宁夏固原一中2020届高三第二次冲刺考试数学理科试题 Word版含解析

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固原一中2020届高三第二次冲刺考试数学（理）试题 一、选择题：本题共12小题.每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用一元二次不等式的解法化简集合A，再利用并集的定义求解.‎ ‎【详解】因为，又，‎ 所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎2.已知复数满足，在复平面内对应的点为，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，代入，由复数模的计算公式求解.‎ ‎【详解】由题意知，，‎ 所以，即.‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查复数的代数式表示法及其几何意义，考查复数模的求法，属于基础题.‎ - 24 -‎ ‎3.若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简得到，再利用二倍角公式计算得到答案.‎ ‎【详解】，.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力.‎ ‎4.函数的图像大致为 (　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.‎ 详解：奇函数，舍去A,‎ 舍去D;‎ - 24 -‎ ‎，‎ 所以舍去C；因此选B.‎ 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． ‎ ‎5.在中，，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由余弦定理得.由正弦定理得，解得.‎ 考点：解三角形.‎ ‎6.对任意非零实数，定义的算法原理如下侧程序框图所示．设为函数的最大值，为双曲线的离心率，则计算机执行该运算后输出的结果是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B - 24 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数的性质和双曲线的性质求得、的值，再模拟程序的运行过程，即可求得的值.‎ ‎【详解】解：函数，最大值是， 双曲线的离心率， 模拟程序的运行过程是：，且， . 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的性质与双曲线的性质，也考查了程序框图的应用问题，是基础题.‎ ‎7.已知，且关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据方程有实根得到，利用向量模长关系可求得，根据向量夹角所处的范围可求得结果.‎ ‎【详解】关于的方程有实根 ‎ 设与的夹角为，则 又 ‎ - 24 -‎ 又 ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够利用方程有实根得到关于夹角余弦值的取值范围，从而根据向量夹角范围得到结果.‎ ‎8.某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出三棱锥的实物图，然后补成直四棱锥，且底面为矩形，可得知三棱锥的外接球和直四棱锥的外接球为同一个球，然后计算出矩形的外接圆直径，利用公式可计算出外接球的直径，再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接球的表面积.‎ ‎【详解】三棱锥的实物图如下图所示：‎ 将其补成直四棱锥，底面，‎ 可知四边形为矩形，且，.‎ - 24 -‎ 矩形的外接圆直径，且.‎ 所以，三棱锥外接球的直径为，‎ 因此，该三棱锥的外接球的表面积为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积，解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图，并分析三棱锥的结构，选择合适的模型进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎9.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的概率为（ ）‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据组合数计算出所有的情况数，再根据“3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列”列举得到满足条件的情况，由此可求解出对应的概率.‎ ‎【详解】所有的情况数有：种，‎ ‎3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的情况有：‎ ‎，共种，‎ 所以目标事件的概率.‎ - 24 -‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查概率与等差数列的综合，涉及到背景文化知识，难度一般.求解该类问题可通过古典概型的概率求解方法进行分析；当情况数较多时，可考虑用排列数、组合数去计算.‎ ‎10.如图，正四面体ABCD，E，F，P，Q分别是AB，AD，DC，CB的中点，AQ，AP，CE，CF的中点分别为L，M，K，N，四边形LMNK的面积为1.则该正四面体体积是（ ）‎ A. 4 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设的中点为，连，则可证明四边形LMNK为正方形，设四面体的棱长为，则有，由四边形LMNK的面积为1，算出值，接着由体积公式算出正四面体的体积即可.‎ - 24 -‎ ‎【详解】‎ 设的中点为，连，则有，所以平面，‎ 所以，又，且，‎ 所以四边形LMNK为正方形，‎ 设四面体的棱长为，则有，由四边形LMNK的面积为1，‎ 则有，解得：，‎ 设正四面体的高为，则可得，‎ 所以正四面体的体积.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与性质，几何体体积的计算，考查了学生的逻辑推理与直观想象能力.‎ ‎11.已知双曲线的渐近线与抛物线交于点，直线AB过抛物线M的焦点，交抛物线M于另一点B，则等于（ ）‎ A. 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 5‎ ‎【答案】C - 24 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线方程可得渐近线方程，将点A的坐标求出后代入抛物线方程，即可求得抛物线的方程和焦点坐标，由A和焦点坐标可得直线AB的方程，联立直线AB的方程和抛物线方程，化简后由韦达定理可得，即可由求解.‎ ‎【详解】双曲线，‎ 双曲线的渐近线方程为，不妨取，‎ 双曲线渐近线与抛物线交于点，则将点A代入可得，‎ 将点A代入抛物线方程可得，则，‎ 所以抛物线，焦点坐标为，‎ 直线AB过抛物线M的焦点，则由A和焦点坐标可得直线AB的方程为，‎ 直线AB与抛物线交于，‎ 联立抛物线方程，化简可得，‎ 则，‎ 所以，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线与抛物线的综合应用，直线与抛物线相交所得弦长的求法，属于基础题.‎ ‎12.关于函数，有以下三个结论：‎ ‎①函数恒有两个零点，且两个零点之积为；‎ ‎②函数的极值点不可能是；‎ ‎③函数必有最小值.‎ 其中正确结论的个数有（ ）‎ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 - 24 -‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把函数的零点转化为函数的零点，即可判断①；求得后代入，根据是否为0即可判断②；设的两个实数根为，且，结合①可得当时，，再证明即可判断③；即可得解.‎ ‎【详解】由题意函数的零点即为函数的零点，‎ 令，则，所以方程必有两个不等实根，，设，‎ 由韦达定理可得，故①正确；‎ ‎，‎ 当时，，故不可能是函数的极值点，故②正确；‎ 令即，，‎ 设的两个实数根为，且，‎ 则当，时，，函数单调递增，‎ 当时，，函数单调递减，所以为函数极小值；‎ 由①知，当时，函数，所以当时，，‎ 又 ，所以，所以，‎ 所以为函数的最小值，故③正确.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了函数与导数的综合问题，考查了推理能力，属于中档题.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.）‎ ‎13.已知x＞1，y＞1，xy＝10，则的最小值是_______．‎ - 24 -‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依题意可得，再由基本不等式计算可得；‎ ‎【详解】解：∵,,，∴，，，‎ 所以，当且仅当，即时取“＝”．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查对数的运算及基本不等式的应用，属于基础题.‎ ‎14.已知命题“，”是假命题，则实数m的取值范围是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用原命题的等价命题进行转化求解，即原命题为假，则其否定为真.‎ ‎【详解】若命题“，”是假命题，则“，”为真命题，‎ 则只需满足，解得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查命题的真假与参数的取值范围求解问题，较易，解答时只需要利用等价命题转化为二次不等式的恒成立问题即可.‎ ‎15.已知，则的展开式中的常数项为_________．‎ ‎【答案】24‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 24 -‎ 根据题意，由定积分计算公式可得的值，进而由二项式定理分析的展开式中的常数项，据此分析可得答案．‎ ‎【详解】解：根据题意，‎ ‎，‎ 的通项为，‎ 当时，有，‎ 则的展开式中的常数项为24；‎ 故答案为：24‎ ‎【点睛】本题考查定积分的计算以及二项式定理的应用，关键是求出的值，属于基础题．‎ ‎16.已知向量，，函数，下列命题，说法正确的序号是__________.‎ ‎①；‎ ‎②图象关于称；‎ ‎③若，则；‎ ‎④若，则.‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可得，然后结合三角函数的图象与性质，代入验证，逐一判断即可.‎ ‎【详解】‎ - 24 -‎ ‎，‎ ‎①当时，，，故①错误；‎ ‎②，当时，对应的函数值可取得最小值为，所以②正确；‎ ‎③当时，，所以函数在不单调，故③错误；‎ ‎④因为，所以，所以，‎ 又，即，‎ 所以，恒成立，故④正确.‎ 故答案为：②④‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，正、余弦的二倍角公式，两角差的正弦公式的逆用及正弦型三角函数的图象与性质，属于中档题.‎ 三、解答题.（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.如图，在四棱锥中，PA⊥底面ABCD，BC∥AD，AB⊥BC，，，M是PD的中点.‎ - 24 -‎ ‎（1）求证：CM∥平面PAB；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取的中点，可证得四边形为平行四边形，从而得到，由线面平行判定定理可证得结论；‎ ‎（2）根据垂直关系可以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据二面角的向量求法可求得结果.‎ ‎【详解】（1）如图，取的中点，连接.‎ 分别为的中点，，‎ 又且，，四边形为平行四边形，‎ ‎，又平面，平面，平面.‎ ‎（2）由题意知：两两垂直，以为坐标原点，所在的直线分别为 - 24 -‎ 轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系：‎ 则，，，，，‎ ‎，，，‎ 设平面的法向量，‎ 则，令，则，，.‎ 平面，为平面的一个法向量，‎ ‎，‎ 二面角为锐二面角，二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查立体几何中线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；考查学生的逻辑推理、运算和求解能力，属于常考题型.‎ ‎18.已知函数（k为常数，且）．‎ ‎（1）在下列条件中选择一个________使数列是等比数列，说明理由；‎ ‎①数列是首项为2，公比为2的等比数列；‎ ‎②数列是首项为4，公差为2等差数列；‎ - 24 -‎ ‎③数列是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列．‎ ‎（2）在（1）的条件下，当时，设，求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（1）②，理由见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）选②，由和对数的运算性质，以及等比数列的定义，即可得到结论；‎ ‎（2）运用等比数列的通项公式可得，进而得到，由数列的裂项相消求和可得所求和.‎ ‎【详解】（1）①③不能使成等比数列.②可以：由题意，‎ 即，得，且，.‎ 常数且，为非零常数，‎ 数列是以为首项，为公比的等比数列．‎ ‎（2）由（1）知，所以当时，.‎ 因为，‎ 所以，所以，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式，数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题.‎ ‎19.已知椭圆，是其上的点，离心率为．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ - 24 -‎ ‎（2）直线与椭圆C相交于A，B两点，且在y轴上有一点，当面积最大时，求m的值．‎ ‎【答案】（1）．（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据椭圆的离心率可得关系，据此设，代入点即可求解；‎ ‎（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理表示出弦长，由点到直线距离求出三角形高，可得，由基本不等式可求最值.‎ ‎【详解】（1）由离心率为，可设椭圆方程为 又椭圆C过点，∴．②‎ 由①②解得椭圆C的标准方程为．‎ ‎（2）直线l的方程为，‎ 则到直线l的距离，‎ 将代入椭圆方程，‎ 得，‎ 由判别式，‎ 解得．‎ 设，‎ 则，‎ 由弦长公式 - 24 -‎ ‎，‎ 当且仅当取等号．‎ ‎【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，弦长公式，基本不等式，属于中档题.‎ ‎20.2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动，治疗特种病的创新药研发成了当务之急.为此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品的研发费用（百万元）和销量（万盒）的统计数据如下：‎ 研发费用（百万元）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎10‎ ‎13‎ ‎15‎ ‎18‎ ‎21‎ 销量（万盒）‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎3.5‎ ‎3.5‎ ‎4.5‎ ‎6‎ ‎（1）根据数据用最小二乘法求出与的线性回归方程（系数用分数表示，不能用小数）；‎ ‎（2）该药企准备生产药品的三类不同的剂型，，，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测.第一次检测时，三类剂型，，合格的概率分别为，，，第二次检测时，三类剂型，，合格的概率分别为，，.两次检测过程相互独立，设经过两次检测后，，三类剂型合格的种类数为，求的分布列与数学期望.‎ 附：（1）（2）.‎ ‎【答案】（1）（2）分布列见解析，‎ ‎【解析】‎ - 24 -‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用回归方程公式计算得到答案.‎ ‎（2）可取，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.‎ ‎【详解】（1），，‎ 由公式， ，‎ ‎∴‎ ‎（2）药品的三类剂型经过两次检测后合格分别为事件，‎ 则，‎ 由题意，可取，‎ ‎，‎ ‎， ‎ ‎，‎ ‎.‎ 的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本题考查了回归方程，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎21.已知.‎ ‎（1）当时，求极值；‎ ‎（2）若有2个不同零点，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ，(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，，令得或，对x分类讨论，可得的单调性，即可求解．‎ ‎（2）对分类讨论，当0时，只有一个零点，时，根据的单调性，结合零点与方程思想，即可求解．‎ ‎【详解】（1）当时，‎ 令得或，‎ ‎，，为增函数，‎ ‎，，为减函数，‎ ‎，，为增函数 ‎，‎ ‎（2）‎ 当时，，只有一个零点；不满足题意．‎ 当时，‎ ‎，，为减函数，‎ - 24 -‎ ‎，，为增函数，‎ 而时，，‎ 所以，使，‎ 当时，，‎ 所以，即 取，，‎ 函数有2个零点 当时，，令得或 ‎①，即时，当变化时，变化情况是 递增 递减 递增 ‎，函数至多有一个零点，不符合题意；‎ ‎②时，，，则在单调递增，‎ 至多有一个零点，不合题意 ‎③，即时，当变化 时，的变化情况是 - 24 -‎ 递增 递减 递增 当时，，‎ 函数至多有一个零点 综上，的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查导数的应用，涉及到函数的极值，单调性，利用导数研究函数零点，考查分类讨论的数学思想，综合性强，属中档题 选考题.共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一感计分.‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22.在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为.‎ ‎（1）求圆C的直角坐标方程；‎ ‎（2）设，若直线l与圆C相交于A，B两点，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）4.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据极坐标与直角坐标的转化公式，求得圆C的直角坐标方程；‎ ‎（2）将直线方程与圆联立，由直线参数方程中参数的几何意义及根与系数的关系，求得的最大值.‎ ‎【详解】（1）圆C的极坐标方程为：，则 由极坐标与直角坐标的转化公式得，‎ 所以：.‎ - 24 -‎ ‎（2）将线l的参数方程为：（t为参数），‎ 代入.‎ 所以 设点A，B所对应的参数为和，‎ 则，，‎ 则 当时，的最大值为4.‎ ‎【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的相互转化，直线参数方程的应用，属于中档题.‎ 选修4-5，不等式选讲 ‎23.选修4-5：不等式选讲 ‎（Ⅰ）已知，，且，求证：；‎ ‎（Ⅱ）已知，，，求的最小值，并写出取最小值时，，的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）时，取最小值 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由基本不等式可得，进而可证明出结论；‎ ‎（Ⅱ）由基本不等式可得，进而可得出结果.‎ ‎【详解】证明：（Ⅰ） ‎ ‎ (II)，‎ - 24 -‎ 当且仅当时，原式取最小值.‎ ‎【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可，属于常考题型.‎ - 24 -‎