【数学】2020届一轮复习人教B版解析几何作业(13)

【数学】2020届一轮复习人教B版解析几何作业(13)

‎(七十)‎ ‎1．已知点A(－1，0)，B(2，4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是(　　)‎ A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0 B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0‎ C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0 D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0‎ 答案　B 解析　可知AB的方程为4x－3y＋4＝0，又|AB|＝5，设动点C(x，y)．由题意可知×5×＝10，所以4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.故选B.‎ ‎2．动圆M经过双曲线x2－＝1的左焦点且与直线x＝2相切，则圆心M的轨迹方程是(　　)‎ A．y2＝8x　　　　　　　 B．y2＝－8x C．y2＝4x D．y2＝－4x 答案　B 解析　双曲线x2－＝1的左焦点F(－2，0)，动圆M经过F且与直线x＝2相切，则圆心M经过F且与直线x＝2相切，则圆心M到点F的距离和到直线x＝2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y2＝－8x.‎ ‎3．(2019·皖南八校联考)设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为(　　)‎ A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4‎ C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2‎ 答案　D 解析　 (直译法)如图，设P(x，y)，圆心为M(1，0)．连接MA，PM.‎ 则MA⊥PA，且|MA|＝1，‎ 又因为|PA|＝1，所以|PM|＝＝，‎ 即|PM|2＝2，所以(x－1)2＋y2＝2.‎ ‎4．方程lg(x2＋y2－1)＝0所表示的曲线图形是(　　)‎ 答案　D ‎5．已知A(0，7)，B(0，－7)，C(12，2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是(　　)‎ A．y2－＝1(y≤－1) B．y2－＝1‎ C．y2－＝－1 D．x2－＝1‎ 答案　A 解析　由题意，得|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，又|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2.故点F的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线下支．∵双曲线中c＝7，a＝1，∴b2＝48，∴轨迹方程为y2－＝1(y≤－1)．‎ ‎6．△ABC的顶点为A(－5，0)，B(5，0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1(x>3) D.－＝1(x>4)‎ 答案　C 解析　设△ABC的内切圆与x轴相切于D点，则D(3，0)．由于AC，BC都为圆的切线．‎ 故有|CA|－|CB|＝|AD|－|BD|＝8－2＝6.‎ 由双曲线定义知所求轨迹方程为－＝1(x>3)．故选C.‎ ‎7.如图，在平面直角坐标系xOy中，圆x2＋y2＝r2(r>0)内切于正方形ABCD，任取圆上一点P，若＝a＋b(a，b∈R)，若M(a，b)，则动点M所形成的轨迹曲线的长度为(　　)‎ A．π B.π C.π D．2π 答案　B 解析　设P(x，y)，则x2＋y2＝r2，A(r，r)，B(－r，r)．由＝a＋b，得代入x2＋y2＝r2，得(a－b)2＋(a＋b)2＝1，即a2＋b2＝，故动点M所形成的轨迹曲线的长度为π.‎ ‎8．(2019·福建三明一中期中)已知两点M(－3，0)，N(3，0)，给出下列曲线：①x－y＋5＝0；②2x＋y－24＝0；③y＝x2；④(x－6)2＋(y－4)2＝1；⑤－＝1，在所给的曲线上存在点P满足|MP|＋|NP|＝10的曲线方程有(　　)‎ A．②③④ B．①③④‎ C．①③⑤ D．①④⑤‎ 答案　C 解析　∵|PM|＋|PN|＝10>|MN|＝6，‎ ‎∴P点轨迹是以M，N为焦点的椭圆，长轴长2a＝10，a＝5，2c＝6，c＝3.‎ ‎∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.‎ ‎∴P点轨迹方程为＋＝1.‎ 问题转化为哪条曲线与椭圆有公共点，数形结合知①③⑤三条曲线与椭圆有公共点，选C.‎ ‎9．(2019·人大附中模拟)在平面直角坐标系xOy中，设点P(x，y)，M(x，－4)，以线段PM为直径的圆经过原点O.则动点P的轨迹方程为________．‎ 答案　x2＝4y 解析　由题意可得OP⊥OM，所以·＝0，所以(x，y)·(x，－4)＝0，即x2－4y＝0，所以动点P的轨迹方程为x2＝4y.‎ ‎10．已知抛物线y2＝nx(n<0)与双曲线－＝1有一个相同的焦点，则动点(m，n)的轨迹方程是________．‎ 答案　n2＝16(m＋8)(n<0)‎ 解析　抛物线的焦点为(，0)，在双曲线中，8＋m＝c2＝()2，n<0，即n2＝16(m＋8)(n<0)．‎ ‎11．若过抛物线y2＝4x的焦点作直线与其交于M，N两点，作平行四边形MONP，则点P的轨迹方程为________．‎ 答案　y2＝4(x－2)‎ 解析　设直线方程为y＝k(x－1)，点M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x，y)，由＝，得(x1，y1)＝(x－x2，y－y2)．‎ 得x1＋x2＝x，y1＋y2＝y.‎ 由联立得x＝x1＋x2＝.‎ y＝y1＋y2＝，消去参数k，得y2＝4(x－2)．‎ ‎12.如图所示，直角三角形ABC的顶点坐标A(－2，0)，直角顶点B(0，－2)，顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点．‎ ‎(1)求BC边所在直线方程；‎ ‎(2)M为直角三角形ABC外接圆的圆心，求圆M的方程；‎ ‎(3)若动圆N过点P且与圆M内切，求动圆N的圆心N的轨迹方程．‎ 答案　(1)y＝x－2　(2)(x－1)2＋y2＝9 (3)x2＋y2＝1‎ 解析　(1)∵kAB＝－，AB⊥BC，∴kCB＝.∴BC：y＝x－2.‎ ‎(2)在上式中，令y＝0，得C(4，0)．∴圆心M(1，0)．‎ 又∵|AM|＝3，∴外接圆的方程为(x－1)2＋y2＝9.‎ ‎(3)∵P(－1，0)，M(1，0)，∵圆N过点P(－1，0)，‎ ‎∴PN是该圆的半径．又∵动圆N与圆M内切，‎ ‎∴|MN|＝3－|PN|，即|MN|＋|PN|＝3.‎ ‎∴点N的轨迹是以M，P为焦点，长轴长为3的椭圆．‎ ‎∴a＝，c＝1，b＝＝.‎ ‎∴轨迹方程为x2＋y2＝1.‎ ‎13．已知动点P(x，y)与两定点M(－1，0)，N(1，0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．‎ ‎(1)求动点P的轨迹C的方程；‎ ‎(2)讨论轨迹C的形状．‎ 答案　(1)x2－＝1(λ≠0，x≠±1)　(2)略 解析　(1)由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零，所以kPM·kPN＝·＝λ.‎ 整理，得x2－＝1(λ≠0，x≠±1)．‎ ‎(2)①当λ>0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去顶点)；‎ ‎②当－1<λ<0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆(除去长轴两个端点)；‎ ‎③当λ＝－1时，轨迹C为以原点为圆心，1为半径的圆除去点(－1，0)，(1，0)；‎ ‎④当λ<－1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)．‎ ‎14．已知点A(－4，4)，B(4，4)，直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为－2，点M的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)求曲线C的轨迹方程；‎ ‎(2)Q为直线y＝－1上的动点，过Q作曲线C的切线，切点分别为D，E，求△QDE的面积S的最小值．‎ 答案　(1)x2＝4y(x≠±4)　(2)4‎ 解析　(1)设M(x，y)，则kAM＝，kBM＝.‎ ‎∵直线AM的斜率与直线BM的斜率的差为－2，‎ ‎∴－＝－2，∴x2＝4y(x≠±4)．‎ ‎(2)设Q(m，－1)．∵切线斜率存在且不为0，故可设一条切线的斜率为k，则切线方程为y＋1＝k(x－m)．‎ 联立得方程组得x2－4kx＋4(km＋1)＝0.‎ 由相切得Δ＝0，将k2－km－1＝0代入，得x2－4kx＋4k2＝0，‎ 即x＝2k，从而得到切点的坐标为(2k，k2)．‎ 在关于k的方程k2－km－1＝0中，Δ>0，‎ ‎∴方程k2－km－1＝0有两个不相等的实数根，分别为k1，k2，‎ 则故QD⊥QE，S＝|QD||QE|.‎ 记切点(2k，k2)到Q(m，－1)的距离为d，‎ 则d2＝(2k－m)2＋(k2＋1)2＝4(k2－km)＋m2＋k2m2＋4km＋4，‎ 故|QD|＝，‎ ‎|QE|＝，‎ S＝(4＋m2) ‎＝(4＋m2)≥4，‎ 即当m＝0，也就是Q(0，－1)时面积的最小值为4.‎ ‎15．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，过左焦点倾斜角为45°的直线被椭圆截得的弦长为.‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)若动直线l与椭圆E有且只有一个公共点，过点M(1，0)作l的垂线，垂足为Q，求点Q的轨迹方程．‎ 答案　(1)＋y2＝1　(2)x2＋y2＝2‎ 解析　(1)因为椭圆E的离心率为，所以＝.解得a2＝2b2，故椭圆E的方程可设为＋＝1，则椭圆E的左焦点坐标为(－b，0)，过左焦点倾斜角为45°的直线方程为l′：y＝x＋b.‎ 设直线l′与椭圆E的交点为A，B，‎ 由消去y，得3x2＋4bx＝0，解得x1＝0，x2＝－.‎ 因为|AB|＝|x1－x2|＝＝，解得b＝1.‎ ‎∴a2＝2，∴椭圆E的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)①当切线l的斜率存在且不为0时，设l的方程为y＝kx＋m，联立直线l和椭圆E的方程，得 消去y并整理，得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.‎ 因为直线l和椭圆E有且仅有一个交点，‎ 所以Δ＝16k2m2－4(2k2＋1)(2m2－2)＝0.‎ 化简并整理，得m2＝2k2＋1.‎ 因为直线MQ与l垂直，所以直线MQ的方程为y＝－(x－1)．‎ 联立得方程组解得 ‎∴x2＋y2＝＝＝＝，‎ 把m2＝2k2＋1代入上式得x2＋y2＝2.(*)‎ ‎②当切线l的斜率为0时，此时Q(1，1)或(1，－1)，符合(*)式．‎ ‎③当切线l的斜率不存在时，此时Q(，0)或(－，0)，符合(*)式．‎ 综上所述，点Q的轨迹方程为x2＋y2＝2.‎