广东省佛山市顺德区2021届高三数学上学期第二次质量检测试卷（Word版含答案）

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顺德区2021届高三第二次教学质量检测 数学试卷 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x-7≤8-2x），则A∩B＝（ ）‎ A．{x|2＜x≤3} B．{x|2≤x≤3} C．{x|1≤x＜4} D．{x|1＜x＜4}‎ ‎2．设复数z满足z（1＋i）＝i，则z在复平面内对应点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．某校高一学生选课时，要求从政治、地理、化学、生物四门课程中选择两科进行选修，甲乙两人所选课程中完全不同的选法的种数是（ ）‎ A．36 B．24 C．12 D．6‎ ‎4．《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著．是《算经十书》中最重要的一部，其中将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称之为“羡除”，下列说法错误的是（ ）‎ A．“羡除”有且仅有两个面为三角形 B．“羡除”一定不是台体 C．不存在有两个面为平行四边形的“羡除” D．“羡除”至多有两个面为梯形 ‎5．2020年，各国医疗科研机构都在积极研制“新冠”疫苗，现有A、B两个独立的医疗科研机构，它们能研制出疫苗的概率均为，则至少有一家机构能够研究出“新冠”疫苗的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．下列函数中，其图象与函数y＝ln（x＋1）的图象关于直线x＝1对称的是（ ）‎ A．y＝ln（1-x） B．y＝ln（3-x） C．y＝ln（1＋x） D．y＝ln（3＋x）‎ ‎7．已知p是边长为2的正三角形ABC的边BC上的一点，则的取值范围是（ ）‎ A．[2，6] B．[2，4] C．（2，4） D．（0，4）‎ ‎8．已知函数f（x）＝ln（2|x|-1）＋x2-1，则不等式xf（x-2）＜0的解集是（ ）‎ A．（-∞，0）∪（2，3） B．（-3，-1）∪（0，＋∞）‎ C．（-∞，0）∪（1，2）∪（2，3） D．（-3，0）∪（0，2）∪（2，＋∞）‎ 二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.‎ ‎9．已知双曲线的方程为，则下列说法正确的是（ ）‎ A．焦点为 B．渐近线方程为3x±4y＝0‎ C．离心率 D．焦点到渐近线的距离为4‎ ‎10．已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，）的部分图像如图所示，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎11．已知函数，方程f（x）-x＝0在区间[0，2n]（n∈N*）上的所有根的和为bn，则（ ）‎ A．f（2020）＝2019 B．f（2020）＝2020‎ C．bn＝22n-1＋2n-1 D．‎ ‎12．已知a＞b＞0，且a＋b＝1，则（ ）‎ A．logab＞logba B． C．ab＜ba D．2a-2b＞2-b-2-a 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共4小题 ‎13．写出曲线x2＋y2-2x-4y＝0的一条对称轴所在的直线方程________．‎ ‎14．将数列{3n＋1}中的项数为奇数的项按照从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．‎ ‎15．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，将角α的终边绕原点逆时针旋转后与单位圆x2＋y2＝1交于点，则sin2α＝________．‎ ‎16．三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为2的球面上，已知△ABC是边长为2的正三角形，PA＝PB，则△PAB面积的最大值为________．‎ 四、解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．在①sinA＝2sinB，②a＋b＝6，③ab＝12．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出△ABC的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，c＝3，________．‎ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．‎ ‎18．在等比数列{an}中，a3-a2＝6，且a1，a2＋1，a3-2成等差数列．‎ ‎（I）Sn为{an}的前n项和，证明2Sn＝3an-1；‎ ‎（II）Tn为{an}的前n项的积，求数列{Tn}中落入区间[310，321]中项的个数．‎ ‎19．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，PB＝PD．‎ ‎（I）证明：BD⊥平面PAC ‎（II）若PA⊥CD，2PA＝CD，求二面角D-PC-A的余弦值．‎ ‎20．某篮球职业联赛分为常规赛和季后赛两个阶段．常规赛采用循环赛，分主场比赛和客场比赛两种，积分高的球队进入季后赛；季后赛采用五局三胜制进行淘汰赛，最终决出总冠军．（“5局3胜”制是指先胜3局者获得比赛胜利，比赛结束）．下表是甲队在常规赛80场比赛中的比赛结果记录表．‎ 季度 比赛次数 主场次数 获胜次数 主场获胜次数 ‎1季度 ‎23‎ ‎13‎ ‎16‎ ‎11‎ ‎2季度 ‎27‎ ‎11‎ ‎21‎ ‎8‎ ‎3季度 ‎30‎ ‎16‎ ‎23‎ ‎13‎ ‎（I）根据表中信息，能否在犯错误概率不超过0.100的前提下认为“主客场”与“胜负”之间有关？‎ ‎（Ⅱ）已知甲队和乙队在季后赛首轮比赛中相遇，假设每局比赛结果相互独立，以甲队常规赛80场比赛获胜的频率估计甲队在季后赛每局比赛获胜的概率，记X为本轮比赛结束时甲队和乙队所进行的比赛的局数，求X的分布列及甲队获得这轮比赛胜利的概率．‎ 附：，‎ P（K2≥k）‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎21．已知函数（a为常数）.‎ ‎（I）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；‎ ‎（Ⅱ）若存在x0≥1使得f（x0）＜0，求a的取值范围．‎ ‎22．设椭圆C：（a＞b＞0）的离心率，过椭圆C上一点P（2，3）作两条不重合且倾斜角互补的直线PA、PB分别与椭圆C交于A、B两点，且AB中点为M．‎ ‎（I）求椭圆C方程．‎ ‎（II）椭圆C上是否存在不同于P的定点N，使得△MNP的面积为定值，如果存在，求定点N的坐标；如果不存在，说明理由．‎ 顺德区2021届高三第二次教学质量检测 数学参考答案 一、单项选择题：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 B A D D C B B C 二、多项选择题：‎ 题号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 BC ABD BC AD 三、填空题：‎ ‎13．只要经过点（1，2）的直线即可．如x＝1，y＝2x等 ‎14．3n2＋n 15． 16．‎ 四、解答题：‎ ‎17．【解析】解法一：由 结合正弦定理可得：‎ 因为sinA≠0，所以 因为 所以 因为，所以 因为C∈（0，π），所以，所以C＝60°‎ 解法二：由 结合正弦定理可得：‎ 因为sinA≠0，所以 因为，C（0，π），所以或者（舍去）‎ 所以A＋B＝2C，所以C＝60°‎ 由余弦定理得c2＝a2＋b2-2abcosC，所以9＝a2＋b2-ab 选择条件①的解析：根据sinA＝2sinB，结合正弦定理得a＝2b 联立方程组解得：‎ 所以△ABC的面积 选择条件②的解析：‎ 联立方程组，化简得：解得 ‎（注：没有解出a，b，则需说明△ABC存在）‎ 所以△ABC的面积 选择条件③的解析：由9＝a2＋b2-ab≥2ab-ab＝ab得ab≤9‎ 与ab＝12矛盾，所以问题中的三角形不存在 ‎18．【解析】（Ⅰ）因为a1，a2＋1，a3-2成等差数列，所以a1＋a3-2＝2a2＋2‎ 设等比数列{an}的公比为q，则解得a1＝1，q＝3‎ 即{an}为首项为1，公比为3的等比数列，所以an＝3n-1‎ 因为 所以2Sn＝3n-1＝3an-1‎ ‎（Ⅱ）‎ 由得 解得5≤n≤7‎ 所以数列{Tn}中有3项落入区间[310，321]‎ ‎19．【解析】（Ⅰ）证明：设AC与BD的交点为O，连接PO，‎ 因为PB＝PD，所以BD⊥PO 因为ABCD为菱形，所以BD⊥AC 因为PO∩AC＝O，PO，AC平面PAC，所以BD⊥平面PAC ‎（Ⅱ）因为BD⊥平面PAC，PA平面PAC，所以PA⊥BD 又因为PA⊥CD，CD∩BD＝D，CD，BD平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD 取BC的中点E，分别以AE，AB，PA为x，y，z轴建立空间坐标系如图 设PA＝a，则CD＝AC＝2a，，所以，‎ 设平面PCD的一个法向量为，则 由得，令，得 由因为BD⊥平面PAC，‎ 所以为平面PAC的一个法向量，且 设二面角A-PC-D的平面角为θ，则 由图可知θ为锐角，所以 ‎20．（1）根据表格信息列出2×2列联表如下 甲队胜 甲队负 合计 主场 ‎32‎ ‎8‎ ‎40‎ 客场 ‎28‎ ‎12‎ ‎40‎ 合计 ‎60‎ ‎20‎ ‎80‎ 所以不能在犯错误概率不超过0.100的前提下认为“主客场”与“比赛胜负”之间有关．‎ ‎（2）依题意得甲队每局比赛获胜的概率估计值为 X的所有可能取值为3，4，5‎ 所以X的分布列为 X ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎“甲队获得这轮比赛胜利”的概率为 ‎21．【解析】（1）函数f（x）的定义域为（0，＋∞），因为f′（x）＝（x-a）lnx 当a＝0时，f′（e）＝e，，切线方程为 令x＝0，解，令y＝0，解得所以 ‎（2）若要存在x0≥1使得f（x0）＜0，则只需f（x）在[1，＋∞）上的最小值小于0即可 当a≤1时，f′（x）＞0在（1，＋∞）恒成立，函数f（x）在x＝1处取得最小值，所以 ‎，解得 当a＞1时，函数f（x）在[1，a）上单调递减，在[a，＋∞）上单调递增，‎ 则当x＝a时取得极小值也是最小值，‎ 由解得 综上可得：a的取值范围是 ‎22．【解析】（1）依题意得 解得a＝4，，c＝2‎ 所以椭圆C：‎ ‎（2）解法一：因为直线PA、PB的倾斜角互补，‎ 所以设直线PA、PB的方程为y-3＝k（x-2），y-3＝-k（x-2）‎ 所以A（x1，y1），B（x2，y2）‎ 联立方程消元得：（3＋4k2）x2-8k（2k-3）x＋4（4k2-12k-3）＝0‎ 所以，所以，‎ 所以 同理得，‎ 设M（x，y），则，‎ 所以，所以点M在直线上 所以当PN∥OM时，△MNP的面积为定值．‎ 此时PN的直线方程为，即 因为消元得：x2-6x＋8＝0，解得x＝4或x＝2（舍去）．‎ 所以椭圆C上存在不同于P的定点N（4，0），使得△MNP的面积为定值 ‎（2）解法二：‎ 设直线PA、PB的斜率为k1，k2，A（x1，y1），B（x2，y2）‎ 因为直线PA、PB的倾斜角互补，所以k1＋k2＝0‎ 设直线AB的方程为y＝kx＋b．‎ 联立方程消元得：（3＋4k2）x2＋8kbx＋4b2-48＝0‎ 所以，，‎ 所以 所以2kx1x2＋（b-2k-3）（x1＋x2）-4（b-3）＝0‎ 所以 所以4k2-8k＋3＋2kb-b＝0，所以（2k-1）（2k-3）＋b（2k-1）＝0‎ 所以（2k-1）（2k-3＋b）＝0所以或2k＝3-b（舍去）‎ 直线OM的斜率．所以点M在直线上 所以当PN∥OM时，△MNP的面积为定值．‎ 此时PN的直线方程为，即 因为消元得：x2-6x＋8＝0，解得x＝4或x＝2（舍去）．‎ 所以椭圆C上存在不同于P的定点N（4，0），使得△MNP的面积为定值