2014高考数学百题精练分项解析12

2014高考数学百题精练分项解析12

‎2014高考数学百题精练之分项解析12‎ ‎【说明】本试卷满分100分，考试时间90分钟.‎ 一、选择题（每小题6分，共42分）‎ ‎1.抛物线y=ax2的准线方程是y=1,则a的值为（）‎ A.B.-C.4D.-4‎ 答案：B 解析：y=ax2x2=y,又准线方程为y=1,故-=1,a=-.‎ ‎2.抛物线y=x2的焦点坐标是（）‎ A.（0，）B.（，0）‎ C.（1，0）D.（0，1）‎ 答案：D 解析：y=x2x2=4y,其焦点为（0，1）.‎ ‎3.已知抛物线的顶点为原点，焦点在y轴上，抛物线上点（m,-2）到焦点的距离为4，则m的值为（）‎ A.4B.‎-2C.4或-4D.2或-2‎ 答案：C 解析：设抛物线方程为x2=-2py,(p>0),则-(-2)=4,p=4,故抛物线方程为x2=-8y,m2=-8×（-2）,m=±4.‎ ‎4.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P(x1,y1)、Q（x2,y2）两点，若x1+x2=3p，则|PQ|等于（）‎ A.4pB.5pC.6pD.8p 答案：A 解析：|PQ|=|PF|+|FQ|=x1++x2+=x1+x2+p.又x1+x2=3p,故|PQ|=4p.‎ ‎5.已知点P（m,3）是抛物线y=x2+4x+n上距点A（-2,0）最近一点，则m+n等于()‎ A.1B‎.3C.5D.7‎ 答案：C 解析：由已知得P为抛物线的顶点（-2，3），故3=(-2)2+4×（-2）+n,n=7,m+n=-2+7=5.‎ ‎6.一动圆圆心在抛物线x2=4y上，过点（0，1）且恒与定直线l相切，则直线l的方程为()‎ A.x=1B.x=C.y=-1D.y=-‎ 答案：C 解析：根据抛物线定义，圆心到焦点(0,1)的距离与到准线的距离相等，故l为准线y=-1.‎ ‎7已知点P是抛物线y2=2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是A（，4），则|PA|+|PM|的最小值是()‎ A.B‎.4C.D.5‎ 答案：C 解析：|PA|+|PM|=|PA|+|PM|+-=|PA|+|PF|-≥|AF|-=-=.‎ 二、填空题（每小题5分，共15分）‎ ‎8.过点（0，2）与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线有_____________条.‎ 答案：3‎ 解析：两条切线和一条平行于对称轴的直线，应填3.‎ ‎9.过抛物线y2=4x的焦点F，作倾角为的弦AB，则AB的长是_____________.‎ 答案：‎ 解析：利用结论|AB|=.‎ ‎10.设PQ是抛物线y2=2px(p>0)上过焦点F的一条弦，l是抛物线的准线，给定下列命题：①以PF为直径的圆与y轴相切；②以QF为直径的圆与y轴相切；③以PQ为直径的圆与准线l相切；④以PF为直径的圆与y轴相离；⑤以QF为直径的圆与y轴相交.则其中所有正确命题的序号是：________________________.‎ 答案：①②③‎ 解析：设P(x1,y1),PF中点为A（）,A到y轴的距离为|PF|,故①正确；同理②也正确；又|PQ|=x1+x2+p，PQ的中点B（）到准线的距离为,故③正确，④⑤错误.‎ 三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）‎ ‎11.已知抛物线y2=2px(p>0)，过焦点F的弦的倾斜角为θ(θ≠0),且与抛物线相交于A、B两点.‎ ‎（1）求证：|AB|=;‎ ‎(2)求|AB|的最小值.‎ ‎（1）证明：如右图，焦点F的坐标为F（,0）.‎ 设过焦点、倾斜角为θ的直线方程为y=tanθ·（x-）,与抛物线方程联立，消去y并整理，得 tan2θ·x2-(2p+ptan2θ)x+=0.‎ 此方程的两根应为交点A、B的横坐标，根据韦达定理，有x1+x2=.‎ 设A、B到抛物线的准线x=-的距离分别为|AQ|和|BN|，根据抛物线的定义，有|AB|=|AF|+|FB|=|AQ|+|BN|=x1+x2+p=.‎ ‎（2）解析：因|AB|=的定义域是0<θ<π，又sin2θ≤1，‎ 所以，当θ=时，|AB|有最小值2p.‎ ‎12.已知抛物线y2=2px(p>0)的一条焦点弦AB被焦点F分成m、n两部分，求证：为定值，本题若推广到椭圆、双曲线，你能得到什么结论？‎ 解析：（1）当AB⊥x轴时，m=n=p，‎ ‎∴=.‎ ‎（2）当AB不垂直于x轴时，设AB:y=k(x-),‎ A(x1,y1),B(x2,y2),|AF|=m,|BF|=n,‎ ‎∴m=+x1,n=+x2.‎ 将AB方程代入抛物线方程，得 k2x2-(k2p+2p)x+=0,‎ ‎∴‎ ‎∴=‎ ‎=.‎ 本题若推广到椭圆，则有=（e是椭圆的离心率）；若推广到双曲线，则要求弦AB与双曲线交于同一支，此时，同样有=(e为双曲线的离心率).‎ ‎13.如右图，M是抛物线y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且|MA|=|MB|.‎ ‎（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；‎ ‎（2）若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹方程.‎ ‎（1）证明：设M（y02,y0），直线ME的斜率为k(k>0),则直线MF的斜率为-k，‎ 直线ME的方程为y-y0=k(x-y02).‎ 由得 ky2-y+y0(1-ky0)=0.‎ 解得y0·yE=,‎ ‎∴yE=,∴xE=.‎ 同理可得yF=,∴xF=.‎ ‎∴kEF=（定值）.‎ ‎（2）解析：当∠EMF=90°时，∠MAB=45°，所以k=1，由（1）得E（（1-y0）2,（1-y0)）F（（1+y0）2,-(1+y0)）.‎ 设重心G（x,y），则有 消去参数y0,得y2=(x>0).‎ ‎14.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点M（1,-3）、N（5，1），若点C满足=t+(1-t)(t∈R),点C的轨迹与抛物线y2=4x交于A、B两点.‎ ‎（1）求证：⊥;‎ ‎(2)在x轴上是否存在一点P（m,0），使得过点P任作抛物线的一条弦，并以该弦为直径的圆都过原点.若存在，请求出m的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎（1）证明：由=t+(1-t)(t∈R)知点C的轨迹是M、N两点所在的直线，故点C的轨迹方程是：y+3=·(x-1),即y=x-4.‎ 由(x-4)2=4xx2-12x+16=0.‎ ‎∴x1x2=16，x1+x2=12，‎ ‎∴y1y2=(x1-4)(x2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16=-16.‎ ‎∴x1x2+y1y2=0.故⊥.‎ ‎（2)解析：存在点P（4，0），使得过点P任作抛物线的一条弦，以该弦为直径的圆都过原点.‎ 由题意知：弦所在的直线的斜率不为零，‎ 故设弦所在的直线方程为：x=ky+4，代入y2=x，得y2-4ky-16=0,‎ ‎∴y1+y2=4k,y1y2=-16.‎ kOA·kOB==-1.‎ ‎∴OA⊥OB,故以AB为直径的圆都过原点.‎ 设弦AB的中点为M(x,y)，‎ 则x=(x1+x2),y=(y1+y2).‎ x1+x2=ky1+4+ky2+4=k(y1+y2)+8=k·(4k）+8=4k2+8.‎ ‎∴弦AB的中点M的轨迹方程为：消去k，得y2=2x-8.‎ 轻松阅读 圆锥曲线的由来 圆锥曲线是圆、椭圆、抛物线与双曲线的总称,它们都可以通过不经过圆锥顶点的平面截圆锥面得到,圆锥曲线也因此而得名.‎ 圆锥曲线是继直线、圆以后人类认识比较早的一类曲线.早在两千多年前,古希腊的数学家就开始详细研究圆锥曲线.他们曾用三种不同的圆锥面导出圆锥曲线,即用垂直于圆锥母线的平面截圆锥面,当圆锥的顶角为直角、锐角或钝角时,分别得到抛物线、椭圆和双曲线.公元前3世纪,希腊数学家阿波罗尼奥斯(Apollonus)首次从一个对顶圆锥得到所有的圆锥曲线,并创立了相当完美的圆锥曲线理论.‎