2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题22 几何体的表面积与体积的求解（讲）（解析版）

2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题22 几何体的表面积与体积的求解（讲）（解析版）

专题22 几何体的表面积与体积的求解 ‎ 从近几年的考试题来看，空间几何体的表面积、体积等问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度为中、低档．客观题主要考查由三视图得出几何体的直观图，求其表面积、体积或由几何体的表面积、体积得出某些量；主观题考查较全面，考查线、面位置关系，及表面积、体积公式，无论是何种题型都考查学生的空间想象能力．预测2018年高考仍将以空间几何体的面积、体积为主要考查点，重点考查学生的空间想象能力、运算能力及逻辑推理能力．‎ ‎1 几何体的表面积 ‎ (1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．‎ ‎ (2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．‎ ‎ (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．‎ 1.1 ‎ 多面体的表面积 ‎【例】【安徽省黄山市2020届高三一模)】一个三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的侧面积为( )‎ A． B．24‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据几何体的三视图可知，该几何体表示底面为边长为2的等边三角形，侧棱长为4的正三棱柱，利用侧面积公式，即可求解.由题意，根据几何体的三视图可知，该几何体表示底面为边长为2的等边三角形，侧棱长为4的正三棱柱，所以该正三棱柱的侧面积为，故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.‎ ‎【例】一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图，将边长为2的正方体截去两个角，∴‎ ‎1.2旋转体的表面积 ‎【例】【2020年上海市浦东新区高考一模】如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 A．20π B．24π C．28π D．32π ‎【答案】C ‎【解析】该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为，周长为，圆锥母线长为，圆柱高为．‎ 由图得，，由勾股定理得：，‎ ‎，故选C．‎ ‎【例】一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O的球面上，则该圆锥的表面积与球O的表面积的比值为________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】设等边三角形的边长为2a，则S圆锥表＝·2πa·2a＋πa2＝3πa2.又R2＝a2＋(a－R)2(R为球O的半径)，所以R＝a，故S球表＝4π·2＝a2，故其表面积比为.‎ ‎2 几何体的体积 ‎ 1. 求体积常见技巧 ‎ 当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便利．‎ ‎ (1)几何体的“分割”：几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之．‎ ‎ (2)几何体的“补形”：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等．另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法，由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积．‎ ‎ (3)有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素．‎ ‎ 2.求体积常见方法 ‎ ①直接法(公式法)；②转移法：利用祖暅原理或等积变化，把所求的几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积；③分割法求和法：把所求几何体分割成基本几何体的体积；④补形法：通过补形化归为基本几何体的体积；⑤四面体体积变换法；⑥利用四面体的体积性质：(ⅰ)底面积相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比；(ⅱ)高相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比；(ⅲ)用平行于底面的平面去截三棱锥，截得的小三棱锥与原三棱锥的体积之比等于相似比的立方.‎ ‎ 求多面体体积的常用技巧是割补法(割补成易求体积的多面体.补形：三棱锥三棱柱平行六面体；分割：三棱柱中三棱锥、四棱锥、三棱柱的体积关系是1：2：3和等积变换法(平行换点、换面)和比例(性质转换)法等.‎ ‎ 3.常见的特殊几何体的性质 ‎2.1 几何体的体积 给出几何体的三视图，求该几何体的体积或表面积时，可以根据三视图还原出实物，画出该几何体的直观图，确定该几何体的结构特征，并利用相应的体积公式求出其体积，求体积的方法有直接套用公式法、等体积转换法和割补法等多种．若所给几何体为不规则几何体，常用等积转换法和割补法求解．‎ ‎【例】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】圆柱的轴截面如图，，，所以圆柱底面半径，那么圆柱的体积是，故选B．‎ ‎【例】【福建省泉州市2020届高三质检】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由三视图可知，四棱锥的底面是边长为1的正方形，高为1，其体积 ‎．设半球的半径为，则，即，所以半球的体积．‎ 故该几何体的体积．故选C．‎ ‎【例】设，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设等边三角形的边长为，则，得．设的外接圆半径为，则，解得，所以球心到所在平面的距离，则点到平面的最大距离，所以三棱锥体积的最大值．‎ ‎【例】如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面平面，且，，为的中点，．‎ ‎(1)求证：平面；‎ ‎(2)求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)连接，交于点，连接，根据三角形中位线的性质可得，再根据线面平行的判定可得结论成立．(2)在中由余弦定理得，于是．在平面内，作，交的延长线于，由条件可得平面，即为点到平面的距离，然后再结合求解可得所求．‎ ‎【详解】(1)证明：连接，交于点，连接．∵为的中点，为的中点，‎ ‎∴为的中位线， ∴，且．‎ 又平面，平面，∴平面．‎ ‎(2)在中，，，‎ 由余弦定理得，‎ ‎∴，∴．‎ ‎∵，且为的中点，∴．‎ 在中，．在平面内，作，交的延长线于．‎ ‎∵平面平面，平面平面,∴平面．‎ 即为点到平面的距离．∵点为的中点，‎ ‎∴点到平面的距离是长度的一半．在中，，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】在求空间几何体的体积时，要注意分清几何体的形状，对于形状规则的几何体可直接根据公式求其体积；对于形状不规则的几何体，可根据“分割”或“补形”的方法转化为形状规则的几何体再求其体积．‎ ‎2.2关于球的切、接问题 解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．‎ ‎【例】【2020届陕西省西安市高三上学期期末】 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知“堑堵”的所有顶点都在球的球面上，且，若球的表面积为，则这个三棱柱的体积是( )‎ A． B． C． D．1‎ ‎【答案】C ‎【解析】设球半径为，则，故．由题意得三棱柱的底面为等腰直角三角形，故底面三角形的外接圆的圆心为直角三角形斜边的中点，即如图中的点，所以外接球的球心为的中点．设三棱柱的高为，如图，在中，有，即，解得．‎ 所以三棱柱的体积是．选C．‎ ‎【例】在封闭的正三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB＝6，AA1＝4，则V的最大值是( )‎ A．16π B． C．12π D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】正三角形的边长为6，其内切圆的半径为，所以在封闭的正三棱柱ABC－A1B1C1内的球的半径最大值为，所以其体积为，故选D.‎ ‎【例】【2020届河北省唐山市高三上学期期末】已知过球面上三点、、的截面到球心距离等于球半径的一半，且，，则球面面积为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图，设球的半径为R，O′是△ABC的外心，外接圆半径为r，‎ 则OO′⊥面ABC．在Rt△ACD中，cosA，则sinA．‎ 在△ABC中，由正弦定理得2r，r，‎ ‎△ABC外接圆的半径，．‎ ‎【例】已知底面半径为1，高为的圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上，则此球的表面积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】画出圆锥的截面如下图所示，设球的半径为，则，由勾股定理得，‎ 解得.故表面积为.‎ ‎【例】【河南省洛阳市2020届高三统考】已知球是正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)的外接球，，，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】画出图象如下图所示，其中是球心，是等边三角形的中心.根据等边三角形中心的性质有，，设球的半径为，在三角形中，由勾股定理得，即，解得，故最大的截面面积为.在三角形中，，由余弦定理得.在三角形中，,过且垂直的截面圆的半径，故最小的截面面积为.综上所述，本小题选B. ‎ ‎【例】若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为________．‎ ‎【答案】3π ‎【解析】过圆锥的旋转轴作轴截面，得截面△ABC及其内切圆⊙O1和外接圆⊙O2，且两圆同圆心，即△ABC的内心与外心重合，易得△ABC为正三角形，由题意知⊙O1的半径为r＝1，∴△ABC的边长为2，圆锥的底面半径为，高为3，∴V＝×π×3×3＝3π.‎ ‎【例】若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则＝________.‎ ‎【答案】 ‎【解析】设正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S1＝4··a2＝a2，其内切球半径为正四面体高的，即r＝·a＝a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝，则＝＝.‎ ‎【反思提升】综合上面的两种种类型，我们可以概括出在解决几何体的表面积与体积问题中的方法与技巧：‎ ‎1.几何体的侧面积和全面积：几何体侧面积是指(各个)侧面面积之和，而全面积是侧面积与所有底面积之和．对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行．‎ ‎2．求体积时应注意的几点：‎ ‎ (1)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法转化成已知体积公式的几何体进行解决．‎ ‎ (2)与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确性及数据的准确性．‎ ‎3．求组合体的表面积时注意几何体的衔接部分的处理．‎ ‎4.解答三视图问题的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．‎