2 0 2 0 2 0 2 ++−=−+= yyxNP 0 [ 2, 2]y ∈ − 10 −=y 2 NP PFPE ⋅ 0, 1x x> ≠ ( )f x ( )1 +∞， ( ) ( )2 ln 1 0 ln xf x a x −′ = − ≤ ( )1 +∞， x∈ ( )1 +∞， ( )max 0f x′ ≤ ( ) 2 2 2 ln 1 1 1 1 1 1( ) ( )(ln ) ln ln ln 2 4 xf x a a ax x x x −′ = − = − + − = − − + − 1 1 ln 2x = 2x e= ( )max 1 4f x a′ = − 1 04 a− ≤ 1 4a ≥ 1 4 2 1 2, [ , ]x x e e∈ ( ) ( )1 2f x f x a′≤ + [ ]2 21 ,, eexx ∈ axfxf ′′+′≤ max2min1 )()( 2[ , ]x e e∈ ( )max 1 4f x a′ = − ( )max 1 4f x a′ + = 2[ , ]x e e∈ ( )min 1 4f x ≤ 1 4a ≥ ( )f x 2[ , ]e e ( ) ( ) 2 2 2 min 1 2 4 ef x f e ae= = − ≤ 2 1 1 2 4a e ≥ − a 1 4 ' 21 1 1( ) ( )ln 2 4f x ax = − − + − 2[ , ]e e 1[ , ]4a a− − 0a− ≥ 0a ≤ ' ( ) 0f x ≥ 2[ , ]e e ( )f x 2[ , ]e e min 1( ) ( ) 4f x f e e ae e= = − ≥ > （ⅱ） ，即 ，由 的单调性和值域知， 存在唯一 ，使 ，且满足： 当 时， ， 为减函数；当 时， ， 为增函数； 所以， ， 所以， ，与 矛盾． 综上，得 12 分 22.（本小题满分 10 分） 解：(1) 连结 . ∵点 是 的中点，点 是 的 中 点 ， ∴ ， ∴ ， . ∵ ， ∴ ， ∴ .在 和 中， ∵ ， ， ∴ ，即 .∵ 是圆 上一点，∴ 是圆 的切线. 5 分 (2)延长 交圆 于点 .∵ ≌ ，∴ . ∵点 是 的中点，∴ . ∵ 是 圆 的 切 线 ， ∴ . ∴ . ∵ ， ∴ . ∵ 是圆 的切线， 是 圆 的 割 线 ， ∴ ， ∴ 10 分 0a− < 10 4a< < ' ( )f x 2 0 ( , )x e e∈ 0)( 0 =′ xf 0( , )x e x∈ ' ( ) 0f x < ( )f x 2 0( , )x x e∈ ' ( ) 0f x > ( )f x 0 min 0 0 0 1( ) ( ) ln 4 xf x f x axx = = − ≤ 2 0 ( , )x e e∈ 2 0 0 1 1 1 1 1 1 1 ln 4 ln 4 2 4 4a x x e e ≥ − > − > − = 10 4a< < 2 1 1 2 4a e ≥ − OE D BC O AB ACOD 2 1//= A BOD∠ = ∠ AEO EOD∠ = ∠ OEOA = AEOA ∠=∠ EODBOD ∠=∠ EOD∆ BOD∆ OBOE = EOD BOD∴ ∆ ≅ ∆ 90=∠=∠ OBDOED EDOE ⊥ E O DE O DO O F EOD∆ BOD∆ DBDE = D BC DBBC 2= DBDE, O DBDE = 222 DEDBDEBCDE =⋅=⋅ OFABODAC 2,2 == DFDMOFODDMABACDMABDMACDM ⋅=+⋅=+⋅=⋅+⋅ 2)22()( DE O DF O DFDMDE ⋅=2 ABDMACDMBCDE ⋅+⋅=⋅ A B C D E M O 23.（本小题满分 10 分） 解：(1)由 得 ，即 . 5 分 (2)将 的参数方程代入圆 的直角坐标方程，得 . 即 ，由于 ，可设 是上述方程的两个实根. 所以 ，又直线 过点 ， 可得： . 10 分 24.（本小题满分 10 分） 解：(1)因为 ， 等价于 ， 由 有解，得 ，且其解集为 ． 又 的解集为 ，故 . 5 分 (2)由(1)知 ，又 ，由柯西不等式得 . ∴ 的最小值为 9 . 10 分 θρ cos10= 01022 =−+ xyx 25)5( 22 =+− yx l C 25)2 26()2 23( 22 =++−− tt 020292 =++ tt 082204)29( 2 >=×−=∆ 21,tt    =⋅ −=+ 20 29 21 21 tt tt l )6,2(P 29)()()(|||||||| 212121 =+−=−+−=+=+ ttttttPBPA ( 2) | |f x m x+ = − ( 2) 0f x + ≥ | |x m≤ | |x m≤ 0m ≥ { | }x m x m− ≤ ≤ ( 2) 0f x + ≥ [ 1,1]− 1m = 1 1 1 12 3a b c + + = , ,a b c R+∈ 21 1 1 1 1 12 3 ( 2 3 )( ) ( 2 3 ) 92 3 2 3 z a b c a b c a b ca b c a b c = + + = + + + + ≥ ⋅ + ⋅ + ⋅ = 2 3z a b c= + +