考点30+异面直线所成的角-2018版典型高考数学试题解读与变式

考点30+异面直线所成的角-2018版典型高考数学试题解读与变式

典型高考数学试题解读与变式2018版 考点30： 异面直线所成的角 ‎【考纲要求】‎ ‎1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题.‎ ‎2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.‎ ‎【命题规律】‎ 异面直线的知识是高考的热点问题，选择、填空、解答题都有可能进行考查.预计2018年的高考对本知识的考查空间向量的应用，仍然是以简单几何体为载体解决线线问题．‎ ‎【典型高考试题变式】‎ ‎（一）空间直线与直线夹角的问题 例1.【2017全国3卷（理）】，为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边 所在直线与，都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论：‎ ‎①当直线与成角时，与成角；‎ ‎②当直线与成角时，与成角；‎ ‎③直线与所称角的最小值为；‎ ‎④直线与所称角的最小值为；‎ 其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）‎ ‎【答案】② ③‎ ‎【解析】由题意知，，，三条直线两两相互垂直，画出图形如图．‎ 不妨设图中所示正方体边长为1，故，，‎ 边以直线为旋转轴旋转，则点保持不变，点的运动轨迹是以为圆心，1为半径的圆．以为坐标原点，以为轴正方向，为轴正方向，‎ 为轴正方向建立空间直角坐标系．则，，‎ 直线的方向单位向量，．点起始坐标为，‎ 直线的方向单位向量，．设点在运动过程中的坐标，‎ 其中为与的夹角，．‎ 那么在运动过程中的向量，．‎ 当与夹角为时，即，‎ ‎．‎ 因为，所以．所以．‎ 因为．所以，此时与夹角为．所以②正确，①错误．故填② ③.‎ ‎【方法技巧归纳】求空间两条直线的夹角，可以先考察两条直线是否异面垂直，若垂直，则化为线面垂直问题或用平移法转化为共面垂直，结合勾股定理加以证明.一般情形，可通过平移后通过解斜三角形求两条异面直线所成的角.‎ ‎【变式1】【改编例题中条件，求两直线的夹角】【2016浙江（文）】如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°.沿直线AC将ACD翻折成ACD'，直线AC与BD' 所成角的余弦的最大值是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：如图，连接BD′，设直线与所成的角为．‎ 是的中点.由已知得，以为轴，为轴，过与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，.作于，连接D′H翻折过程中，始终与垂直， 则，则，，因此（设∠DHD′=α），‎ 则，与平行的单位向量为，‎ 所以＝，所以时，取得最大值，为．‎ ‎【变式二】【改编例题中结论，求解动态问题】【2017浙江嵊州市二模】在四棱柱中，平面，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，为侧棱上的动点（包括端点），则（ ）‎ A．对任意的，，存在点，使得 B．当且仅当时，存在点，使得 C．当且仅当时，存在点，使得 D．当且仅当时，存在点，使得 ‎【答案】C ‎（二）异面直线的夹角 例2.【2017全国2卷（理）】已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）.‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】，，分别为，，中点，则，夹角为和夹角或其补角（异面线所成角为），可知，，‎ 作中点，则可知为直角三角形．，‎ 中，，‎ 则，则中，，‎ 则中，.‎ 又异面线所成角为，则余弦值为．故选C.‎ ‎【方法技巧归纳】1.利用向量法求异面直线所成角的步骤 ‎2．注意向量法求异面直线所成角与向量夹角的区别，尤其是取值范围．‎ ‎【变式1】【改编题目条件和结论，利用向量法求解】【2017届东北师大附中、哈尔滨师大附中、辽宁省实验中学四模】已知正四棱锥中， 分别是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】建立如图所示空间直角坐标系，可知 ‎．‎ 则，‎ 则．故本题答案选C．‎ ‎【变式2】【改编题目条件和结论，利用普通方法求解】【2018届河北省邢台市高三上学期第二次月考】如图，在四棱锥中， 平面， 为线段的中点，底面为菱形，若， ，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图， 平面 从而 ，又 所以 ‎ 故 ，故选B.‎ ‎【数学思想】‎ ‎1.转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法，数学中一切问题的解决(当然包括解题)都离不开转化与化归，数形结合思想体现了数与形的相互转化；函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，以上三种思想方法都是转化与化归思想的具体体现。各种变换方法、分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化的手段。所以说，转化与化归是数学思想方法的灵魂.‎ ‎2. 转化包括等价转化和非等价转化，非等价转化又分为强化转化和弱化转化 等价转化要求在转化过程中的前因后果既是充分的又是必要的，这样的转化能保证转化的结果仍为原问题所需要的结果，非等价转化其过程则是充分的或必要的，这样的转化能给人带来思维的启迪，找到解决问题的突破口，非等价变形要对所得结论进行必要的修改.‎ 非等价转化（强化转化和弱化转化）在思维上带有跳跃性，是难点，在压轴题的解答中常常用到，一定要特别重视！‎ ‎3.转化与化归的原则 ‎（1）熟悉化原则：将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易解的或已经解决的问题；‎ ‎（2）直观化原则：将抽象的问题转化为具体的直观的问题；‎ ‎（3）简单化原则：将复杂的问题转化为简单的问题，将一般性的问题转化为直观的特殊的问题；将实际问题转化为数学问题，使问题便与解决.‎ ‎（4）正难则反原则：若过正面问题难以解决，可考虑问题的反面，从问题的反面寻求突破的途径；‎ ‎（5）低维度原则：将高维度问题转化成低维度问题.‎ ‎4.转化与化归的基本类型 ‎（1） 正与反、一般与特殊的转化；‎ ‎（2） 常量与变量的转化；‎ ‎（3） 数与形的转化；‎ ‎（4） 数学各分支之间的转化；‎ ‎（5） 相等与不相等之间的转化；‎ ‎（6） 实际问题与数学模型的转化.‎ ‎5．常见的转化方法 ‎（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题；‎ ‎（2）换元法：运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问 题；‎ ‎（3）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化；‎ ‎（4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题；‎ ‎（5）坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要途径；‎ ‎（6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径；‎ ‎（7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题；‎ ‎（8）一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化；‎ ‎（9）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的；‎ ‎（10）补集法：（正难则反）若过正面问题难以解决，可将问题的结果看作集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集获得原问题的解决.‎ 立体几何中的转化与化归，主要利用直接转化法或坐标法，将空间问题转化成平面问题、将几何问题转化成代数问题加以解决.‎ ‎【空间角的范围处理错误注意点】‎ 解决此类问题，要注意各种空间角的给定范围，容易在范围上出现问题.‎ ‎【典例试题演练】‎ ‎1．【2017届河北省武邑中学五模】正四面体中， 是棱的中点， 是点在底面内的射影，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 如图，设正四面体的棱长是1，则，高，设点在底面内的射影是，则，所以即为所求异面直线所成角，则，应选答案B。‎ ‎2．【2017届河南省六市高三下学期第二次联考】如图， ， ， ， 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示， 是异面直线的图形的序号为（ ）‎ A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④‎ ‎【答案】D ‎3．【2017届四川省广元市高三第三次高考适应性统考】对于四面体,有以下命题:①若,则点在底面内的射影是的外心；②若,,则点在底面内的射影是的内心；③四面体的四个面中最多有四个直角三角形；④若四面体的6条棱长都为1,则它的内切球的表面积为.其中正确的命题是( )‎ A. ①③ B. ③④ C. ①②③ D. ①③④‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题设，故顶点在底面内的射影是底面中心，故命题①是正确的；四面体中的四个面中最多有四个直角三角形，如图，故命题③是正确的；对于命题②，如图，尽管,,点在底面内的射影不是的内心，即命题②是错误的；若四面体的6条棱都为1，则它的体积为，又设内切球的半径为，则，则，即命题④也是正确的。应选答案D。‎ ‎4．【2017届山西省临汾市高三考前适应性训练】已知平面，及直线下列说法正确的是（ ）‎ A. 若直线与平面 所成角都是，则这两条直线平行 B. 若直线与平面 所成角都是，则这两条直线不可能垂直 C. 若直线平行，则这两条直线中至少有一条与平面平行 D. 若直线垂直，则这两条直线与平面 不可能都垂直 ‎【答案】D ‎【解析】解：由题意逐一分析所给的选项：‎ 若直线与平面 所成角都是，则这两条直线不一定平行；‎ ‎ 若直线与平面 所成角都是，则这两条直线可能垂直；‎ ‎ 若直线平行，则这两条直线中可能两条都与平面不平行；‎ ‎ 若直线垂直，则这两条直线与平面 不可能都垂直；‎ 本题选择D选项.‎ ‎5．【2017届河北省张家口市高三上学期期末考试】三棱柱中，为等边三角形，平面，，，分别是，的中点，则与所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 三棱柱中，为等边三角形，如图： 的中点为，连结 ，则有 ，，所以四边形为平行四边形，所以或其补角即为所求，不妨设 ，则 有 ，在 中，由余弦定理可得： ，故选C.‎ ‎6．【2018届吉林省百校联盟高三TOP20九月联考】如图，在长方体中， ， ，点是长方体外的一点，过点作直线，记直线与直线， 的夹角分别为， ，若 ，则满足条件的直线（ ）‎ A. 有1条 B. 有2条 C. 有3条 D. 有4条 ‎【答案】D ‎【解析】由题意有： ，‎ 即： ，则，考虑与直线所成的角相同的直线，‎ 其在平面内的射影应该平分，这样的直线只有1条，‎ 同理其补角也存在1条满足题意的直线，这样找到2条满足题意的直线，‎ 同理，在处也可以找到2条满足题意的直线；‎ 综上可得：满足条件的直线有4条。‎ 本题选择D选项.‎ ‎7．【2017届陕西省西安市西北工业大学附属中学高三下学期第六次模拟】在正三棱柱中， ，则与所成角的大小为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】以A为原点,在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴,以AC为y轴,AA1‎ 为z轴,建立空间直角坐标系如图所示，‎ 设BB1=,则A(0,0,0), ，‎ ‎, ，‎ ‎,‎ ‎，‎ ‎∴AB1与C1B所成角的大小为.‎ 本题选择D选项.‎ ‎8．【2017届陕西省西安市长安区第一中学高三4月模拟】如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边长为2，侧视图是一直角三角形，俯视图为一直角梯形，且，则异面直线与所成角的正切值是（ ）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 如图，取的中点，连接，依题意得， ，所以为异面直线与所成角，因为，所以，故选C.‎ ‎9．【2017年福建泉州新世纪中学模考】在四面体中，若， ， ，则直线与所成角的余弦值为（　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图所示，该四面体为长方体的 四个顶点，设 长方体的长宽高分别为，则：‎ ‎，解得： ，‎ 问题等价于求解线段AB与线段夹角的余弦值，‎ 结合边长和余弦定理可得：直线与所成角的余弦值为 。‎ 本题选择D选项.‎ ‎10．【2017届四川省成都市高中毕业班第三次诊断检测】在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面，且 ‎，则异面直线与所成角的余弦值为（　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，可补形成正方体如下图：‎ 所以异面直线与所成角就是与所以角，而为直角三角形，所以所成角为，。选A.‎ ‎11．【2017届山西省孝义市高三下学期考前热身训练】【在长方体中, ,点在线段上运动,当异面直线与所成的角最大时,则三棱锥的体积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图所示，连结，则为锐角， 即为异面直线与所成的角，很明显，当点P位于点A处时异面直线与所成的角最大,此时.本题选择B选项.‎ ‎12．【2018届广西柳州市高三毕业班上学期摸底联考】如图所示，在四面体中，若截面是正方形，则下列命题中正确的是__________．(将所有正确答案序号填写到横线上)‎ ‎①；②截面；③；④异面直线与所成的角为．‎ ‎【答案】①②④‎ ‎13．【2017届河北省衡水中学高三下学期第三次摸底考试】已知两平行平面间的距离为，点，点，且，若异面直线与所成角为60°，则四面体的体积为__________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】设平面ABC与平面交线为CE，取 ,则 ‎ ‎ ‎ ‎14．【2017届安徽省江淮十校高三下学期第三次联考】如图，矩形中， ， 为边的中点，将沿直线翻转成.若为线段的中点，则在翻折过程中：‎ ‎①是定值；②点在某个球面上运动；‎ ‎③存在某个位置，使；④存在某个位置，使平面.‎ 其中正确的命题是_________.‎ ‎【答案】①②④‎ 假设③正确，即在某个位置，使得DE⊥A1C，‎ 又矩形ABCD中， ，‎ 满足 ，从而DE⊥平面A1EC，则DE⊥A1E，这与DA1⊥A1E矛盾.所以存在某个位置，使得DE⊥A1C不正确，即③不正确.‎ 综上，正确的命题是①②④‎