2020_2021学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6

2020_2021学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6

6 . 2 . 2 　 向量的减法运算 课标阐释 思维脉络 1 . 理解相反向量的概念 . ( 数学抽象 ) 2 . 理解向量减法的意义 , 掌握向量减法的运算法则及其几何意义 . ( 数学抽象、直观想象 ) 3 . 能运用向量的加法与减法解决相关问题 . ( 数学抽象、数学运算 ) 激趣诱思 知识点拨 以前台胞春节期间来大陆探亲 , 乘飞机从台北到香港 , 再从香港到上海 , 若台北到香港的位移用向量 a 表示 , 香港到上海的位移用向量 b 表示 , 台北到上海的位移用向量 c 表示 . 想一想 , 向量 a , b , c 有何关系 ? 激趣诱思 知识点拨 知识点一、相反 向量 定义 与向量 a 长度 相等 , 方向 相反 的向量 , 叫做 a 的相反向量 性质 ① 零向量的相反向量仍是零向量 ② a+(-a)=(-a)+a= 0 ③ 如果 a,b 互为相反向量 , 那么 a= -b ,b=-a,a+b= 0 激趣诱思 知识点拨 微练习 如图 , 四边形 ABCD 是平行四边形 , AC 与 BD 相交于点 O , 下列互为相反向量的是 ( 　　 ) 答案 : C 激趣诱思 知识点拨 知识点二、向量减法运算及其几何 意义 定义 a-b=a+(-b), 即减去一个向量相当于加上这个向量的 相反向量 作法 已知向量 a,b, 在平面内任取一点 O, 作 =a,=b, 则 =a-b. 如图所 示 几何意义 如果把两个向量 a,b 的起点放在一起 , 则 a-b 可以表示为从向量 b 的 终点 指向向量 a 的 终点 的向量 激趣诱思 知识点拨 名师点析 (1) 若向量 a , b 为非零不共线向量 , 则 a , b 与 a-b 围成三角形 , 故称这种作两向量差的方法为向量减法的三角形法则 . (2) 求两个向量的差就是要把两个向量的始点放在一起 , 它们的差是以减向量的终点为始点 , 以被减向量的终点为终点的向量 , 可简记为 “ 共始点 , 连终点 , 指向被减 . ” 激趣诱思 知识点拨 微思考 当两个非零向量 a , b 共线时 , 如何作图得 a - b ? 激趣诱思 知识点拨 微练习 如图 , 在正方形 ABCD 中 , 对角线相交于点 O , 则有 : 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 向量减法的几何意义 例 1 (1) 如图 ① 所示 , 四边形 ABCD 中 , A. a-b+c B. b- ( a+c ) C. a+b+c D. b-a+c (2) 如图 ② 所示 , 已知向量 a , b , c 不共线 , 求作向量 a+b-c . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 求作两个向量的差向量的两种思路 (1) 可以转化为向量的加法来进行 , 如 a-b , 可以先作 - b , 然后作 a+ ( -b ) 即可 . (2) 也可以直接用向量减法的三角形法则 , 即把两向量的起点重合 , 则差向量为连接两个向量的终点 , 指向被减向量的终点的向量 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 1 如图所示 , 已知向量 a , b , c , 求作向量 a-b-c . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 向量的加法与减法 运算 例 2 化简下列各向量的表达式 : 分析 按照向量加法和减法的运算法则进行化简 , 进行减法运算时 , 必须保证两个向量的起点相同 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 向量加减法化简的两种形式 (1) 首尾相连且为和 ; (2) 起点相同且为差 . 做题时要注意观察是否有这两种形式 , 同时要注意逆向应用 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 2 化简下列向量表达式 : 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 向量减法几何意义的应用 A . 菱形 B . 矩形 C. 正方形 D. 不确定 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 1 . 用向量法解决平面几何问题的步骤 (1) 将平面几何问题中的量抽象成向量 . (2) 转化为向量问题 , 进行向量运算 . (3) 将向量问题还原为平面几何问题 . 2 . 用向量法证明四边形为平行四边形的方法和解题关键 (1) 利用向量证明线段平行且相等 , 从而证明四边形为平行四边形 , 只需证明对应有向线段所表示的向量相等即可 . (2) 根据图形灵活运用向量的运算法则 , 找到向量之间的关系是解决此类问题的关键 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 利用已知向量表示未知向量 典例 如图 , 解答下列各题 : 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 方法点睛利用已知向量表示其他向量的一个关键及三点注意 (1) 一个关键 关键是确定已知向量与被表示向量的转化渠道 . (2) 三点注意 ① 注意相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形三向量之间的关系 ; ② 注意应用向量加法、减法的几何意义以及它们的运算律 ; ③ 注意在封闭图形中利用多边形法则 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1 . 若非零向量 a , b 互为相反向量 , 则下列说法错误的是 ( 　　 ) A. a ∥ b B. a ≠ b C. | a | ≠ | b | D. b =- a 解析 : 根据相反向量的定义 , 大小相等 , 方向相反 , 可知 | a |=| b |. 答案 : C 答案 : B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3 . 如 图 , 在 △ ABC 中 , D 为 BC 的中点 , 则下列结论错误的是 ( 　　 ) 答案 : C 答案 : 0 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测