高考数学试题分类汇编：概率与统计

高考数学试题分类汇编：概率与统计

2007 年高考数学试题分类详解 概率与统计 一、选择题 1、（山东文理 8）某班 50 名学生在一次百米测试中，成绩全部介 于 13 秒与 19 秒之间，将测试结果按如下方式分成六 组：每一组，成绩大于等于 13 秒且小于 14 秒；第二 组，成绩大于等于 14 秒且小于 15 秒；……第六组， 成绩大于等于 18 秒且小于等于 19 秒．右图是按上述 分组方法得到的频率分布直方图. 设成绩小于 17 秒 的学生人数占全班人数的百分比为 x，成绩大于等于 15 秒且小于 17 秒的学生人数为 y，则从频率分布直方 图中可以分析出 x和 y分别为（ ） A．0.9 35， B．0.9 45， C．0.135， D．0.1 45， 【答案】 A【分析】：从频率分布直方图上可以看出 1 (0.06 0.04) 0.9x     ， 50 (0.36 0.34) 35y     . 2、（山东文 12）设集合 {1 2} {1 2 3}A B ，， ，， ，分别从集合 A和 B中随机取一个数 a和b，确定 平面上的一个点 ( )P a b， ，记“点 ( )P a b， 落在直线 x y n  上”为事件 (2 5 )nC n nN≤ ≤ ， ，若事件 nC 的概率最大，则 n的所有可能值为（ ） A．3 B．4 C．2 和 5 D．3 和 4 【答案】D【试题分析】事件 nC 的总事件数为 6。只要求出当 n=2,3,4,5 时 的基本事件个数即可。 当 n=2 时，落在直线 2x y  上的点为（1，1）； 当 n=3 时，落在直线 3x y  上的点为（1,2）、（2,1）； 当 n=4 时，落在直线 4x y  上的点为（1,3）、（2,2）； 当 n=5 时，落在直线 5x y  上的点为（2,3）； 显然当 n=3,4 时，事件 nC 的概率最大为 1 3 。 3、（广东理8）在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现 从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是 【解析】随机取出2个小球得到的结果数有 1 5 4 10 2    种(提倡列举).取出的小球标注的数字之和为3或6的结果为 {1,2},{1,5},{2,4}共3种,故所求答案为(A). 4、（山东理 12） 位于坐标原点的一个质点 P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并 且向上、向右移动的概率都是 1 2 .质点 P 移动 5 次后位于点 (2,3)的概率为 （A） 51( ) 2 （B） 2 5 5 1( ) 2 C （C） 3 3 5 1( ) 2 C （D） 2 3 5 5 5 1( ) 2 C C 【答案】:B.【分析】：质点在移动过程中向右移动 2 次向上移动 3 次，因此质点 P 移动 5 次后位于点 (2,3)的概率为 2 2 3 5 1 1( ) (1 ) 2 2 P C  。 5、（安徽理 10）以 )(x 表示标准正态总体在区间（ x, ）内取值的概率，若随机变量 服从正态分布 ),( 2N ， 则概率 ( )P     等于 （A） )(   － )(   （B） )1()1(  （C） )1(    （D） )(2   解析：以 )(x 表示标准正态总体在区间（ x, ）内取值的概率，若随机变量 服从正态分布 ),( 2N ，则概率 0 13 14 15 16 17 18 19 秒 频率/组距 0.02 0.04 0.06 0.18 0.34 0.36 ( )P     = ( ) ( )P P      = ( )      － ( )      = )1()1(  ，选 B。 6、（福建理 12）如图，三行三列的方阵有 9 个数 （i＝1，2，3；j＝1，2，3），从中任取三个数，则至少有两个数位 于同行或同列的概率是 A 7 3 B 7 4 C 14 1 D 14 13 解析：从中任取三个数共有 843 9 C 种取法，没有同行、同列的取法有 61 1 1 2 1 3 CCC ，至少有两个数位于同行或同列的 概率是 14 13 84 61  ，选 D 7、（湖南理 5）设随机变量 服从标准正态分布 (0 1)N ，，已知 ( 1.96) 0.025   ， 则 (| | 1.96)P   =（ ） A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975 【答案】C 【解析】 服从标准正态分布 (0 1)N ，， (| | 1.96) ( 1.96 1.96)P P        (1.96) ( 1.96) 1 2 ( 1.96) 1 2 0.025 0.950.           8、（湖南文 7）根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图（如图 2），从图中可以看出， 该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是 A．48 米 B. 49 米 C. 50 米 D. 51 米 【答案】C 【解析】由频率分布直方图知水位为 50 米的频率/组距为 1%，即水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低 水位是 50 米。 9、（江西理 10）将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次．．成等差数列的概率为（ ） Ａ． 1 9 Ｂ． 1 12 Ｃ． 1 15 Ｄ． 1 18 解析：一骰子连续抛掷三次得到的数列共有 36 个，其中为等差数列有三类：（1）公差为 0 的有 6 个；（2）公差为 1 或 -1 的有 8 个；（3）公差为 2 或-2 的有 4 个，共有 18 个，成等差数列的概率为 12 1 6 18 3  ，选 B 10、（江西文 6）一袋中装有大小相同，编号分别为1 2 3 4 5 6 7 8，，，，，，，的八个球，从中有放回．．．地每次取一个球，共取 2 次， 则取得两个球的编号和不小于．．．15 的概率为（ ） Ａ． 1 32 Ｂ． 1 64 Ｃ． 3 32 Ｄ． 3 64 解析：从中有放回地取 2 次，所取号码共有 8*8=64 种，其中和不小于 15 的有 3 种， 分别是（7，8），（8，7），（8，8），故所求概率为 3 . 64 P  选 D. 11、（湖北理 9）连掷两次骰子得到的点数分别为m 和 n，记向量 ( )m n，a = 与向量 (1 1) ，b 的夹角为 ，则 图 2 0     ， 的概率是（ ） A． 5 12 B． 1 2 C． 7 12 D． 5 6 答案：选 C 解析：由向量夹角的定义，图形直观可得，当点  ,A m n 位于直线 y x 上及其下方时，满足 0     ， ，点  ,A m n 的总个数为 6 6 个，而位于直线 y x 上及其下方的点  ,A m n 有 1 1 1 1 2 3 4 56 1 21C C C C      个，故所求概 率 21 7 36 12   ，选 C 12、（湖北理 6）为了了解学校学生的身体发育情况，抽查了该校 100 名高中男生的体重情况，根据所得数据画出样本 的频率分布直方图如右图所示，根据此图，估计该校 2000 名高中男 生中体重大于 70.5 公斤的人数为 A.300 B.350 C.420 D.450 答案：选 B 解析：70.5 公斤以上的人数的频率为（0.04+0.035+0.018） × 2=0.166，70.5 公斤以上的人数为 2000×0.166=332，选 B （图形数 据不太准确） 13、（湖北文 7）将 5 本不同的书全发给 4 名同学，每名同 学至少有 一本书的概率是 A. 64 15 B. 128 15 C. 125 24 D. 125 48 答案：选 A 解析：将 5 本不同的书全发给 4 名同学共有 45种发法，其中每名同学至少有一本书的发法有 4 4 2 5 AC ，故每名同学至少 有一本书的概率是 P= 64 15 45 4 4 2 5  AC ，选 A 14、（浙江理 5）已知随机变量 服从正态分布 2(2 )N ， ， ( 4) 0.84P  ≤ ，则 ( 0)P  ≤ （ ） A．0.16 B．0.32 C．0.68 D，0.84 【答案】：A 【分析】：由 2 2( 4) ( 2 2) ( ) 0.84.P P P         ≤ ≤ ≤ 又 2 2 2 2( 0) ( 2 2) ( ) 1 ( ) 0.16.P P P P                ≤ ≤ ≤ ≤ 故选 A. 15、（浙江文8）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获 胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是 (A1 0．216 (B)0．36 (C)0．432 (D)0．648 【答案】D 【分析】：甲获胜有两种情况，一是甲以2：0获胜，此时 2 1 0.6 0.36p   二是甲以2：1获胜，此时 1 2 2 0.6 0.4 0.6 0.288p C     ，故甲获胜的概率 1 2 0.648p p p   16、（海、宁理 11 文 12）甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭 20 次，三人的测试成绩如下表 1 2 3s s s， ， 分别表示 甲、乙、丙三名运动 员这次测试成绩的标 准差，则有（ ） Ａ． 3 1 2s s s  Ｂ． 2 1 3s s s  Ｃ． 1 2 3s s s  Ｄ． 2 3 1s s s  【答案】：B 甲的成绩 环数 7 8 9 1 0 频数 5 5 5 5 乙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 6 4 4 6[来源:学科网 ZXXK] 丙的成绩 环数 7 8 9 1 0 频数 4 6 6 4 【分析】： (7 8 9 10) 5 8.5, 20 x       甲 2 2 2 2 2 1 5 [(7 8.5) (8 8.5) (9 8.5) (10 8.5) ] 1.25, 20 s           (7 10) 6 (8 9) 4 8.5, 20 x       乙 2 2 2 2 2 2 6 [(7 8.5) (10 8.5) ] 4 [(8 8.5) (9 8.5) ] 1.45, 20 s            (7 10) 4 (8 9) 6 8.5, 20 x       丙 2 2 2 2 2 3 4 [(7 8.5) (10 8.5) ] 6 [(8 8.5) (9 8.5) ] 1.05, 20 s            2 2 2 1 3 2 1 3 .s s s s s s   2由 得 17、（重庆理 6 文 7）从 5 张 100 元，3 张 200 元，2 张 300 元的奥运预赛门票中任取 3 张， 则所取 3 张中至少有 2 张价格相同的概率为（ ） A． 4 1 B． 120 79 C． 4 3 D． 24 23 【答案】：C 【分析】：可从对立面考虑，即三张价格均不相同， 1 1 1 5 3 2 3 10 31 . 4 C C CP C     18、（辽宁理 9 文 10）一个坛子里有编号为 1，2，…，12 的 12 个大小相同的球，其中 1 到 6 号球是红球，其余的是 黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有 1 个球的号码是偶数的概率是（ ） A． 1 22 B． 1 11 C． 3 22 D． 2 11 解析：从中任取两个球共有 662 12 C 种取法，其中取到的都是红球，且至少有 1 个球的号码是偶数的取法有 122 3 2 6 CC 种取法，概率为 11 2 66 12  ，选 D 19、（四川理 12）已知一组抛物线 21 1 2 y ax bx   ，其中 a为 2、4、6、8 中任取的一个数，b为 1、3、5、7 中任 取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线 1x  交点处的切线相互平行的概率是（ ） （A） 1 12 （B） 7 60 （C） 6 25 （D） 5 16 解析：选 B．这一组抛物线共 4 4 16  条，从中任意抽取两条，共有 2 16 120C  种不同的方法．它们在与直线 1x  交 点处的切线的斜率 1' |xk y a b   ．若 5a b  ，有两种情形，从中取出两条，有 2 2C 种取法；若 7a b  ，有三种 情形，从中取出两条，有 2 3C 种取法；若 9a b  ，有四种情形，从中取出两条，有 2 4C 种取法；若 11a b  ，有三 种情形，从中取出两条，有 2 3C 种取法；若 13a b  ，有两种情形，从中取出两条，有 2 2C 种取法．由分类计数原理知 任取两条切线平行的情形共有 2 2 2 2 2 2 3 4 3 2 14C C C C C     种，故所求概率为 7 60 ． 20、（四川文 3）某商场买来一车苹果，从中随机抽取了 10 个苹果，其重量（单位：克）分别为：150，152，153，149， 148，146，151，150，152，147，由此估计这车苹果单个重量的期望值是（ ） （A）150.2 克 （B）149.8 克 （C）149.4 克 （D）147.8 克 解析：选Ｂ． 21、（陕西文 6）某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有 40 种、10 种、30 种、20 种，现从中抽取一个容量为 20 的样本进行食品安全检测。若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬 类食品种数之和是 （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 解析：共有食品 100 种，抽取容量为 20 的样本，各抽取 5 1 ，故抽取植物油类与果蔬类食品种数之和为 2+4=6，选 C 二、填空题 1、（天津文 11）从一堆苹果中任取了 20 只，并得到它们的质量（单位：克）数据分布表如下： 分组  90100，  100110，  110120，  120130，  130140，  140150， 频数 1 2 3 10 1 则这堆苹果中，质量不小于．．．120 克的苹果数约占苹果总数的 ％． 解.70【解析】由表中可知这堆苹果中，质量不小于 120 克的苹果数为:20 1 2 3 14    故约占苹果总数的 0 0 14 0.70 70 20   . 2、（全国 1 文 13）从自动打包机包装的食盐中，随机抽取 20 袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）： 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499[来源:学科网] 根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在 497.5g~501.5g 之间的概率约为 __________。 解：自动包装机包装的袋装食盐质量在 497.5g~501.5g 之间的概率约为 P= 5 20 =0.25。 3、（广东理 9）甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有 4 个红球、 2 个白球，乙袋装有 1 个红球、5 个白球。现分别从甲、乙两袋中各随机抽取 1 个球，则取出的两球是红球的概率为 ______(答案用分数表示) 答案： 2 9 解析： 4 1 2 6 6 9   ； 4、（全国 2 理 14）在某项测量中，测量结果服从正态分布 N（1，2）（>0），若在（0，1）内取值的概率为 0.4，则 在（0，2）内取值的概率为 。 解．在某项测量中，测量结果服从正态分布 N（1，2）（>0），正态分布图象的对称轴为 x=1，在（0，1）内取值的 概率为 0.4，可知，随机变量ξ在(1，2)内取值的概率于在(0，1)内取值的概率相同，也为 0.4，这样随机变量ξ在(0，2) 内取值的概率为 0.8。 5、（全国 2 文 13）一个总体含有 100 个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为 5 的样本，则指定的某 个个体被抽到的概率为 ． 解．一个总体含有 100 个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为 5 的样本，则指定的某个个体被抽到 的概率为 1 20 ． 6、(安徽文 14)在正方体上任意选择两条棱,则这两条棱相互平行的概率为 . 解析：在正方体上任意选择两条棱 ,有 2 12 66C  种可能，这两条棱相互平行的选法有 2 43 18C  种，所以概率 18 3 66 11 P   。 7、（上海文 9）在五个数字1 2 3 4 5，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）． 【答案】 3.0 【解析】剩下两个数字都是奇数，取出的三个数为两偶一奇，所以剩下两个数字都是奇数的概率是 2 1 2 3 3 5 3 0.3 10 C CP C    。 8、（福建理 15）两封信随机投入 A、B、C 三个空邮箱，则 A 邮箱的信件数 的数学期望 ＝_______； 解 析 ： ξ 的 取 值 有 0 ， 1 ， 2 ， 9 1)2(, 9 4 9 )1(, 9 4 9 22)0( 1 2 1 2     pCCpp ， 所 以 E ξ = 3 2 9 12 9 41 9 40  9、（湖北文理 14）某篮运动员在三分线投球的命中率是 1 2 ，他投球 10 次，恰好投进 3 个球的概率 ．（用数 值作答） 答案： 15 128 解析：由题意知所求概率 3 7 3 10 1 1 15 2 2 128 p C             10、（浙江理 15）随机变量 的分布列如下：  1 0 1 P a b c 其中 a b c， ， 成等差数列，若 1 . 3 E  则D 的值是 ． 【答案】： 5 9 【分析】： a b c， ， 成等差数列， 2 ,b a c   有 1,a b c   11 1 . 3 E a c c a         联立三式得 1 1 1, , , 6 3 2 a b c   2 2 21 1 1 1 2 1 5( 1 ) ( ) ( ) . 3 6 3 3 3 2 9 D          11、(浙江文13)某校有学生2000人，其中高三学生500人．为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法， 从该校学生中抽取一个200人的样本．则样本中高三学生的人数为___________． 【答案】 50 【分析】：分层抽样即是按比例抽样，易知抽样比例为10：1,故500名高三学生应抽取的人数为50人。 三、解答题 1、（重庆理 18）（本小题满分 13 分，其中（Ⅰ）小问 4 分，（Ⅱ）小问 9 分） 某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每 辆汽车，单位可获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次），设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为 1 9 ， 1 10 ， 1 11 ，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中： （Ⅰ）获赔的概率； （Ⅱ）获赔金额 的分布列与期望． （18）（本小题 13 分） 解：设 kA 表示第 k辆车在一年内发生此种事故， 1 2 3k  ，，．由题意知 1A， 2A ， 3A 独立， 且 1 1( ) 9 P A  ， 2 1( ) 10 P A  ， 3 1( ) 11 P A  ． （Ⅰ）该单位一年内获赔的概率为 1 2 3 1 2 3 8 9 10 31 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 9 10 11 11 P A A A P A P A P A        ． （Ⅱ） 的所有可能值为0，9000，18000， 27000． 1 2 3 1 2 3 8 9 10 8( 0) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 10 11 11 P P A A A P A P A P A        ， 1 2 3 1 2 3 1 2 3( 9000) ( ) ( ) ( )P P A A A P A A A P A A A     1 2 3 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P A P A P A P A P A P A P A P A   1 9 10 8 1 10 8 9 1 9 10 11 9 10 11 9 10 11          242 11 990 45   ， 1 2 3 1 2 3 1 2 3( 18000) ( ) ( ) ( )P P A A A P A A A P A A A     1 2 3 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P A P A P A P A P A P A P A P A   1 1 10 1 9 1 8 1 1 9 10 11 9 10 11 9 10 11          27 3 990 110   ， 1 2 3 1 2 3( 27000) ( ) ( ) ( ) ( )P P A A A P A P A P A    1 1 1 1 9 10 11 990     ． 综上知， 的分布列为  0 9000 18000 27000 P 8 11 11 45 3 110 1 990 求 的期望有两种解法： 解法一：由 的分布列得 8 11 3 10 9000 18000 27000 11 45 110 990 E         29900 2718.18 11  ≈ （元）． 解法二：设 k 表示第 k辆车一年内的获赔金额， 1 2 3k  ，，， 则 1 有分布列 1 0 9000 P 8 9 1 9 故 1 19000 1000 9 E    ． 同理得 2 19000 900 10 E    ， 3 19000 818.18 11 E    ． 综上有 1 2 3 1000 900 818.18 2718.18E E E E          （元）． 2、（四川理 18）（本小题满分 12 分）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同 规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品. （Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为 0.8，从中任意取出 4件进行检验.求至少有 1 件是合格品的概率; （Ⅱ）若厂家发给商家 20 件产品，其中有 3 件不合格，按合同规定该商家从中任取 2件，都进行检验，只有 2件都合 格时才接收这批产品，否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数 的分布列及期望 E ，并求该商家拒收这批产品 的概率. 本题考察相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考察随机事件的分布列，数学期望等，考察运用所学知识与方 法解决实际问题的能力。[来源:学科网] 解：（Ⅰ）记“厂家任取 4 件产品检验，其中至少有 1 件是合格品”为事件 A 用对立事件 A 来算，有     41 1 0.2 0.9984P A P A     （Ⅱ） 可能的取值为0,1,2   2 17 2 20 1360 190 CP C     ，   1 1 3 17 2 20 511 190 C CP C     ，   2 3 2 20 32 190 CP C      0 1 2 P 136 190 51 190 3 190 136 51 3 30 1 2 190 190 190 10 E        记“商家任取 2 件产品检验，都合格”为事件 B，则商家拒收这批产品的概率   136 271 1 190 95 P P B     所以商家拒收这批产品的概率为 27 95 3、（天津理 18）（本小题满分 12 分） 已知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 3 个黑球，乙盒内有大小相同的 2 个红球和 4 个黑球．现从甲、乙两个盒内各任 取 2 个球． （Ⅰ）求取出的 4 个球均为黑球的概率； （Ⅱ）求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率； （Ⅲ）设 为取出的 4 个球中红球的个数，求 的分布列和数学期望． 本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识 解决实际问题的能力．满分 12 分． （Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的 2 个球均为黑球”为事件 A，“从乙盒内取出的 2 个球均为黑球”为事件 B．由于事 件 A B， 相互独立，且 2 3 2 4 1( ) 2 CP A C   ， 2 4 2 6 2( ) 5 CP B C   ． 故取出的 4 个球均为黑球的概率为 1 2 1( ) ( ) ( ) 2 5 5 P A B P A P B   · · ． （Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的 2 个球均为黑球；从乙盒内取出的 2 个球中，1 个是红球，1 个是黑球”为事件C，“从 甲盒内取出的 2 个球中，1 个是红球，1 个是黑球；从乙盒内取出的 2 个球均为黑球”为事件D．由于事件C D， 互斥， 且 2 1 1 3 2 4 2 2 4 6 4( ) 15 C C CP C C C   · · ， 1 2 3 4 2 2 4 6 1( ) 5 C CP D C C  · ． 故取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率为 4 1 7( ) ( ) ( ) 15 5 15 P C D P C P D      ． （Ⅲ）解： 可能的取值为01 2 3，，，．由（Ⅰ），（Ⅱ）得 1( 0) 5 P    ， 7( 1) 15 P    ， 1 3 2 2 4 6 1 1( 3) 30 CP C C    · ．从而 3( 2) 1 ( 0) ( 1) ( 3) 10 P P P P            ．  的分布列为  0 1 2 3 P 1 5 7 15 3 10 1 30  的数学期望 1 7 3 1 70 1 2 3 5 15 10 30 6 E          ． 4、（天津文 18）（本小题满分 12 分）已知甲盒内有大小相同的 3 个红球和 4 个黑球，乙盒内有大小相同的 5 个红球和 4 个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取 2 个球． （Ⅰ）求取出的 4 个球均为红球的概率； （Ⅱ）求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率； （18）本小题主要考查互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分 12 分． （Ⅰ）解：设“从甲盒内取出的 2 个球均为红球”为事件 A，“从乙盒内取出的 2 个球均为红球”为事件 B．由于事 件 A B， 相互独立，且 2 3 2 7 C 1( ) C 7 P A   ， 2 3 2 9 C 5( ) C 18 P B   ， 故取出的 4 个球均为红球的概率是 1 5 5( ) ( ) ( ) 7 18 126 P A B P A P B     ． （Ⅱ）解：设“从甲盒内取出的 2 个球中，1 个是红球，1 个是黑球；从乙盒内取出的 2 个红球为黑球”为事件C，“从 甲盒内取出的 2 个球均为黑球；从乙盒内取出的 2 个球中，1 个是红球，1 个是黑球”为事件D．由于事件C D， 互 斥，且 1 1 2 3 4 4 2 2 7 9 C C C 2( ) C C 21 P C   ， 1 12 5 24 2 2 7 5 C CC 10( ) C C 63 P D   ． 故取出的 4 个红球中恰有 4 个红球的概率为 2 10 16( ) ( ) ( ) 21 63 63 P C D P C P D      ． 5、（陕西文 18）（本小题满分 12 分）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试， 否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为 5 4 、 5 3 、 5 2 ，且各轮问题能否正确回答互 不影响. （Ⅰ）求该选手被淘汰的概率； （Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数数期望.（注：本小题结果可用分数表示） 解法一：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第 i轮的问题”的事件为 ( 1 2 3)iA i  ，， ，则 1 4( ) 5 P A  ， 2 3( ) 5 P A  ， 3 2( ) 5 P A  ， 该选手被淘汰的概率 1 1 2 2 2 3 1 1 2 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P P A A A A A A P A P A P A P A P A P A      1 4 2 4 3 3 101 5 5 5 5 5 5 125        ． （Ⅱ） 的可能值为1 2 3，，， 1 1( 1) ( ) 5 P P A    ， 1 2 1 2 4 2 8( 2) ( ) ( ) ( ) 5 5 25 P P A A P A P A       ， 1 2 1 2 4 3 12( 3) ( ) ( ) ( ) 5 5 25 P P A A P A P A       ．  的分布列为  1 2 3 P 1 5 8 25 12 25 1 8 12 571 2 3 5 25 25 25 E        ． 解法二：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第 i轮的问题”的事件为 ( 1 2 3)iA i  ，， ，则 1 4( ) 5 P A  ， 2 3( ) 5 P A  ， 3 2( ) 5 P A  ． 该选手被淘汰的概率 1 2 3 1 2 31 ( ) 1 ( ) ( ) ( )P P A A A P A P A P A    4 3 2 1011 5 5 5 125      ． （Ⅱ）同解法一． 6、（陕西文 18）（本小题满分 12 分）某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核， 否则 即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为 5 4 、 5 3 、 5 2 、 5 1 ，且各轮问题能否正 确回答互不影响. （Ⅰ）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率; （Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率. （注：本小题结果可用分数表示） 解：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第 i轮的问题”的事件为 ( 1 2 3 4)iA i  ，，， ，则 1 4( ) 5 P A  ， 2 3( ) 5 P A  ， 3 2( ) 5 P A  ， 4 1( ) 5 P A  ，  该 选 手 进 入 第 四 轮 才 被 淘 汰 的 概 率 4 1 2 3 4 1 2 3 4 4 3 2 4 96( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 5 5 625 P P A A A A P A P A P A P P       ． （Ⅱ）该选手至多进入第三轮考核的概率 3 1 1 2 1 2 3( )P P A A A A A A   1 1 2 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P A P A P A P A P A   1 4 2 4 3 3 101 5 5 5 5 5 5 125        ． 7、（山东理 18）（本小题满分 12 分）设 b 和 c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量  表示方程 2 0x bx c   实根的个数（重根按一个计）．[来源:学科网] （Ⅰ）求方程 2 0x bx c   有实根的概率； （Ⅱ）求 的分布列和数学期望； （Ⅲ）求在先后两次出现的点数中有 5 的条件下，方程 2 0x bx c   有实根的概率． 【标准答案】:（I）基本事件总数为6 6 36  ， 若使方程有实根，则 2 4 0b c    ，即 2b c 。 当 1c  时， 2,3,4,5,6b  ； 当 2c  时， 3,4,5,6b  ； 当 3c  时， 4,5,6b  ； 当 4c  时， 4,5,6b  ； 当 5c  时， 5,6b  ； 当 6c  时， 5,6b  , 目标事件个数为5 4 3 3 2 2 19,      因此方程 2 0x bx c   有实根的概率为 19 . 36 (II)由题意知， 0,1,2  ，则 17( 0) 36 P    ， 2 1( 1) , 36 18 P     17( 2) 36 P    ， 故 的分布列为  0 1 2 P 17 36 1 18 17 36  的数学期望 17 1 170 1 2 1. 36 18 36 E        (III)记“先后两次出现的点数中有 5”为事件 M，“方程 2 0ax bx c   有实根” 为事件 N，则 11( ) 36 P M  ， 7( ) 36 P MN  ， ( ) 7( ) ( ) 11 P MNP N M P M   . 8、（全国 II 理 18）（本小题满分 12 分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取 1 件，假设事件 A：“取 出的 2 件产品中至多有 1 件是二等品”的概率 ( ) 0.96P A  ． （1）求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 p； （2）若该批产品共 100 件，从中任意抽取 2 件， 表示取出的 2 件产品中二等品的件数，求 的分布列． 解：（1）记 0A 表示事件“取出的 2 件产品中无二等品”， 1A表示事件“取出的 2 件产品中恰有 1 件二等品”． 则 0 1A A， 互斥，且 0 1A A A  ，故 0 1( ) ( )P A P A A  0 1 2 1 2 2 ( ) ( ) (1 ) C (1 ) 1 P A P A p p p p         于是 20.96 1 p  ． 解得 1 20.2 0.2p p  ， （舍去）． （2） 的可能取值为01 2，，． 若该批产品共 100 件，由（1）知其二等品有100 0.2 20  件，故 2 80 2 100 C 316( 0) C 495 P     ． 1 1 80 20 2 100 C C 160( 1) C 495 P     ． 2 20 2 100 C 19( 2) C 495 P     ． 所以 的分布列为  0 1 2 P 316 495 160 495 19 495 9、（全国 II 文 19．（本小题满分 12 分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取 1 件，假设事件 A：“取 出的 2 件产品中至多有 1 件是二等品”的概率 ( ) 0.96P A  ． （1）求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 p； （2）若该批产品共 100 件，从中任意抽取 2 件，求事件 B：“取出的 2 件产品中至少有一件二等品”的概率 ( )P B ． 解：（1）记 0A 表示事件“取出的 2 件产品中无二等品”， 1A表示事件“取出的 2 件产品中恰有 1 件二等品”． 则 0 1A A， 互斥，且 0 1A A A  ，故 0 1( ) ( )P A P A A  0 1 2 1 2 2 ( ) ( ) (1 ) C (1 ) 1 P A P A p p p p         于是 20.96 1 p  ． 解得 1 20.2 0.2p p  ， （舍去）． （2）记 0B 表示事件“取出的 2 件产品中无二等品”， 则 0B B ． 若该批产品共 100 件，由（1）知其中二等品有100 0.2 20  件，故 2 80 0 2 100 C 316( ) C 495 P B   ． 0 0 316 179( ) ( ) 1 ( ) 1 495 495 P B P B P B      10、（全国 I 文 18）（本小题满分 12 分）某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统 计，顾客采用一次性付款的概率是 0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润 200 元；若顾客采用 分期付款，商场获得利润 250 元． （Ⅰ）求 3 位购买该商品的顾客中至少有 1 位采用一次性付款的概率； （Ⅱ）求 3 位顾客每人购买 1 件该商品，商场获得利润不超过 650 元的概率． 解：（Ⅰ）记 A表示事件：“3位顾客中至少1位采用一次性付款”，则 A表示事件：“3位顾客中无人采用一次性付款”． 2( ) (1 0.6) 0.064P A    ， ( ) 1 ( ) 1 0.064 0.936P A P A     ． （Ⅱ）记 B表示事件：“3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元”． 0B 表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”． 1B 表示事件：“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”． 则 0 1B B B  ． 3 0( ) 0.6 0.216P B   ， 1 2 1 3( ) 0.6 0.4 0.432P B C    ． 0 1( ) ( )P B P B B  0 1( ) ( )P B P B  0.216 0.432  0.648 ． 11、（全国 I 理 18）（本小题满分 12 分）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数 的分布列为  1 2 3 4 5 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商场经销一件该商品，采用 1 期付款，其利润为 200 元；分 2 期或 3 期付款，其利润为 250 元；分 4 期或 5 期付款， 其利润为 300 元．表示经销一件该商品的利润． （Ⅰ）求事件 A：“购买该商品的 3 位顾客中，至少有 1 位采用 1 期付款”的概率 ( )P A ； （Ⅱ）求的分布列及期望 E ． 解：（Ⅰ）由 A表示事件“购买该商品的 3 位顾客中至少有 1 位采用 1 期付款”． 知 A表示事件“购买该商品的 3 位顾客中无人采用 1 期付款” 2( ) (1 0.4) 0.216P A    ， ( ) 1 ( ) 1 0.216 0.784P A P A     ． （Ⅱ）的可能取值为 200元， 250元，300元． ( 200) ( 1) 0.4P P     ， ( 250) ( 2) ( 3) 0.2 0.2 0.4P P P          ， ( 300) 1 ( 200) ( 250) 1 0.4 0.4 0.2P P P            ． 的分布列为  200 250 300 P 0.4 0.4 0.2 200 0.4 250 0.4 300 0.2E       240 （元）． 12、（宁夏理 20）（本小题满分 12 分）如图，面积为 S的正方形 ABCD中有一个不规则的图形M ，可按下面方法估计 M 的面积：在正方形 ABCD中随机投掷n个点，若 n个点中有m个点落入M 中，则M 的面积的估计值为 m S n ，假 设正方形 ABCD的边长为 2，M 的面积为 1，并向正方形 ABCD中随机投掷10000个点，以 X 表示落入M 中的点的 数目． （I）求 X 的均值 EX ； （II）求用以上方法估计M 的面积时，M 的面积的估计值与实际 值 之 差 在 区 间 ( 0.03 ) ， 内的概率． 附表： 10000 10000 0 ( ) 0.25 0.75 k t t t t P k C      k 2424 2425 2574 2575 ( )P k 0.0403 0.0423 0.9570 [来源:Z,xx,k.Com] 0.9590 解：每个点落入M 中的概率均为 1 4 p  ． D C BA M 依题意知 1~ 10000 4 X B       ， ． （Ⅰ） 110000 2500 4 EX    ． （Ⅱ）依题意所求概率为 0.03 4 1 0.03 10000 XP          ， 0.03 4 1 0.03 (2425 2575) 10000 XP P X            2574 10000 10000 2426 0.25 0.75t t t t C      2574 2425 10000 10000 1 10000 10000 2426 0 0.25 0.75 0.25 0.75t t t t t t t C C           0.9570 0.0423 0.9147   ． 13、（宁夏文 20）（本小题满分 12 分）设有关于 x的一元二次方程 2 22 0x ax b   ． （Ⅰ）若 a是从01 2 3，，，四个数中任取的一个数，b是从01 2，，三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率． （Ⅱ）若 a是从区间[0 3]， 任取的一个数，b是从区间[0 2]， 任取的一个数，求上述方程有实根的概率． 解：设事件 A为“方程 2 22 0a ax b   有实根”． 当 0a  ， 0b  时，方程 2 22 0x ax b   有实根的充要条件为 a b≥ ． （Ⅰ）基本事件共 12 个： (0 0) (0 1) (0 2) (1 0) (11) (1 2) (2 0) (2 1) (2 2) (3 0) (31) (3 2)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，， ．其中第一个数表示 a的取值，第二个数表示b的取 值． 事件 A中包含 9 个基本事件，事件 A发生的概率为 9 3( ) 12 4 P A   ． （Ⅱ）试验的全部结束所构成的区域为 ( ) | 0 3 0 2a b a b， ，≤ ≤ ≤ ≤ ． 构成事件 A的区域为 ( ) | 0 3 0 2a b a b a b， ， ，≤ ≤ ≤ ≤ ≥ ． 所以所求的概率为 213 2 2 22 3 2 3       ． 14、（辽宁文 17）（本小题满分 12 分）某公司在过去几年内使用某种型号的灯管 1000 支，该公司对这些灯管的使用寿 命（单位：小时）进行了统计，统计结果如下表所示： 分组 [500，900) [900 ， 1100) [1100 ， 1300) [1300 ， 1500) [1500 ， 1700) [1700 ， 1900) [1900 ，  ) 频数 48 121 208 223 193 165 42 频率 （I）将各组的频率填入表中； （II）根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足 1500 小时的频率； （III）该公司某办公室新安装了这种型号的灯管 3 支，若将上述频率作为概率，试求至少有 2 支灯管的使用寿命不足 1500 小时的概率． 本小题主要考查频率、概率、总体分布的估计、独立重复试验等基础知识，考查使用统计的有关知识解决实际问 题的能力．满分 12 分． （I）解： 分组 [500，900) [900 ， 1100) [1100 ， 1300) [1300 ， 1500) [1500 ， 1700) [1700 ， 1900) [1900 ，  ) 频数 48 121 208 223 193 165 42 频率 0.048 0.121 0.208 0.223 0.193 0.165 0.042 ···········································································································4 分 （II）解：由（I）可得0.048 0.121 0.208 0.223 0.6    ，所以灯管使用寿命不足 1500 小时的频率为 0.6． 8 分 （III）解：由（II）知，1 支灯管使用寿命不足 1500 小时的概率 0.6P  ，根据在n次独立重复试验中事件恰好发生 k次 的概率公式可得 2 2 3 3 3 3(2) (3) C 0.6 0.4 0.6 0.648P P     ． 所以至少有 2 支灯管的使用寿命不足 1500 小时的概率是 0.648．·····························12 分 15、（江西理 19）（本小题满分 12 分）某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧 制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制 后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依 次为0.6，0.5，0.75． （1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率； （2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为 ，求随机变量 的期望． 解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件 1A， 2A ， 3A ， （1）设 E表示第一次烧制后恰好有一件合格，则 1 2 3 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( )P E P A A A P A A A P A A A        0.5 0.4 0.6 0.5 0.6 0.6 0.5 0.4 0.4 0.38          ． （2）解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为 0.3p  ， 所以 ~ (3 0.3)B ， ， 故 3 0.3 0.9E np     ． 解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件 A B C， ， ，则 ( ) ( ) ( ) 0.3P A P B P C   ， 所以 3( 0) (1 0.3) 0.343P      ， 2( 1) 3 (1 0.3) 0.3 0.441P        ， 2( 2) 3 0.3 0.7 0.189P       ， 3( 3) 0.3 0.027P     ． 于是， ( ) 1 0.441 2 0.189 3 0.027 0.9E         ． 16、（江西文 19）（本小题满分 12 分）栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗．．，然后再进行移栽．已知甲、乙两种果树成． 苗．的概率分别为0.6，0.5，移栽后成活．．的概率分别为0.7，0.9． （1）求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗．．的概率； （2）求恰好有一种果树能培育成苗．．且移栽成活．．的概率． 解：分别记甲、乙两种果树成苗为事件 1A， 2A ；分别记甲、乙两种果树苗移栽成活为事件 1B ， 2B ， 1( ) 0.6P A  ， 2( ) 0.5P A  ， 1( ) 0.7P B  ， 2( ) 0.9P B  ． （1）甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为 1 2 1 2( ) 1 ( ) 1 0.4 0.5 0.8P A A P A A       ； （2）解法一：分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件 A B， ， 则 1 1( ) ( ) 0.42P A P A B  ， 2 2( ) ( ) 0.45P B P A B  ． 恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为 ( ) 0.42 0.55 0.58 0.45 0.492P AB AB      ． 解法二：恰好有一种果树栽培成活的概率为 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2( ) 0.492P A B A A B A B A A B A A B B    ． 17、（江苏 17）（本小题满分 12 分）某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留到小数点后面第 2 位） （1）5 次预报中恰有 2 次准确的概率；（4 分） （2）5 次预报中至少有 2 次准确的概率；（4 分） 解：（1） 2 3 2 5 4 4 16 11 10 0.05 5 5 25 125 p C                 （2） 4 1 5 4 41 1 1 0.0064 0.99 5 5 P C            （3） 3 1 4 4 4 41 0.02 5 5 5 P C          （3）5 次预报中恰有 2 次准确，且其中第3次预报准确的概率；（4 分） 18、（湖南理 17）（本小题满分 12 分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力， 每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有 60%，参加过计算机培 训的有 75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响． （I）任选 1 名下岗人员，求该人参加过培训的概率； （II）任选 3 名下岗人员，记 为 3 人中参加过培训的人数，求 的分布列和期望． 解：任选 1 名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件 A，“该人参加过计算机培训”为事件B，由题设知，事件 A与 B相互独立，且 ( ) 0.6P A  ， ( ) 0.75P B  ． （I）解法一：任选 1 名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是 1 ( ) ( ) ( ) 0.4 0.25 0.1P P A B P A P B      所以该人参加过培训的概率是 2 11 1 0.1 0.9P P     ． 解法二：任选 1 名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是 3 ( ) ( ) 0.6 0.25 0.4 0.75 0.45P P A B P A B        该人参加过两项培训的概率是 4 ( ) 0.6 0.75 0.45P P A B    ． 所以该人参加过培训的概率是 5 3 4 0.45 0.45 0.9P P P     ． （ II）因为每个人的选择是相互独立的，所以 3 人中参加过培训的人数  服从二项分布 (3 0.9)B ， ， 3 3( ) 0.9 0.1k k kP k C     ， 01 2 3k  ，，，，即 的分布列是  0 1 2 3 P 0.001 0.027 0. 243 0.729  的期望是 1 0.027 2 0.243 3 0.729 2.7E        ． （或 的期望是 3 0.9 2.7E    ） 19、（湖南文 17）（本小题满分 12 分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力， 每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有 60%，参加过计算机培 训的有 75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响． （I）任选 1 名下岗人员，求该人参加过培训的概率； （II）任选 3 名下岗人员，求这 3 人中至少有 2 人参加过培养的概率． 解：任选 1 名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件 A，“该人参加过计算机培训”为事件B，由题设知，事件 A与 B相互独立，且 ( ) 0.6P A  ， ( ) 0.75P B  ． （I）解法一：任选 1 名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是 1 ( ) ( ) ( ) 0.4 0.25 0.1P P A B P A P B      所以该人参加过培训的概率是 11 1 0.1 0.9P    ． 解法二：任选 1 名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是 2 ( ) ( ) 0.6 0.25 0.4 0.75 0.45P P A B P A B        该人参加过两项培训的概率是 3 ( ) 0.6 0.75 0.45P P A B    ． 所以该人参加过培训的概率是 2 3 0.45 0.45 0.9P P    ． （II）解法一：任选 3 名下岗人员，3 人中只有 2 人参加过培训的概率是 2 2 4 3 0.9 0.1 0.243P C    ． 3 人都参加过培训的概率是 3 3 0.9 0.729P   ． 所以 3 人中至少有 2 人参加过培训的概率是 4 5 0.243 0.729 0.972P P    ． 解法二：任选 3 名下岗人员，3 人中只有 1 人参加过培训的概率是 1 2 3 0.9 0.1 0.027C    ． 3 人都没有参加过培训的概率是 30.1 0.001 ． 所以 3 人中至少有 2 人参加过培训的概率是1 0.027 0.001 0.972   ． 20、（湖北理 17）（本小题满分 12 分）在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有 100 个数据，将数据分组如右表： （I）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图； （II）估计纤度落在[1.381.50)， 中的概率及纤度小于1.40的概率是 多少？ （III）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间 [1.301.34)， 的中点值是1.32）作为代表．据此，估计纤度的期望． 本小题主要考查频率分布直方图、概率、期望等概念和用样本频 率 估 计 总体分布的统计方法，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力． 解：（Ⅰ） （Ⅱ）纤度落在 1.381.50， 中的概率约为0.30 0.29 0.10 0.69   ，纤度小于 1.40 的概 率约为 10.04 0.25 0.30 0.44 2     ． （Ⅲ）总体数据的期望约为 1.32 0.04 1.36 0.25 1.40 0.30 1.44 0.29 1.48 0.10 1.52 0.02 1.4088            ． 21、（广东理 17）(本小题满分 12 分) 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x (吨)与相应的生 产能耗 y (吨标准煤)的几组对照数据 x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)请画出上表数据的散点图； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y关于 x的线性回归方程 ˆ ˆy bx a  ； (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性 回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值：3 2.5 4 3 5 4 6 4.5 66.5        ) 解： (1)如下图 分组 频数 [1.301.34)， 4 [1.341.38)， 25 [1.381.42)， 30 [1.421.46)， 29 [1.461.50)， 10 [1.501.54)， 2 合计 100 分组 频数 频率  1.301.34， 4 0.04  1.341.38， 25 0.25  1.381.42， 30 0.30  1.421.46， 29 0.29  1.461.50， 10 0.10  1.501.54， 2 0.02 合计 100 1.00 样本数据 频率/组距 1.30 1.34 1.38 1.42 1.46 1.50 1.54 (2) yx i n i i 1 =32.5+43+54+64.5=66.5 x = 4 6543  =4.5 y = 4 5.4435.2  =3.5   n i xi 1 2 =32 +42 +52+62 =86 2 66.5 4 4.5 3.5 66.5 63ˆ 0.7 86 4 4.5 86 81 b           ˆˆ 3.5 0.7 4.5 0.35a Y bX      故线性回归方程为 y=0.7x+0.35 (3)根据回归方程的预测，现在生产 100 吨产品消耗的标准煤的数量为 0.7100+0.35=70.35 故耗能减少了 90-70.35=19.65(吨) 广东文 8．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机 取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是 A． 3 10 B． 1 5 C． 1 10 D． 1 12 22、（福建文18）（本小题满分12分）甲、乙两名跳高运动员一次试跳 2米高度成功的概率分别是0.7，0.6，且每次 试跳成功与否相互之间没有影响，求： （Ⅰ）甲试跳三次，第三次才成功的概率； （Ⅱ）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率； （Ⅲ）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率． 本小题主要考查概率的基础知识，运用数学知识解决问题的能力，以及推理与运算能力．满分 12 分． 解：记“甲第 i次试跳成功”为事件 iA，“乙第 i次试跳成功”为事件 iB ，依题意得 ( ) 0.7iP A  ， ( ) 0.6iP B  ，且 iA， iB （ 1 2 3i  ，，）相互独立． （Ⅰ）“甲第三次试跳才成功”为事件 1 2 3A A A ，且三次试跳相互独立， 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) 0.3 0.3 0.7 0.063P A A A P A P A P A      ． 答：甲第三次试跳才成功的概率为0.063． （Ⅱ）“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C． 解法一： 1 1 1 1 1 1C A B A B A B   ，且 1 1A B ， 1 1A B ， 1 1A B 彼此互斥， 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )P C P A B P A B P A B      1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P B P A P B P A P B   0.7 0.4 0.3 0.6 0.7 0.6      0.88 ． 解法二： 1 1( ) 1 ( ) ( ) 1 0.3 0.4 0.88P C P A P B      ． 答：甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.88． （Ⅲ）设“甲在两次试跳中成功 i次”为事件 ( 0 1 2)iM i  ，， ， “乙在两次试跳中成功 i次”为事件 ( 0 1 2)iN i  ，， ， 事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为 1 0 2 1M N M N ，且 1 0M N ， 2 1M N 为互斥事件， 所求的概率为 1 0 2 1 1 0 2 1( ) ( ) ( )P M N M N P M N P M N   1 0 2 1( ) ( ) ( ) ( )P M P N P M P N  1 2 2 1 2 20.7 0.3 0.4 0.7 0.6 0.4C C        0.0672 0.2352  0.3024 答：甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为0.3024． 23、（北京理18）（本小题共13分）某中学号召学生在今年春 节 期 间 至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共 有 100名 学生，他们参加活动的次数统计如图所示． （I）求合唱团学生参加活动的人均次数； （II）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好 相 等 的 概率． （III）从合唱团中任选两名学生，用 表示这两人参加活动次 数 之 差 的绝对值，求随机变量 的分布列及数学期望 E ． 解：由图可知，参加活动 1 次、2 次和 3 次的学生人数分别为 10 、 50 和 40． （ I ） 该 合 唱 团 学 生 参 加 活 动 的 人 均 次 数 为 1 10 2 50 3 40 230 2.3 100 100        ． （II）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为 2 2 2 10 50 40 0 2 100 41 99 C C CP C     ． （III）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加 1 次活动，另一人参加 2 次活动”为事件 A，“这两人中一人 参加 2 次活动，另一人参加 3 次活动”为事件 B，“这两人中一人参加 1 次活动，另一人参加 3 次活动”为事件C．易 知 ( 1) ( ) ( )P P A P B    1 1 1 1 10 50 50 40 2 4 100 100 50 99 C C C C C C    ； ( 2) ( )P P C   1 1 10 40 2 100 8 99 C C C   ；  的分布列：  0 1 2 P 41 99 50 99 8 99  的数学期望： 41 50 8 20 1 2 99 99 99 3 E        ． 24、（北京文 18）（本小题共 12 分）某条公共汽车线路沿线共有 11 个车站（包括起点站和终点站），在起点站开出的 一辆公共汽车上有 6 位乘客，假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的．求： 1 2 3 10 20 30 40 50 参加人数 活动次数 （I）这 6 位乘客在其不相同的车站下车的概率； （II）这 6 位乘客中恰有 3 人在终点站下车的概率； 解：（I）这 6 位乘客在互不相同的车站下车的概率为 6 10 6 6 1512 .1512 10 10 AP   ≥ ． （II）这 6 位乘客中恰有 3 人在终点站下车的概率为 3 3 6 6 6 9 1458 0.01458 10 10 CP     ． 25、（安徽理20) (本小题满分13分) 在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有 6 只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内 共有 8 只蝇子：6 只果蝇和 2 只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到．．两只苍蝇都飞出， 再关闭小孔.以ξ表示笼内还剩下的果蝇．．．．．的只数. （Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）； （Ⅱ）求数学期望 Eξ； （Ⅲ）求概率 P（ξ≥Eξ）. 本小题主要考查等可能场合下的事件概率的计算、离散型随机变量的分布列、数学期望的概念及其计算，考查分 析问题及解决实际问题的能力．本小题满分 13 分． 解：（Ⅰ） 的分布列为：  0 1 2 3 4 5 6 P 7 28 6 28 5 28 4 28 3 28 2 28 1 28 （Ⅱ）数学期望为 2 (1 6 2 5 3 4) 2 28 E        ． （Ⅲ）所求的概率为 5 4 3 2 1 15( ) ( 2) 28 28 P E P         ≥ ≥ ． 26、（安徽文 19)(本小题满分 13 分)在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象.一个关有 6只果蝇的笼子里，不 慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有 8只蝇子：6 只果蝇和 2 只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往 外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔. (Ⅰ)求笼内恰好剩下．．．．1只果蝇的概率； （Ⅱ）求笼内至少剩下．．．．5 只果蝇的概率. 本小题主要考查排列、组合知识与等可能事件、互斥事件概率的计算，运用概率知识分析问题及解决实际问题的 能力．本小题满分 13 分． 解：以 kA 表示恰剩下 k只果蝇的事件 ( 0 1 6)k  ，， ， ． 以 mB 表示至少剩下m只果蝇的事件 ( 0 1 6)m  ，， ， ． 可以有多种不同的计算 ( )kP A 的方法． 方法 1（组合模式）：当事件 kA 发生时，第8 k 只飞出的蝇子是苍蝇，且在前7 k 只飞出的蝇子中有 1 只是苍蝇，所 以 1 7 2 8 7( ) 28 k k C kP A C     ． 方法 2（排列模式）：当事件 kA 发生时，共飞走8 k 只蝇子，其中第8 k 只飞出的蝇子是苍蝇，哪一只？有两种不同 可能．在前7 k 只飞出的蝇子中有6 k 只是果蝇，有 6 8 kC  种不同的选择可能，还需考虑这7 k 只蝇子的排列顺序．所 以 1 6 2 6 8 8 (7 )! 7( ) 28 k k k C C k kP A A        ． 由上式立得 1 6 3( ) 28 14 P A   ； 3 5 6 5 6 3( ) ( ) ( ) ( ) 28 P B P A A P A P A     ．