安徽省望江中学2013届高三上学期第四次月考数学（文）试题

安徽省望江中学2013届高三上学期第四次月考数学（文）试题

望江中学高三第四次数学月考试卷（文科）‎ 一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，)‎ ‎1. 若复数为纯虚数，则实数的值为( )‎ A． B． C． D．或 ‎2.以下有关命题的说法错误的是（ ）‎ ‎ A.命题“若，则”的逆否命题为“若，则”‎ ‎ B.“”是“”的充分不必要条件 ‎ C. 对于命题，使得，则，均有 ‎ D. 若为假命题，则、均为假命题 ‎3．已知向量（ ）‎ ‎ A． B． C．5 D．25‎ ‎4．函数在定义域（）内的图象如图所示，记的导函数为，则不等式的解集为( )‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D.‎ ‎5. 已知数列为等差数列，数列{bn}是各项均为正数的等比数列，且公比q1，若，，则与的大小关系是（ ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎6.函数的图象为C，‎ ‎①图象关于直线对称;②函数在区间内是增函数;‎ ‎③由的图象向右平移个单位长度可以得到图象.‎ ‎ 以上三个论断中正确论断的个数为( )‎ ‎ A.0 B‎.1 ‎ C.2 D.3‎ ‎7.已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为(　 )‎ A． －110 B．－‎90 C． 90 D．110‎ ‎8．设，则有( )‎ A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．a＞b＞c D．a＞c＞b ‎9．已知各项均不为零的数列,定义向量，，. 下列命题中真命题是 （ ）‎ A. 若总有成立，则数列是等比数列 B. 若总有成立，则数列是等比数列 C. 若总有成立，则数列是等差数列 D. 若总有成立，则数列是等差数列 ‎10．如图几何体的主（正）视图和左（侧）视图都正确的是 （ ）[来源:学科网ZXXK]‎ 二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分)‎ ‎11．已知n∈{－1,0,1,2,3}，若(－)n>(－)n，则n＝_________‎ ‎12. 当0＜x＜时，函数f(x)＝的最小值为 ‎ ‎13 ‎ 的最小值为 。‎ ‎14．已知函数f(x)满足f(x＋1)＝，且f(x)是偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，若在区间 ‎[－1,3]内，函数g(x)＝f(x)－kx－k有四个零点，则实数k的取值范围是_______‎ ‎15．已知变量 ‎（其中a>0）仅在点（3，0）处取得最大值，则a的取值范围为 ‎ ‎ 三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎16．（本小题满分12分）设，解不等式 ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cos2B＝-.‎ ‎(1)若b＝4，求sinA的值；‎ ‎(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值．‎ ‎[来源:学+科+网]‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 已知函数（的最小正周期为.求：当时的取值范围．‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图所示，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点．‎ ‎（1）求证：//平面；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）求三棱锥的体积．‎ ‎[来源:学。科。网]‎ ‎20.（本小题满分13分）‎ 设数列{an}满足a1＝t，a2＝，前n项和为Sn，且Sn＋2－(t＋1)Sn＋1＋tSn＝0(n∈N*)．‎ ‎(1)证明数列{an}为等比数列，并求{an}的通项公式；‎ ‎(2)当0，曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为 y＝1.‎ ‎(1)确定b，c的值；‎ ‎(2)设曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))及(x2，f(x2))处的切线都过点(0,2)．‎ 证明：当x1≠x2时，f ′(x1)≠f ′(x2)；‎ ‎(3)若过点(0,2)可作曲线y＝f(x)的三条不同切线，求a的取值范围．‎ 望江中学高三第三次数学月考试卷（文科）答案 一、选择题 ‎1. A　2. D　3. C　4. B　5.B 　6. C　7. D　8.A　9.D　10.B 二、填空题 ‎11.-1或2　 12．4　 13.9　　　14.　 (0，]　　　15. ‎ 三、解答题 ‎16.解：解：（1）当时，原不等式等价于，即或 …………3分[来源:学科网]‎ ‎∴． ……………………………………………………………………………5分 ‎（2）当时，原不等式等价于，即或 …………8分 ‎∴． ……………………………………………………………………………10分 综上所述，不等式的解集为． ………………12分 ‎17. 解：(1)∵cos2B＝，且00，∴(tn－2n)[1－()n]<0，∴tn＋t－n<2n＋2－n.……….8分 ‎(3)证明：∵＝(tn＋t－n)，‎ ‎∴2(＋＋…＋)<(2＋22＋…2n)＋(2－1＋2－2＋…＋2－n)＝2(2n－1)＋1－2－n ‎＝2n＋1－(1＋2－n)<2n＋1－2，∴＋＋…＋<2n－.……………………….13分 ‎21.[解析]　(1)由f(x)＝x3－x2＋bx＋c，得f(0)＝c，f ′(x)＝x2－ax＋b，f ′(0)＝b，又由曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1，得f(0)＝1，f ′(0)＝0，故b＝0，c＝1.‎ ‎………………………. ………………………3分 ‎(2)f(x)＝x3－x2＋1，f ′(x)＝x2－ax，由于点(t，f(t))处的切线方程为y－f(t)＝f ′(t)(x－t)，而点(0,2)在切线上，所以2－f(t)＝f ′(t)(－t)，化简得t3－t2＋1＝0，即t满足的方程为t3－t2＋1＝0，下面用反证法证明：假设f ′(x1)＝f ′(x2)，由于曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))及(x2，f(x2))处的切线都过点(0,2)，则下列等式成立：‎ 由③得x1＋x2＝a，由①－②得x＋x1x2＋x＝a2④‎ 又x＋x1·x2＋x＝(x1＋x2)2－x1x2＝a2－x1(a－x2)＝x－ax1＋a2＝(x1－)2＋a2≥a2‎ 故由④得，x1＝，此时x2＝与x1≠x2矛盾，所以f ′(x1)≠f ′(x2)．‎ ‎………………………. ………………………7分 ‎(3)由(2)知，过点(0,2)可作y＝f(x)的三条切线，等价于方程2－f(t)＝f ′(t)(0－t)有三个相异的实根，即等价于方程t3－t2＋1＝0有三个相异的实根．‎ 设g(t)＝t3－t2＋1，则g′(t)＝2t2－at＝2t(t－)由于a>0，故有 t ‎(－∞，0)‎ ‎0‎ ‎(0，)‎ ‎(＋∞)‎ g′(t)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ g(t)‎  极大值1‎  极小值1－  由g(t)的单调性可知：要使g(t)＝0有三个相异的实根，当且仅当1－<0，即a>2，‎ ‎∴a的取值范围是(2，＋∞)．………………………. ………………………13分