2013山东卷（理）数学试题
2013·山东卷(理科数学)
1． 复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数z为( )
A．2＋i B．2－i C．5＋i D．5－i
1．D [解析] 设z＝a＋bi，(a，b∈)，由题意得(a＋bi－3)(2－i)＝(2a＋b－6)＋(2b－a＋3)i＝5，即解之得∴z＝5－i.
2． 已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A．1 B．3 C．5 D．9
2．C [解析] ∵x，y∈，∴x－y值只可能为－2，－1，0，1，2五种情况，∴集合B中元素的个数是5.
3． 已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝( )
A．－2 B．0 C．1 D．2
3．A [解析] ∵f为奇函数，∴f＝－f(1)＝－＝－2.
4． 已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为( )
A. B. C. D.
4．B [解析] 设侧棱长为a，△ABC的中心为Q，联结PQ，由于侧棱与底面垂直，
∴PQ⊥平面ABC，即∠PAQ为PA与平面ABC所成的角．又∵VABC－A1B1C1＝××a＝，解得a＝，∴tan ∠PAQ＝＝＝，故∠PAQ＝.
5． 将函数y＝sin(2x＋φ)的图像沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为( )
A. B. C．0 D．－
5．B [解析] 方法一：将函数y＝sin(2x＋φ)的图像沿x轴向左平移个单位后得到f(x)＝sin的图像，若f(x)＝sin为偶函数，必有＋φ＝kπ＋，k∈，当k＝0时，φ＝.
方法二：将函数y＝sin(2x＋φ)的图像沿x轴向左平移个单位后得到f(x)＝sin的图像，其对称轴所在直线满足2x＋＋φ＝kπ＋，k∈，又∵f(x)＝sin为偶函数，∴y轴为其中一条对称轴，即＋φ＝kπ＋，k∈，当k＝0时，φ＝.
6． 在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为( )
A．2 B．1 C．－ D．－
6．C [解析] 不等式组表示的可行域如图，联立解得P，
当M与P重合时，直线OM斜率最小，此时kOM＝＝－.
图1－1
7． 给定两个命题p，q，若p是q的必要而不充分条件，则p是q的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．A [解析] ∵p是q的必要不充分条件，∴q是p的充分而不必要条件，又“若p，则q”与“若q，则p”互为逆否命题，∴p是q的充分而不必要条件．
8． 函数y＝xcos x＋sin x的图像大致为( )
图1－2
8．D [解析] ∵f(－x)＝－xcos(－x)＋sin(－x)＝－(xcos x＋sin x)＝－f(x)，∴y＝xcos x＋sin x为奇函数，图像关于原点对称，排除选项B.当x＝时，y＝1>0，排除选项C；x＝π，y＝－π<0，排除选项A；故选D.
9． 过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )
A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0
C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0
9．A [解析] 方法一：设点P(3，1)，圆心为C，
设过点P的圆C的切线方程为y－1＝k，由题意得＝1，解之得k＝0或，即切线方程为y＝1或4x－3y－9＝0.联立 得一切点为，又∵kPC＝＝，∴kAB＝－＝－2，即弦AB所在直线方程为y－1＝－2，整理得2x＋y－3＝0.
方法二：设点P(3，1)，圆心为C，以PC为直径的圆的方程为＋y＝0，整理得x2－4x＋y2－y＋3＝0，联立①，②两式相减得2x＋y－3＝0.
10． 用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )
A．243 B．252 C．261 D．279
10．B [解析] (排除法)十个数排成不重复数字的三位数求解方法是：第一步，排百位数字，有9种方法(0不能作首位)，第二步，排十位数字，有9种方法，第三步，排个位数字，有8种方法，根据乘法原理，共有9×9×8 ＝ 648(个)没有重复数字的三位数．可以组成所有三位数的个数：9×10×10＝900，所以可以组成有重复数字的三位数的个数是：900－648＝252.
11．、 抛物线C1：y＝x2(p>0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝( )
A. B. C. D.
11．D [解析] 抛物线C1：y＝x2的焦点坐标为，双曲线－y2＝1的右焦点坐标为，连线的方程为y＝－，联立 得2x2＋p2x－2p2＝0.设点M的横坐标为a，则在点M处切线的斜率为y′|x＝a＝′.又∵双曲线－y2＝1的渐近线方程为±y＝0，其与切线平行，∴＝，即a＝p，代入2x2＋p2x－2p2＝0得，p＝或p＝0(舍去)．
12． 设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为( )
A．0 B．1 C. D．3
12．B [解析] 由题意得z＝x2－3xy＋4y2，
∴＝＝≤＝1，
当且仅当＝，即x＝2y时，等号成立，
∴＋－＝＋－＝－＋1≤1.
13．
图1－3
执行如图1－3所示的程序框图，若输入的ε的值为0.25，则输出的n的值为________．
13．3 [解析] 第一次执行循环体时，F1＝3，F0＝2，n＝1＋1＝2，＝>0.25；第二次执行循环体时，F1＝2＋3＝5，F0＝3，n＝2＋1＝3，＝<0.25，满足条件，输出n＝3.
14．、 在区间[－3，3]上随机取一个数x，使得|x＋1|－|x－2|≥1成立的概率为________．
14. [解析] 当x<－1时，不等式化为－x－1＋x－2≥1，此时无解；当－1≤x≤2时，不等式化为x＋1＋x－2≥1，解之得x≥1；当x>2时，不等式化为x＋1－x＋2≥1，此时恒成立，∴|x＋1|－|x－2|≥1的解集为.在上使不等式有解的区间为，由几何概型的概率公式得P＝＝.
15． 已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．
15. [解析] ∵⊥，
∴·＝·＝－λ2＋2＋·＝0，
即－λ×9＋4＋×3×2×＝0，解之得λ＝.
16．、 定义“正对数”：ln＋ x＝现有四个命题：
①若a>0，b>0，则ln＋(ab)＝bln＋a；
②若a>0，b>0，则ln＋(ab)＝ln＋a＋ln＋b；
③若a>0，b>0，则ln＋≥ln＋a－ln＋b；
④若a>0，b>0，则ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋b＋ln 2.
其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)
16．①③④ [解析] ①中，当ab≥1时，∵b>0，∴a≥1，ln＋(ab)＝ln ab＝bln a＝bln＋a；当0
0，∴01时，左边＝ln＋(ab)＝0，右边＝ln＋a＋ln＋b＝ln a＋0＝ln a>0，∴②不成立；
③中，当≤1，即a≤b时，左边＝0，右边＝ln＋a－ln＋b≤0，左边≥右边成立；当>1时，左边＝ln＝ln a－ln b>0，若a>b>1时，右边＝ln a－ln b，左边≥右边成立；若01>b>0，左边＝ln＝ln a－ln b>ln a，右边＝ln a，左边≥右边成立，∴③正确；
④中，若00，左边≤右边；若a＋b≥1，ln＋－ln 2＝ln－ln 2＝ln()，
又∵≤a或≤b，a，b至少有1个大于1，∴ln()≤ln a或ln()≤ln b，即有ln＋－ln 2＝ln－ln 2＝ln()≤ln＋a＋ln＋b，∴④正确．
17．、 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cos B＝.
(1)求a，c的值；
(2)求sin(A－B)的值．
17．解：(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)，
又b＝2，a＋c＝6，cos B＝，所以ac＝9，
解得a＝3，c＝3.
(2)在△ABC中，sin B＝＝.
由正弦定理得sin A＝＝.
因为a＝c，所以A为锐角，
所以cos A＝＝.
因此sin(A－B)＝sin Acos B－cos Asin B＝.
图1－4
18．、 如图1－4所示，在三棱锥P－ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ＝2BD，PD与EQ交于点G，PC
与FQ交于点H，联结GH.
(1)求证：AB∥GH；
(2)求二面角D－GH－E的余弦值．
18．解：(1)证明：因为D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，所以EF∥AB，DC∥AB，所以EF∥DC.
又EF平面PCD，DC平面PCD，
所以EF∥平面PCD.
又EF平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD＝GH，所以EF∥GH.
又EF∥AB，所以AB∥GH.
(2)方法一：在△ABQ中，AQ＝2BD，AD＝DQ，
所以∠ABQ＝90°，即AB⊥BQ.
因为PB⊥平面ABQ，所以AB⊥PB.又BP∩BQ＝B，
图1－5
所以AB⊥平面PBQ.由(1)知AB∥GH，所以GH⊥平面PBQ.又FH平面PBQ，所以GH⊥FH.同理可得GH⊥HC，所以∠FHC为二面角D－GH－E的平面角．
设BA＝BQ＝BP＝2.联结FC，
在Rt△FBC中，由勾股定理得FC＝，在Rt△PBC中，由勾股定理得PC＝.又H为△PBQ的重心，所以HC＝PC＝.同理FH＝.
在△FHC中，由余弦定理得cos∠FHC＝＝－.即二面角D－GH－E的余弦值为－.
方法二：在△ABQ中，AQ＝2BD，AD＝DQ，所以∠ABQ＝90°.又PB⊥平面ABQ，所以BA，BQ，BP两两垂直．以B为坐标原点，分别以BA，BQ，BP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设BA＝BQ＝BP＝2，则E(1，0，1)，F(0，0，1)，Q(0，2，0)，D(1，1，0)，C(0，1，0)，P(0，0，2)．所以＝(－1，2，－1)，＝(0，2，－1)，＝(－1，－1，2)，＝(0，－1，2)．
设平面EFQ的一个法向量为＝(x1，y1，z1)，
由·＝0，·＝0，
得取y1＝1，得＝(0，1，2)．
设平面PDC的一个法向量为＝(x2，y2，z2)，
由·＝0，·＝0，
得
取z2＝1，得＝(0，2，1)．
所以cos〈，〉＝＝.
因为二面角D－GH－E为钝角，
所以二面角D－GH－E的余弦值为－.
图1－5
19．、 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立．
(1)分别求甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利的概率；
(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X的分布列及数学期望．
19．解：(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A1，“甲队以3∶1胜利”为事件A2，“甲队以3∶2胜利”为事件A3，由题意，各局比赛结果相互独立，故P(A1)＝()3＝，
P(A2)＝C()2(1－)×＝，
P(A3)＝C()2(1－)2×＝.
所以，甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为，以3∶2胜利的概率为.
(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A4，
由题意，各局比赛结果相互独立，
所以P(A4)＝C(1－)2()2×(1－)＝，
由题意，随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3.
根据事件的互斥性得
P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝
P(A1)＋P(A2)＝.
又P(X＝1)＝P(A3)＝.
P(X＝2)＝P(A4)＝，
P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝，
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
20．、 设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＋＝λ(λ为常数)，令cn＝b2n(n∈)，求数列{cn}的前n项和Rn.
20．解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
由S4＝4S2，a2n＝2an＋1
得
解得a1＝1，d＝2，因此an＝2n－1，n∈*.
(2)由题意知Tn＝λ－，所以n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝－＋＝.
故cn＝b2n＝＝(n－1)，n∈*.
所以Rn＝0×＋1×＋2×＋3×＋…＋(n－1)×，
则Rn＝0×＋1×＋2×＋…＋(n－2)×＋(n－1)×，
两式相减得
Rn＝＋＋＋…＋－(n－1)×
＝－(n－1)×
＝－，
整理得Rn＝(4－)．
所以数列{cn}的前n项和Rn＝(4－)．
21．、 设函数f(x)＝＋c(e＝2.718 28…是自然对数的底数，c∈)．
(1)求f(x)的单调区间、最大值；
(2)讨论关于x的方程|ln x|＝f(x)根的个数．
21．解：(1)f′(x)＝(1－2x)e－2x.
由f′(x)＝0，解得x＝，
当x<时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x>时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
所以，函数f(x)的单调递增区间是(－∞，)，单调递减区间是(，＋∞)，最大值为f＝e－1＋c.
(2)令g(x)＝|lnx|－f(x)＝|lnx|－xe－2x－c，x∈(0，＋∞)．
①当x∈(1，＋∞)时，lnx>0，则g(x)＝lnx－xe－2x－c，所以g′(x)＝e－2x(＋2x－1)．因为2x－1>0，>0，所以g′(x)>0.
因此g(x)在(1，＋∞)上单调递增．
②当x∈(0，1)时，lnx<0，则g(x)＝－lnx－xe－2x－c，
所以g′(x)＝e－2x(－＋2x－1)．
因为e2x∈(1，e2)，e2x>1>x>0，所以－<－1.
又2x－1<1，
所以－＋2x－1<0，即g′(x)<0.
因此g(x)在(0，1)上单调递减．
综合①②可知，当x∈(0，＋∞)时，g(x)≥g(1)＝－e－2－c.
当g(1)＝－e－2－c>0，即c<－e－2时，g(x)没有零点，故关于x的方程|lnx|＝f(x)根的个数为0；
当g(1)＝－e－2－c＝0，即c＝－e－2时，g(x)只有一个零点，故关于x的方程|lnx|＝f(x)根的个数为1；
当g(1)＝－e－2－c<0，即c>－e－2时，
(ⅰ)当x∈(1，＋∞)时，由(1)知g(x)＝lnx－xe－2x－c≥lnx－(e－1＋c)>lnx－1－c，
要使g(x)>0，只需使lnx－1－c>0，即x∈(e1＋c，＋∞)；
(ⅱ)当x∈(0，1)时，由(1)知g(x)＝－lnx－xe－2x－c≥－lnx－(e－1＋c)>－lnx－1－c，要使g(x)>0，只需－lnx－1－c>0，即x∈(0，e－1－c)；
所以c>－e－2时，g(x)有两个零点，
故关于x的方程|lnx|＝f(x)根的个数为2.
综上所述，
当c<－e－2时，关于x的方程|lnx|＝f(x)根的个数为0；
当c＝－e－2时，关于x的方程|lnx|＝f(x)根的个数为1；
当c>－e－2时，关于x的方程|lnx|＝f(x)根的个数为2.
22． 椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，联结PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m，0)，求m的取值范围；
(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明＋为定值，并求出这个定值．
22．解：(1)由于c2＝a2－b2，将x＝－c代入椭圆方程＋＝1，得y＝±.由题意知 ＝1，即a＝2b2.
又e＝＝，
所以a＝2，b＝1.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)方法一：设P(x0，y0)(y0≠0)．
又F1(－，0)，F2(，0)，
所以直线PF1，PF2的方程分别为
lPF1：y0x－(x0＋)y＋y0＝0，
lPF2：y0x－(x0－)y－y0＝0.
由题意知＝.
由于点P在椭圆上，所以＋y＝1，
所以＝ .
因为－
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