【数学】2018届一轮复习人教A版第04讲分离函数法-高中数学常用的解题技巧学案

【数学】2018届一轮复习人教A版第04讲分离函数法-高中数学常用的解题技巧学案

‎ 高中数学常用解题技巧第04讲：分离函数法 ‎【知识要点】‎ ‎1、在高中数学解题过程中，对于某些形如的分式函数，经常要分离函数，把数学问题转化的简单易解.‎ ‎2、形如的分式函数，如果分子分母最高次数相同，分离出 的常数为最高次数的系数比；如果分母的最高次数比分子的最高次数低，可以直接利用竖式除法分离；如果分母的最高次数比分子的最高次数高，可以直接把分式的分子分母同时除以分子，再分离，再解答.‎ ‎【方法讲评】‎ ‎ 【例1】已知函数．‎ ‎（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性；‎ ‎（3）当时，函数，求函数的值域．‎ 因为是减函数，所以是减函数，则函数在区间上是减函数，故函数在区间上也是减函数． ‎ 则， ‎ 因此，函数的值域为． ‎ ‎【点评】（1）对于形如的函数，一般利用分离函数方法分离，再解答. 如果分子分母最高次数相同，分离出 的常数为最高次数的系数比. 的分子分母最高次数都是“”，所以分离出 的常数为它们的系数比“”. （2）把分离成，再利用复合函数的单调性 分析就简洁多了. ‎ ‎【反馈检测1】已知数列{an}的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，且满足，，记 （）‎ ‎（1）求数列的通项公式； - - ‎ ‎（2）设数列的前2014项和为，求不超过的最大整数．‎ ‎ ‎ ‎【例2】已知，求的最小值.‎ ‎【点评】（1）本题也可以利用导数 ‎ 求函数的最值，但是利用基本不等式效率要稍微高些.（2）要利用基本不等式关键是化简变形，使它满足“一正二定三相等”.怎么化简呢？对于形如的函数，一般先把分子配方配出，好和分母相约，再把分子的后面的一次项配出，好和分母相约.最后结果的形式自然可以利用基本不等式了.（3）由于已知条件里有，所以，所以联想到利用基本不等式求函数的最值. 在平时的学习过程中，大家要注意观察想象，提高自己的反应能力.‎ ‎【反馈检测2】已知，求函数 的最小值.‎ ‎【反馈检测3】定义在上的函数满足，已知的导函数的图象如图所示，若两个正数满足，则的取值范围是（　　）‎ ‎　‎ ‎ ‎ ‎ 高中数学常用解题技巧第04讲：分离函数法参考答案 ‎【反馈检测1答案】（1）；（2）2014.‎ ‎【反馈检测1详细解析】（1）设奇数项构成等差数列的公差为，偶数项构成的等比数列的公比为，‎ 由，，得，解得，，则，=．‎ ‎（2）‎ 当且仅当，即时，上式等号成立.因为在定义域内，所以最小值为1.‎ ‎【反馈检测3答案】 ‎ ‎【反馈检测3详细解析】由的图象知，在上单调递减，在上单调递增，又∵且所以，‎ ‎∴满足画出可行域为内部，如图所示：‎