2014四川（理科数学）高考试题
2014·四川卷(理科数学)
1．[2014·四川卷] 已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝( )
A．{－1，0，1，2} B．{－2，－1，0，1}
C．{0，1} D．{－1，0}
1．A [解析] 由题意可知，集合A＝{x|－1≤x≤2}，其中的整数有－1，0，1，2，故A∩B＝{－1，0，1，2}，故选A.
2．[2014·四川卷] 在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为( )
A．30 B．20 C．15 D．10
2．C [解析] x(1＋x)6的展开式中x3项的系数与(1＋x)6的展开式中x2项的系数相同，故其系数为C＝15.
3．[2014·四川卷] 为了得到函数y＝sin (2x＋1)的图像，只需把函数y＝sin 2x的图像上所有的点( )
A．向左平行移动个单位长度
B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动1个单位长度
D．向右平行移动1个单位长度
3．A [解析] 因为y＝sin(2x＋1)＝sin2，所以为得到函数y＝sin(2x＋1)的图像，只需要将y＝sin 2x的图像向左平行移动个单位长度．
4．[2014·四川卷] 若a>b>0，c
B.<
C.> D.<
4．D [解析] 因为c＜d＜0，所以<＜0，即－>－＞0，与a＞b＞0对应相乘得，－>－＞0，所以<.故选D.
5．，[2014·四川卷] 执行如图11所示的程序框图，如果输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为( )
图11
A．0 B．1 C．2 D．3
5．C [解析] 题中程序输出的是在的条件下S＝2x＋y 的最大值与1中较大的数．结合图像可得，当x＝1，y＝0时，S＝2x＋y取得最大值2，2>1，故选C.
6．[2014·四川卷] 六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )
A．192种 B．216种
C．240种 D．288种
6．B [解析] 当甲在最左端时，有A＝120(种)排法；当甲不在最左端时，乙必须在最左端，且甲也不在最右端，有AAA＝4×24＝96(种)排法，共计120＋96＝216(种)排法．故选B.
7．[2014·四川卷] 平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
7．2 [解析] c＝ma＋b＝(m＋4，2m＋2)，由题意知＝，即＝，即5m＋8＝，解得m＝2.
图12
8．[2014·四川卷] 如图12，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sin α的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8．B [解析] 连接A1O，OP和PA1，不难知∠POA1就是直线OP与平面A1BD所成的角(或其补角)设正方体棱长为2，则A1O＝.
(1)当P点与C点重合时，PO＝，A1P＝2，且cos α＝＝－，此时α＝∠
A1OP为钝角，sin α＝＝；
(2)当P点与C1点重合时，PO＝A1O＝，A1P＝2，且cos α＝＝，此时α＝∠A1OP为锐角，sin α＝＝；
(3)在α从钝角到锐角逐渐变化的过程中，CC1上一定存在一点P，使得α＝∠A1OP＝90°.又因为＜，故sin α的取值范围是，故选B.
9．[2014·四川卷] 已知f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，x∈(－1，1)．现有下列命题：
①f(－x)＝－f(x)；②f＝2f(x)；③|f(x)|≥2|x|.
其中的所有正确命题的序号是( )
A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②
9．A [解析] f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)
＝ln＝－ln＝－
＝－f(x)，故①正确；当x∈(－1，1)时，∈(－1，1)，且f＝ln－ln＝ln＝ln＝ln＝2ln＝2[ln(1＋x)－ln(1－x)]＝2f(x)，故②正确；
由①知，f(x)为奇函数，所以|f(x)|为偶函数，则只需判断当x∈[0，1)时，f(x)与2x的大小关系即可．
记g(x)＝f(x)－2x，0≤x＜1，
即g(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)－2x，0≤x<1，
g′(x)＝＋－2＝，0≤x＜1.
当0≤x＜1时，g′(x)≥0，
即g(x)在[0，1)上为增函数，且g(0)＝0，所以g(x)≥0，
即f(x)－2x≥0，x∈[0，1)，于是|f(x)|≥2|x|正确．
综上可知，①②③都为真命题，故选A.
10．，[2014·四川卷] 已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )
A．2 B．3 C. D.
10．B [解析] 由题意可知，F.设A(y，y1)，B(y，y2)，∴·＝y1y2＋yy＝2，
解得y1y2＝1或y1y2＝－2.又因为A，B两点位于x轴两侧，所以y1y2＜0，即y1y2＝－2.
当y≠y时，AB所在直线方程为y－y1＝(x－y)＝ (x－y)，
令y＝0，得x＝－y1y2＝2，即直线AB过定点C(2，0)．
于是S△ABO＋S△AFO＝S△ACO＋S△BCO＋S△AFO＝×2|y1|＋×2|y2|＋×|y1|＝(9|y1|＋8|y2|)≥×2＝3，当且仅当9|y1|＝8|y2|且y1y2＝－2时，等号成立．当y＝y时，取y1＝，y2＝－，则AB所在直线的方程为x＝2，此时求得S△ABO＋S△AFO＝2××2×＋××＝，而>3，故选B.
11．[2014·四川卷] 复数＝________．
11．－2i [解析] ＝＝－2i.
12．[2014·四川卷] 设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝则f＝________．
12．1 [解析] 由题意可知，f＝f＝f＝－4＋2＝1.
13．，[2014·四川卷] 如图13所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，≈1.73)
图13
13．60 [解析] 过A点向地面作垂线，记垂足为D，则在Rt△ADB中，∠ABD＝67°，AD＝46 m，∴AB＝＝＝50(m)，
在△ABC中，∠ACB＝30°，∠BAC＝67°－30°＝37°，AB＝50 m，
由正弦定理得，BC＝＝60 (m)，
故河流的宽度BC约为60 m.
14．，[2014·四川卷] 设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．
14．5 [解析] 由题意可知，定点A(0，0)，B(1，3)，且两条直线互相垂直，则其交点P(x，y)落在以AB为直径的圆周上，
所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10.
∴|PA||PB|≤＝5，
当且仅当|PA|＝|PB|时等号成立．
15．，[2014·四川卷] 以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合：对于函数φ(x)，存在一个正数M，使得函数φ(x)的值域包含于区间[－M，M]．例如，当φ1(x)＝x3，φ2(x)＝sin x时，φ1(x)∈A，φ2(x)∈B.现有如下命题：
①设函数f(x)的定义域为D，则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f(a)＝b”；
②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值；
③若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)∈A，g(x)∈B，则f(x)＋g(x)∉B；
④若函数f(x)＝aln(x＋2)＋(x>－2，a∈R)有最大值，则f(x)∈B.
其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)
15．①③④ [解析] 若f(x)∈A，则f(x)的值域为R，于是，对任意的b∈R，一定存在a∈D，使得f(a)＝b，故①正确．
取函数f(x)＝x(－1＜x＜1)，其值域为(－1，1)，于是，存在M＝1，使得f(x)的值域包含于[－M，M]＝[－1，1]，但此时f(x)没有最大值和最小值，故②错误．
当f(x)∈A时，由①可知，对任意的b∈R，存在a∈D，使得f(a)＝b，所以，当g(x)∈B时，对于函数f(x)＋g(x)，如果存在一个正数M，使得f(x)＋g(x)的值域包含于[－M，M]，那么对于该区间外的某一个b0∈R，一定存在一个a0∈D，使得f(a0)＝b－g(a0)，即f(a0)＋g(a0)＝b0∉[－M，M]，故③正确．
对于f(x)＝aln(x＋2)＋ (x＞－2)，当a＞0或a＜0时，函数f(x)都没有最大值．要使得函数f(x)有最大值，只有a＝0，此时f(x)＝ (x＞－2)．
易知f(x)∈，所以存在正数M＝，使得f(x)∈[－M，M]，故④正确．
16．，，，[2014·四川卷] 已知函数f(x)＝sin.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若α是第二象限角，f＝coscos 2α，求cos α－sin α的值．
16．解：(1)因为函数y＝sin x的单调递增区间为，k∈Z，
由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋≤x≤＋，k∈Z.
所以，函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)由已知，得sin＝cos(cos2α－sin2α)，
所以sin αcos＋cos αsin＝(cos2 α－sin2 α)，
即sin α＋cos α＝(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．
当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，
得α＝＋2kπ，k∈Z，
此时，cos α－sin α＝－.
当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝.
由α是第二象限角，得cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－.
综上所述，cos α－sin α＝－或－.
17．，，，[2014·四川卷] 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．
(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列．
(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．
17．解：(1)X可能的取值为10，20，100，－200.
根据题意，有
P(X＝10)＝C××＝，
P(X＝20)＝C××＝，
P(X＝100)＝C××＝，
P(X＝－200)＝C××＝.
所以X的分布列为：
X
10
20
100
－200
P
(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i＝1，2，3)，则
P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝.
所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1－P(A1A2A3)＝1－＝1－＝.
因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是.
(3)由(1)知，X的数学期望为EX＝10×＋20×＋100×－200×＝－.
这表明，获得分数X的均值为负．
因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．
18．，，，[2014·四川卷] 三棱锥A BCD及其侧视图、俯视图如图14所示．设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.
(1)证明：P是线段BC的中点；
(2)求二面角A NP M的余弦值．
图14
18．解：(1)如图所示，取BD的中点O，连接AO，CO.
由侧视图及俯视图知，△ABD，△BCD为正三角形，
所以AO⊥BD，OC⊥BD.
因为AO，OC⊂平面AOC，且AO∩OC＝O，
所以BD⊥平面AOC.
又因为AC⊂平面AOC，所以BD⊥AC.
取BO的中点H，连接NH，PH.
又M，N，H分别为线段AD，AB，BO的中点，所以MN∥BD，NH∥AO，
因为AO⊥BD，所以NH⊥BD.
因为MN⊥NP，所以NP⊥BD.
因为NH，NP⊂平面NHP，且NH∩NP＝N，所以BD⊥平面NHP.
又因为HP⊂平面NHP，所以BD⊥HP.
又OC⊥BD，HP⊂平面BCD，OC⊂平面BCD，所以HP∥OC.
因为H为BO的中点，所以P为BC的中点．
(2)方法一：如图所示，作NQ⊥AC于Q，连接MQ.
由(1)知，NP∥AC，所以NQ⊥NP.
因为MN⊥NP，所以∠MNQ为二面角A NP M的一个平面角．
由(1)知，△ABD，△BCD为边长为2的正三角形，所以AO＝OC＝.
由俯视图可知，AO⊥平面BCD.
因为OC⊂平面BCD，所以AO⊥OC，因此在等腰直角△AOC中，AC＝.
作BR⊥AC于R
因为在△ABC中，AB＝BC，所以R为AC的中点，
所以BR＝＝.
因为在平面ABC内，NQ⊥AC，BR⊥AC，
所以NQ∥BR.
又因为N为AB的中点，所以Q为AR的中点，
所以NQ＝＝.
同理，可得MQ＝.
故△MNQ为等腰三角形，
所以在等腰△MNQ中，
cos∠MNQ＝＝＝.
故二面角A NP M的余弦值是.
方法二：由俯视图及(1)可知，AO⊥平面BCD.
因为OC，OB⊂平面BCD，所以AO⊥OC，AO⊥OB.
又OC⊥OB，所以直线OA，OB，OC两两垂直．
如图所示，以O为坐标原点，以OB，OC，OA的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz.
则A(0，0，)，B(1，0，0)，C(0，，0)，D(－1，0，0)．
因为M，N分别为线段AD，AB的中点，
又由(1)知，P为线段BC的中点，
所以M，N，P，于是AB＝(1，0，－)，BC＝(－1，，0)，MN＝(1，0，0)，NP＝.
设平面ABC的一个法向量n1＝(x1，y1，z1)，
由得即
从而
取z1＝1，则x1＝，y1＝1，所以n1＝(，1，1)．
设平面MNP的一个法向量n2＝(x2，y2，z2)，由，
得
即
从而
取z2＝1，则y2＝1，x2＝0，所以n2＝(0，1，1)．
设二面角A NP M的大小为θ，则cos θ＝＝＝.
故二面角ANPM的余弦值是.
19．，[2014·四川卷] 设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图像上(n∈N*)．
(1)若a1＝－2，点(a8，4b7)在函数f(x)的图像上，求数列{an}的前n项和Sn；
(2)若a1＝1，函数f(x)的图像在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－，求数列的前n项和Tn.
19．解：(1)由已知得，b7＝2a7，b8＝2a8＝4b7，所以
2a8＝4×2a7＝2a7＋2，解得d＝a8－a7＝2，
所以Sn＝na1＋d＝－2n＋n(n－1)＝n2－3n.
(2)函数f(x)＝2x在点(a2，b2)处的切线方程为y－2a2＝(2a2ln 2)(x－a2)，
其在x轴上的截距为a2－.
由题意有a2－＝2－，解得a2＝2.
所以d＝a2－a1＝1.
从而an＝n，bn＝2n，
所以数列{}的通项公式为＝，
所以Tn＝＋＋＋…＋＋，
2Tn＝＋＋＋…＋，
因此，2Tn－Tn＝1＋＋＋…＋－＝2－－＝.
所以，Tn＝.
20．，，[2014·四川卷] 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝－3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.
①证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)；
②当最小时，求点T的坐标．
20．解：(1)由已知可得
解得a2＝6，b2＝2，
所以椭圆C的标准方程是＋＝1.
(2)①证明：由(1)可得，F的坐标是(－2，0)，设T点的坐标为(－3，m)，
则直线TF的斜率kTF＝＝－m.
当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ＝.直线PQ的方程是x＝my－2.
当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式．
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得
消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0，
其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0.
所以y1＋y2＝，y1y2＝，
x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝.
设M为PQ的中点，则M点的坐标为.
所以直线OM的斜率kOM＝－，
又直线OT的斜率kOT＝－，
所以点M在直线OT上，
因此OT平分线段PQ.
②由①可得，
|TF|＝，
|PQ|＝
＝
＝
＝.
所以＝＝
≥＝.
当且仅当m2＋1＝，即m＝±1时，等号成立，此时取得最小值．
故当最小时，T点的坐标是(－3，1)或(－3，－1)．
21．，[2014·四川卷] 已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28…为自然对数的底数．
(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值；
(2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，求a的取值范围．
21．解：(1)由f(x)＝ex－ax2－bx－1，得g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b.
所以g′(x)＝ex－2a.
当x∈[0，1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a]．
当a≤时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0，1]上单调递增，
因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；
当a≥时，g′(x)≤0，所以g(x)在[0，1]上单调递减，
因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b；
当0，g(1)＝e－2a－b>0.
由f(1)＝0得a＋b＝e－1<2，
则g(0)＝a－e＋2>0，g(1)＝1－a>0，
解得e－20，g(1)＝1－a>0.
故此时g(x)在(0，ln(2a))和(ln(2a)，1)内各只有一个零点x1和x2.
由此可知f(x)在[0，x1]上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在[x2，1]上单调递增．
所以f(x1)>f(0)＝0，f(x2)
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