【数学】2020届一轮复习人教B版 不等式选讲 课时作业
不等式选讲
1．不等式|x－4|＋|x－3|≤a有实数解的充要条件是________．
解析 a≥|x－4|＋|x－3|有解⇔a≥(|x－4|＋|x－3|)min＝1.
答案 a≥1
2．设x，y，z∈R，2x＋2y＋z＋8＝0则(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2的最小值为________．
解析(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2](22＋22＋12)≥[2(x－1)＋2(y＋2)＋(z－3)]2＝(2x＋2y＋z－1)2＝81.
答案 9
3．已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.若不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，则实数a的值为________．
解析 ∵不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，
即－2，3是方程f(x)＝6的两个根，即|6－a|＋a＝6，|a＋4|＋a＝6，∴|6－a|＝6－a，|a＋4|＝6－a，即|6－a|＝|a＋4|，解得a＝1.
答案 1
4．若不等式|x＋|>|a－2|＋1对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是________．
解析 ∵|x＋|≥2，
∴|a－2|＋1<2，即|a－2|<1，
解得1
f(1＋t2)，则实数t的取值范围是________．
解析 ∵x2－bx＋c<0的解集是(－1，3)，
∴>0且－1，3 是x2－bx＋c＝0的两根，则函数f(x)＝x2－bx＋c图象的对称轴方程为x＝＝1，
且f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
又∵7＋|t|≥7>1，1＋t2≥1，
则由f(7＋|t|)>f(1＋t2)，
得7＋|t|>1＋t2，
即|t|2－|t|－6<0，
亦即(|t|＋2)(|t|－3)<0，
∴|t|<3，即－30，n>0)，求证：m＋2n≥3＋2.
(2)依题可知|x－a|≤1⇒a－1≤x≤a＋1，所以a＝1，即＋＝1(m>0，n>0)，所以m＋2n＝(m＋2n)·＝3＋＋≥3＋2
当且仅当m＝1＋，n＝1＋时取等号．
9．设函数f(x)＝|2x－a|＋|2x＋1|(a>0)，g(x)＝x＋2.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≤g(x)的解集；
(2)若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝1时，|2x－1|＋|2x＋1|≤x＋2
⇒无解，
⇒0≤x<，
⇒≤x≤
综上，不等式的解集为.
(2)|2x－a|＋|2x＋1|≥x＋2，转化为|2x－a|＋|2x＋1|－x－2≥0.
令h(x)＝|2x－a|＋|2x＋1|－x－2，
因为a>0，所以h(x)＝，
在a>0下易得h(x)min＝－1，
令－1≥0，得a≥2.
10．已知函数f(x)＝|x－a|.
(1)若f(x)≤m的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a，m的值；
(2)当a＝2且0≤t≤2时，解关于x的不等式f(x)＋t≥f(x＋2)．
解 (1)∵|x－a|≤m，∴－m＋a≤x≤m＋a.
∵－m＋a＝－1，m＋a＝5，
∴a＝2，m＝3.
(2)f(x)＋t≥f(x＋2)可化为|x－2|＋t≥|x|.
当x∈(－∞，0)时，2－x＋t≥－x,2＋t≥0，
∵0≤t≤2，∴x∈(－∞，0)；
当x∈[0,2)时，2－x＋t≥x，x≤1＋，0≤x≤1＋，
∵1≤1＋≤2，∴0≤x≤1＋；
当x∈[2，＋∞)时，x－2＋t≥x，t≥2，
当0≤t<2时，无解，
当t＝2时，x∈[2，＋∞)．
∴当0≤t<2时原不等式的解集为；
当t＝2时x∈[2，＋∞)．
11．设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－2|.
(1)求不等式f(x)>2的解集；
(2)∀x∈R，使f(x)≥t2－t，求实数t的取值范围．
(2)易得f(x)min＝－，若∀x∈R都有f(x)≥t2－t恒成立，
则只需f(x)min＝－≥t2－，
解得≤t≤5.
12．已知函数f(x)＝|x－4|＋|x＋5|.
(1)试求使等式f(x)＝|2x＋1|成立的x的取值范围；
(2)若关于x的不等式f(x)f(x)min＝9，即a的取值范围是(9，＋∞)．
13．已知函数f(x)＝|x＋2|－|x－1|.
(1)试求f(x)的值域；
(2)设g(x)＝(a>0)，若任意s∈(0，＋∞)，任意t∈(－∞，＋∞)，恒有g(s)≥f(t)成立，试求实数a的取值范围．
解 (1)函数可化为
f(x)＝
∴f(x)∈[－3，3]．
(2)若x>0，则g(x)＝＝ax＋－3≥2－3，即当ax2＝3时，g(x)min＝2－3，
又由(1)知f(x)max＝3.
若∀s∈(0，＋∞)，∀t∈(－∞，＋∞)，恒有g(s)≥f(t)成立，则有g(x)min≥f(x)max，
∴2－3≥3，
∴a≥3，即a的取值范围是[3，＋∞)．
14．设函数f(x)＝|2x－1|－|x＋2|.
(1)求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若关于x的不等式f(x)≥t2－3t在[0，1]上无解，求实数t的取值范围．
解 (1)f(x)＝
所以原不等式转化为或或所以原不等式的解集为∪[6，＋∞)．
(2)只要f(x)max＜t2－3t，
由(1)知f(x)max＝－1＜t2－3t解得t＞或t＜.
15．设函数f(x)＝|x＋|＋|x－a|(a>0)．
(1)证明：f(x)≥2；
(2)若f(3)<5，求a的取值范围．
(1)证明 由a>0，有f(x)＝|x＋|＋|x－a|≥|x＋－(x－a)|＝＋a≥2.所以f(x)≥2.
(2)解 f(3)＝|3＋|＋|3－a|.
当a>3时，f(3)＝a＋，
由f(3)<5得31.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；
(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．
解 (1)当a＝2时，f(x)＋|x－4|＝
当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|得－2x＋6≥4，解得x≤1；
当20，n>0，m＋3n＝mn，
∴m＋3n＝(m·3n)≤×，
即m＋3n≥12，
当且仅当
即时取等号，
∴f(m)＋f(－3n)＝|2m＋1|＋|－6n＋1|
≥|2m＋6n|，
当且仅当(2m＋1)(－6n＋1)≤0，即n≥时取等号，
又|2m＋6n|≥24，当且仅当m＝6，n＝2时，取等号，
∴f(m)＋f(－3n)≥24.
22．函数f(x)＝|3x－1|－|2x＋1|＋a.
(1)求不等式f(x)>a的解集；
(2)若恰好存在4个不同的整数n，使得f(n)<0，求a的取值范围．
解 (1)由f(x)>a，得|3x－1|>|2x＋1|，
不等式两边同时平方，得9x2－6x＋1>4x2＋4x＋1，
即5x2>10x，解得x<0或x>2.
所以不等式f(x)>a的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)．
(2)设g(x)＝|3x－1|－|2x＋1|
＝
作出函数g(x)的图象，如图所示，
因为g(0)＝g(2)＝0，g(3)2|x|；
(2)若f(x)≥a2＋2b2＋3c2(a>0，b>0，c>0)对任意x∈R恒成立，求证：·c<.
(1)解 由f(x)>2|x|，得x2＋|x－2|>2|x|，
即或
或
解得x>2或02或x<1.
所以不等式f(x)>2|x|的解集为(－∞，1)∪(2，＋∞)．
(2)证明 当x≥2时，f(x)＝x2＋x－2≥22＋2－2＝4；
当x<2时，f(x)＝x2－x＋2＝2＋≥，
所以f(x)的最小值为.
因为f(x)≥a2＋2b2＋3c2对任意x∈R恒成立，
所以a2＋2b2＋3c2≤.
又a2＋2b2＋3c2＝a2＋c2＋2(b2＋c2)
≥2ac＋4bc≥4，且等号不能同时成立，
所以4<，即·c<.
24.数f(x)＝|x＋|－|x－|.
(1)当a＝1时，解不等式f(x)≥；
(2)若对任意a∈[0,1]，不等式f(x)≥b的解集不为空集，求实数b的取值范围．
(2)∵不等式f(x)≥b的解集不为空集，
∴b≤f(x)max，
∵a∈[0,1]，∴f(x)＝|x＋|－|x－|
≤|x＋－x＋|
＝|＋|＝＋，
∴f(x)max＝＋.
对任意a∈[0,1]，不等式f(x)≥b的解集不为空集，
∴b≤[＋]min，
令g(a)＝＋，
∴g2(a)＝1＋2·＝1＋2＝1＋2.
∴当a∈时，g(a)单调递增，当a∈时，g(a)单调递减，当且仅当a＝0或a＝1时，g(a)min＝1，
∴b的取值范围为(－∞，1]．
