2020年高中数学第一章y=Asin(ωx+ψ)第1课时y=Asin(ωx+φ)图象的变换优化练习

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2020年高中数学第一章y=Asin(ωx+ψ)第1课时y=Asin(ωx+φ)图象的变换优化练习

第1课时 y=Asin(ωx+φ)图象的变换 ‎ [课时作业]‎ ‎[A组 基础巩固]‎ ‎1.要得到函数y=cos 2x的图象,只需将y=cos 的图象(  )‎ A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 解析:设y=cos 2x的图象平移φ个单位长度,得到y=cos 2(x+φ)=cos(2x+2φ)的图象,令φ=,即可得到y=cos ,故y=cos 2x的图象向左平移φ=个单位长度得到y=cos 的图象,因此,要得到函数y=cos 2x的图象,只需将y=cos 的图象向右平移个单位长度.‎ 答案:B ‎2.把函数f(x)=sin 2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,则g(x)的最小正周期为(  )‎ A.2π         B.π C. D. 解析:由题意知g(x)=sin(2×x)+1=sin x+1.故T=2π.‎ 答案:A ‎3.函数y=cos x图象上各点的纵坐标不变,把横坐标变为原来的2倍,得到的解析式为y=cos ωx,则ω=(  )‎ A.2 B. C.4 D. 解析:将y=cos x图象上各点横坐标变为原来的2倍,得到函数y=cos x,故ω=.‎ 答案:B 6‎ ‎4.将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能取值为(  )‎ A. B. C.0 D.- 解析:将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位,得到函数 y=sin =sin ,因为此时函数为偶函数,‎ 所以+φ=+kπ,k∈Z,即φ=+kπ,k∈Z,验证知选B.‎ 答案:B ‎5.函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图像如图所示,则f(x)的单调递减区间为(  )‎ A.(kπ-,kπ+)k∈Z B.(2kπ-,2kπ+),k∈Z C.(k-,k+),k∈Z D.(2k-,2k+),k∈Z 解析:由五点作图知,,解得ω=π,φ=,所以f(x)=cos(πx+),令2kπ<πx+<2kπ+π,k∈Z,解得2k-<x<2k+,k∈Z,故单调减区间为(2k-,2k+),k∈Z,故选D.‎ 答案:D ‎6.将函数y=sin(-2x)的图象向右平移个单位,所得函数图象的解析式为________.‎ 解析:将y=sin(-2x)的图象向右平移个单位,得函数y=sin[-2(x-)]=‎ sin(-2x+π)的图象.‎ 答案:y=sin(-2x+π)‎ ‎7.把函数y=cos 的图象向右平移φ个单位长度,所得到的图象正好关于y轴对称,则φ的最小正值是________.‎ 6‎ 解析:将y=cos 的图象向右平移φ个单位长度,得y=cos 的图象,‎ ‎∵y=cos 的图象关于y轴对称,‎ ‎∴cos =±1.∴φ-=kπ,k∈Z.‎ 当k=-1时,φ取得最小正值.‎ 答案: ‎8.将函数y=f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变,横坐标伸长到原来的2倍,然后再将整个图象沿x轴向左平移个单位,得到的曲线与y=sin x的图象相同,则y=f(x)的函数表达式为________.‎ 解析:根据题意,y=sin x的图象沿x轴向右平移个单位后得到y=sin (x-),再将此函数图象上点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的倍,得到 y=sin(2x-),此即y=f(x)的解析式.‎ 答案:y=sin(2x-)‎ ‎9.使函数y=f(x)图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标缩小到原来的倍,然后再将图象沿x轴向左平移个单位得到的曲线与y=sin 2x的图象相同,求f(x)的解析式.‎ 解析:由题意将y=sin 2x的图象向右平移个单位得函数 y=sin 2=sin 的图象,再将所得函数的图象横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变得到函数y=sin 的图象,故f(x)=sin .‎ ‎10.已知函数f(x)=3sin(2x+φ),其图象向左平移个单位长度后,关于y轴对称.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式;‎ ‎(2)说明其图象是由y=sin x的图象经过怎样的变换得到的.‎ 解析:(1)将函数f(x)=3sin(2x+φ)图象上的所有点向左平移 6‎ 个单位长度后,所得图象的函数解析式为y=3sin =3sin .‎ 因为图象平移后关于y轴对称,‎ 所以2×0++φ=kπ+(k∈Z),‎ 所以φ=kπ+(k∈Z).因为φ∈,所以φ=.‎ 所以f(x)=3sin .‎ ‎(2)将函数y=sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度,所得图象的函数解析式为y=sin ,再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得函数y=sin 的图象,再把图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),即得函数y=3sin 的图象.‎ ‎[B组 能力提升]‎ ‎1.设ω>0,函数y=sin(ωx+)+2的图象向右平移个单位后与原图象重合,则ω的最小值是(  )‎ A.           B. C. D.3‎ 解析:y=sin(ωx+)+2 ‎ y1=sin[ω(x-)+]+2=sin(ωx+-ω)+2.‎ ‎∵y与y1的图象重合,‎ ‎∴-ω=2kπ(k∈Z),∴ω=-k.‎ 又∵ω>0,k∈Z,‎ ‎∴k=-1时,ω取最小值为.‎ 答案:C ‎2.将函数y=3sin 的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数(  )‎ 6‎ A.在区间上单调递减 B.在区间上单调递增 C.在区间上单调递减 D.在区间上单调递增 解析:平移后的函数为y=3sin =‎ ‎3sin =3sin ,增区间:-+2kπ≤2x-π≤+2kπ,k∈Z,即+kπ≤x≤π+kπ,k∈Z,当k=0时,≤x≤π,故选B.‎ 答案:B ‎3.给出下列图象变换方法:‎ ‎①图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变;‎ ‎②图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变;‎ ‎③图象向右平移个单位;‎ ‎④图象向左平移个单位;‎ ‎⑤图象向右平移个单位;‎ ‎⑥图象向左平移个单位.‎ 请用上述变换中的两种变换,将函数y=sin x的图象变换为函数y=sin 的图象,那么这两种变换的序号依次是________(填上一种你认为正确的答案即可).‎ 解析:可以先平移,再伸缩,故可将y=sin x的图象向左平移个单位,再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,故变换序号为④②.也可先伸缩再平移,即先将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再将图象向左平移个单位,故变换序号为②⑥.‎ 答案:④②或②⑥‎ ‎4.说明y=-2sin +1的图象是由y=sin x的图象经过怎样变换得到的.‎ 6‎ 解析:y=sin x的图象 y=-2sin x的图象 y=-2sin 2x的图象 y=-2sin 的图象 y=-2sin +1的图象.‎ ‎5.将函数y=lg x的图象向左平移一个单位长度, 可得函数f(x)的图象;将函数y=cos(2x-)的图象向左平移个单位长度,可得函数g(x)的图象.‎ ‎(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象;‎ ‎(2)判断方程f(x)=g(x)解的个数.‎ 解析:函数y=lg x的图象向左平移一个单位长度,‎ 可得函数f(x)=lg(x+1)的图象,即图象C1;函数y=cos(2x-)的图象向左平移个单位长度,可得函数g(x)=cos[2(x+)-]=cos 2x的图象,即图象C2.‎ ‎(1)画出图象C1和C2的图象如图 ‎ (2)由图象可知:两个图象共有5个交点.‎ 即方程f(x)=g(x)解的个数为5.‎ 6‎
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