高中数学北师大版新教材必修一同步课件：1-3-1 不等式的性质§3 不 等 式
§3
不 等 式
3.1
不等式的性质
必备知识
·
自主学习
1.
比较两个实数
a,b
大小的基本事实
文字语言
符号表示
如果
a-b
是
_____,
那么
a>b,
反过来也成立
a>b
⇔
______
如果
a-b
等于
0,
那么
a=b,
反过来也成立
a=b
⇔
______
如果
a-b
是
_____,
那么
a
0
a-b=0
负数
a-b<0
【
思考
】
如何由比较两个实数大小的基本事实得出两个实数比较大小的方法
?
提示
:
通过两个实数作差
,
判断差的正负比较大小
.
2.
不等式的性质
(1)
性质
序号
性质内容
1
如果
a>b,
且
b>c,
那么
____
2
如果
a>b,
那么
a+c>b+c
3
(1)
如果
a>b,c>0,
那么
ac>bc
(2)
如果
a>b,c<0,
那么
______
4
如果
a>b,c>d,
那么
________
a>c
acb+d
序号
性质内容
5
(1)
如果
a>b>0,c>d>0,
那么
______
(2)
如果
a>b>0,cb>0
时
,_____,
其中
n∈N
+
,n≥2
6
当
a>b>0
时
,________,
其中
n∈N
+
,n≥2
ac>bd
acb
n
(2)
本质
:
不等式的性质是由等式性质类比而得到的
,
是解决不等式问题的基本依据
.
(3)
应用
:
判断证明不等式是否成立
,
解不等式问题时的依据
.
【
基础小测
】
1.
辨析记忆
(
对的打“√”
,
错的打“
×”)
(1)a>b
且
c>d,
则
a-c>b-d. (
)
(2)
若
a+c>b+d,
则
a>b,c>d. (
)
(3)
若
a>b>c,
则
a-c>b-c. (
)
提示
:
(1)×.
例如
5>3
且
4>1
时
,
则
5-4>3-1
是错的
,
故
(1)
错
.
(2)×.
取
a=4,c=5,b=6,d=2.
满足
a+c>b+d,
但不满足
a>b.
(3)√.
2.
若
a>b>0,c B. <
C. > D. <
【
解析
】
选
D.
因为
c-d>0,
所以
>0.
又
a>b>0,
所以
,
所以
< .
3.(
教材二次开发
:
例题改编
)
已知
x≠2,
则
x
2
+4
与
4x
的大小关系为
.
【
解析
】
x
2
+4-4x=(x-2)
2
,
而
x≠2,
所以
(x-2)
2
>0,
所以
x
2
+4-4x>0,
所以
x
2
+4>4x.
答案
:
x
2
+4>4x
关键能力
·
合作学习
类型一 作差法比较大小
(
逻辑推理、数学运算
)
【
典例
】
已知
a≠1
且
a∈R,
试比较 与
1+a
的大小
.
【
解题策略
】
作差法比较大小的步骤
【
跟踪训练
】
1.
已知
x,y∈R,P=2x
2
-xy+1,Q=2x- ,
试比较
P,Q
的大小
.
【
解析
】
因为
P-Q=2x
2
-xy+1- =x
2
-xy+ +x
2
-2x+1= +(x-1)
2
≥0,
所以
P≥Q.
2.
已知
a,b
均为正实数
.
试比较
a
3
+b
3
与
a
2
b+ab
2
的大小
.
【
解析
】
因为
a
3
+b
3
-(a
2
b+ab
2
)=(a
3
-a
2
b)+(b
3
-ab
2
)
=a
2
(a-b)+b
2
(b-a)
=(a-b)(a
2
-b
2
)=(a-b)
2
(a+b).
当
a=b
时
,a-b=0,a
3
+b
3
=a
2
b+ab
2
;
当
a≠b
时
,(a-b)
2
>0,a+b>0,a
3
+b
3
>a
2
b+ab
2
.
综上所述
,a
3
+b
3
≥a
2
b+ab
2
.
【
拓展延伸
】
中间值法比较大小
如果所给式子作差后无法因式分解
,
不能判断差的符号
,
可尝试中间值法比较大小
.
利用中间值法比较大小的关键在于寻找中间值
,
通过它们的有界性来寻找中间值作媒介
,
以达到传递的目的
.
【
拓展训练
】
已知
x∈R,
试比较
2x
2
-3x+3
与 的大小
.
【
解析
】
因为
2x
2
-3x+3=2 >1,2
x
+2
-x
=( )
2
+2≥2,
所以 ≤
1,
所以
2x
2
-3x+3> .
类型二 利用不等式的性质判断命题真假
(
数学抽象、逻辑推理
)
【
题组训练
】
1.
若
a>b>c,
则下列不等式成立的是
(
)
A. > B. <
C. > D. <
2.
已知
a,b
为非零实数
,
且
a0,b<0,
那么
a,b,-a,-b
的大小是
(
)
A.a>b>-b>-a B.a>-b>-a>b
C.a>-b>b>-a D.a>b>-a>-b
【
解析
】
1.
选
B.
因为
a>b>c,
所以
a-c>b-c>0.
所以
< .
当
a>b>0>c
时
, < ,
当
a>b>c>0
时
, > ,
所以
CD
错误
.
2.
选
C.
对于
A,
若
a0
时
,a
2
b>0,ab
2
<0,a
2
b0,
所以
;
对于
D,
当
a=-1,b=1
时
, = =-1.
3.
选
C.
令
a=5,b=-2
满足
a+b>0,
所以
a>-b>b>-a.
【
解题策略
】
运用不等式的性质判断命题真假的技巧
(1)
要注意不等式成立的条件
,
不要弱化条件
,
尤其是不能随意捏造性质
.
(2)
解有关不等式选择题时
,
也可采用特殊值法进行排除
,
注意取值一定要遵循如下原则
:
一是满足题设条件
;
二是取值要简单
,
便于验证计算
.
【
补偿训练
】
1.
下列命题中一定正确的是
(
)
A.
若
ab,b≠0,
则
>1
C.
若
a>b,
且
a+c>b+d,
则
c>d
D.
若
a>b
且
ac>bd,
则
c>d
【
解析
】
选
A.
对于
A
项
,
因为
,
所以
- <0,
即
<0,
又
a0,
所以
ab<0;
对于
B
项
,
当
a>0,b<0
时
,
有
<0<1,
故
B
项错
;
对于
C
项
,
当
a=10,
b=3
时
,
虽有
10+1>3+2,
但
1<2,
故
C
项错
;
对于
D
项
,
当
a=-1,b=-2
时
,
有
(-1)×(-1)
>(-2)×7,
但
-1<7,
故
D
项错
.
2.
给出下列命题
:①a>b⇒ac
2
>bc
2
;②a>|b|⇒a
4
>b
4
;③a>b⇒a
3
>b
3
;④|a|>b⇒
a
2
>b
2
.
其中正确的命题序号是
.
【
解析
】
①
当
c
2
=0
时不成立
.
②
一定成立
.
③
当
a>b
时
,a
3
-b
3
=(a-b)(a
2
+ab+b
2
)
=(a-b)· >0
成立
.
④
当
b<0
时
,
不一定成立
.
如
:|2|>-3,
但
2
2
<(-3)
2
.
答案
:
②③
类型三 证明不等式
(
逻辑推理
)
角度
1
利用不等式的性质证明不等式
【
典例
】
已知
c>a>b>0,
求证
:
【
思路导引
】
利用不等式的性质
,
先证明
,
再由 得到
.
【
证明
】
方法一
:
因为
a>b>0,
所以
< ,
因为
c>0,
所以
< ,
所以
-1< -1,
即
< ,
因为
c>a>b>0,
所以
c-a>0,c-b>0.
所以
> .
方法二
:
因为
c>a>b>0,
所以
0 >0,
又因为
a>b>0,
所以
> .
【
变式探究
】
将本例中的条件“
c>a>b>0”
变为“
a>b>0,c<0”,
试证明
: > .
【
证明
】
因为
a>b>0,
所以
ab>0, >0.
于是
a× >b× ,
即
> .
由
c<0,
得
> .
角度
2
利用作差法证明不等式
【
典例
】
若
a<0,b<0,p= ,q=a+b.
求证
:p≤q.
【
思路导引
】
利用作差法证明
.
【
证明
】
p-q= -a-b
因为
a<0,b<0,
所以
a+b<0,ab>0.
若
a=b,
则
p-q=0,
故
p=q;
若
a≠b,
则
p-q<0,
故
pb>0,c>d>0,
证明
:ac>bd.
【
证明
】
⇒ac>bd.
【
补偿训练
】
已知
a+b>0,
求证
: ≥ + .
【
证明
】
- =
=(a-b)
·
= .
因为
a+b>0,(a-b)
2
≥0,
所以 ≥
0.
所以
备选类型 利用不等式的性质求代数式的取值范围
(
逻辑推理、数学运算
)
【
典例
】
已知
-6b>c
且
a+b+c=0,
则下列不等式中正确的是
(
)
A.ab>ac B.ac>bc
C.a|b|>c|b| D.a
2
>b
2
>c
2
【
解析
】
选
A.
由
a>b>c
及
a+b+c=0
知
a>0,c<0,
⇒
ab>ac.
2.
设
a=3x
2
-x+1,b=2x
2
+x,
则
(
)
A.a>b B.ab
时成立
B.
当
a0,b>0,m>0,
所以
a+m>0.
所以
a-b<0,
所以
a0”
是“
a
2
-b
2
>0”
的
(
)
A.
充分条件
B.
必要条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
【
解析
】
选
A. >0
⇒
>
⇒
a>b>0
⇒
a
2
>b
2
,
但由
a
2
-b
2
>0
不能推出
>0.
5.
比较
(a+3)(a-5)
与
(a+2)(a-4)
的大小为
.
【
解析
】
因为
(a+3)(a-5)-(a+2)(a-4)
=(a
2
-2a-15)-(a
2
-2a-8)=-7<0.
所以
(a+3)(a-5)<(a+2)(a-4).
答案
:
(a+3)(a-5)<(a+2)(a-4)
