高中人教a版数学必修4:第三章 章末检测 word版含解析

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高中人教a版数学必修4:第三章 章末检测 word版含解析

第三章章末检测 班级____ 姓名____ 考号____ 分数____ 本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 一、选择题:本大题共 12 题,每题 5 分,共 60 分.在下列各题的四个选项中,只有一 个选项是符合题目要求的. 1.sin68°sin67°-sin23°cos68°的值为( ) A.- 2 2 B. 2 2 C. 3 2 D.1 答案:B 解析:原式=sin68°cos23°-cos68°sin23°=sin(68°-23°)=sin45°= 2 2 . 2.已知 sinα=2 3 ,则 cos(π-2α)等于( ) A.- 5 3 B.-1 9 C.1 9 D. 5 3 答案:B 解析:cos(π-2α)=-cos2α=-(1-2sin2α)=2sin2α-1=2×4 9 -1=-1 9. 3.已知 M= x|sinx=1 2 ,N= x|cos2x=1 2 ,则( ) A.M=N B.M⊆N C.N⊆M D.M∩N=∅ 答案:B 解析:由 cos2x=1-2sin2x=1 2 ,得 sinx=±1 2 ,故选 B. 4.已知 sinθ 2 =-4 5 ,cosθ 2 =3 5 ,则角θ终边所在象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案:C 解析:∵sinθ=2sinθ 2cosθ 2 =-24 25<0,cosθ=cos2θ 2 -sin2θ 2 =- 7 25<0,∴θ终边在第三象限. 5.函数 f(x)=lg (sin2x-cos2x)的定义域是( ) A. x|2kπ-3π 4 0,∴cos2x<0,∴2kπ+π 2<2x<2kπ +3π 2 ,k∈Z,∴kπ+π 40)的最小正周期为 1,则它的图象的一个对称中心为 ( ) A. -π 8 ,0 B.(0,0) C. -1 8 ,0 D. 1 8 ,0 答案:C 解析:由条件得 f(x)= 2sin ax+π 4 ,又函数的最小正周期为 1,故2π a =1,∴a=2π,故 f(x)= 2sin 2πx+π 4 .将 x=-1 8 代入得函数值为 0. 7.tan20°+tan40°+ 3(tan20°+tan40°)等于( ) A. 3 3 B.1 C. 3 D. 6 答案:C 解析:tan60°= tan20°+tan40° 1-tan20°·tan40° , ∴ 3- 3tan20°tan40°=tan20°+tan40°, ∴tan20°+tan40°+ 3tan20°tan40°= 3. 8.关于 x 的方程 sinx+ 3cosx-a=0 有实数解,则实数 a 的范围是( ) A.[-2,2] B.(-2,2) C.(-2,0) D.(0,2) 答案:A 解析:sinx+ 3cosx-a=0,∴a=sinx+ 3cosx =2 1 2sinx+ 3 2 cosx =2sin x+π 3 ,-1≤sin x+π 3 ≤1,∴-2≤a≤2. 9.若α,β为锐角,sinα=2 5 5 ,sin(α+β)=3 5 ,则 cosβ等于( ) A.2 5 5 B.2 5 25 C.2 5 5 或2 5 25 D.-2 5 25 答案:B 解析:cosβ=cos[(α+β)-α] =cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα, ∵α为锐角 cosα= 1-20 25 = 5 5 , ∴sin(α+β)=3 5 <sinα,∴α+β>π 2. ∴cos(α+β)=- 1- 9 25 =-4 5 , ∴cosβ=-4 5 × 5 5 +2 5 5 ×3 5 =2 5 25 . 10.函数 y=sinx 2 + 3cos x 2 的图象的一条对称轴方程为( ) A.x=11 3 π B.x=5 3π C.x=-5 3π D.x=-π 3 答案:C 解析:y=sinx 2 + 3cosx 2 =2sin x 2 +π 3 , 又 f -5 3π =2sin -5 6π+π 3 =2sin -π 2 =-2, ∴x=-5 3π为函数的一条对称轴. 11.已知θ为第三象限角,若 sin4θ+cos4θ=5 9 ,则 sin2θ等于( ) A.2 2 3 B.-2 2 3 C.2 3 D.-2 3 答案:A 解析:由 sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=5 9 ,知 sin2θcos2θ=2 9 ,又θ为第三象 限角, ∴sinθ·cosθ= 2 3 ,sin2θ=2 2 3 . 12.设动直线 x=a 与函数 f(x)=2sin2 π 4 +x 和 g(x)= 3cos2x 的图象分别交于 M,N 两 点,则|MN|的最大值为( ) A. 2 B. 3 C.2 D.3 答案:D 解析:f(x)=1-cos π 2 +2x =1+sin2x. |MN|=|f(a)-g(a)|=|1+sin2a- 3cos2a|=|2sin 2a-π 3 +1|≤3. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. 13.cosπ 5cos2 5π的值是________. 答案:1 4 解析:原式= 1 2sinπ 5 ·2sinπ 5cosπ 5·cos2π 5 = 1 4sinπ 5 ·2sin2π 5 cos2 5π= 1 4sinπ 5 sin4 5π=1 4. 14.已知 sinα=1 2 +cosα,且α∈ 0,π 2 ,则 cos2α sin α-π 4 的值为________. 答案:- 14 2 解析:∵sin2α+cos2α=1,sinα=1 2 +cosα, ∴ 1 2 +cosα 2+cos2α=1,∴2cos2α+cosα-3 4 =0, ∴cosα=-1± 7 4 , ∵α∈ 0,π 2 ,∴cosα>0, ∴cosα= 7-1 4 ,∴sinα=1 2 +cosα= 7+1 4 , ∴ cos2α sin α-π 4 = cos2α-sin2α 2 2 sinα-cosα =- 2(sinα+cosα)=- 2 7+1 4 + 7-1 4 =- 14 2 . 15.已知 cosα=1 3 ,cos(α+β)=-1 3 ,且α,β∈ 0,π 2 ,则 cos(α-β)的值为________. 答案:23 27 解析:∵cosα=1 3 ,α∈ 0,π 2 , ∴sinα=2 2 3 ,∴sin2α=4 2 9 ,cos2α=-7 9. 又 cos(α+β)=-1 3 ,α+β∈(0,π),∴sin(α+β)=2 2 3 . ∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)] =cos2αcos(α+β)+sin2αsin(α+β) = -7 9 × -1 3 +4 2 9 ×2 2 3 =23 27. 16.函数 f(x)= 3cos(3x-θ)-sin(3x-θ)是奇函数,则 tanθ等于________. 答案:- 3 解析:∵f(x)是奇函数,∴f(0)=0,∴ 3cos(-θ)-sin(-θ)=0,∴ 3cosθ+sinθ=0,∴ tanθ=- 3. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10 分)已知sinα+cosα sinα-cosα =3,tan(α-β)=2,求 tan(β-2α)的值. 解:∵sinα+cosα sinα-cosα =tanα+1 tanα-1 =3,∴tanα=2, ∵tan(α-β)=2,∴tan(β-α)=-2, ∴tan(β-2α)=tan[(β-α)-α]= tanβ-α-tanα 1+tanβ-αtanα = -2-2 1+-2×2 =4 3. 18.(12 分)已知向量 a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),|a-b|=2 5 5 ,求 cos(α-β)的 值. 解:∵a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ), ∴a-b=(cosα-cosβ,sinα-sinβ), ∴|a-b|= cosα-cosβ2+sinα-sinβ2 = 2-2cosα-β=2 5 5 , ∴cos(α-β)=3 5. 19.(12 分)已知函数 f(x)=-2 3sin2x+sin2x+ 3. (1)求函数 f(x)的最小正周期和最小值; (2)在给出的直角坐标系中,画出函数 y=f(x)在区间[0,π]上的图象. 解:(1)f(x)= 3(1-2sin2x)+sin2x =sin2x+ 3cos2x=2sin 2x+π 3 , 所以 f(x)的最小正周期 T=2π 2 =π,最小值为-2. (2)列表: x 0 π 12 π 3 7π 12 5π 6 π 2x+π 3 π 3 π 2 π 3π 2 2π 7π 3 f(x) 3 2 0 -2 0 3 描点连线得图象,如图所示. 20.(12 分)已知向量 a=(sinθ,-2)与 b=(1,cosθ)互相垂直,其中θ∈ 0,π 2 . (1)求 sinθ和 cosθ的值; (2)若 sin(θ-φ)= 10 10 ,0<φ<π 2 ,求 cosφ的值. 解:(1)∵a⊥b,∴sinθ×1+(-2)×cosθ=0⇒sinθ=2cosθ. ∵sin2θ+cos2θ=1,∴4cos2θ+cos2θ=1⇒cos2θ=1 5. ∵θ∈ 0,π 2 ,∴cosθ= 5 5 ,sinθ=2 5 5 . (2)解法一:由 sin(θ-φ)= 10 10 得, sinθcosφ-cosθsinφ= 10 10 ⇒sinφ=2cosφ- 2 2 , ∴sin2φ+cos2φ=5cos2φ-2 2cosφ+1 2 =1⇒5cos2φ-2 2cosφ-1 2 =0. 解得 cosφ= 2 2 或 cosφ=- 2 10 , ∵0<φ<π 2 ,∴cosφ= 2 2 . 解法二:∵0<θ,φ<π 2 ,∴-π 2<θ-φ<π 2. 所以 cos(θ-φ)= 1-sin2θ-φ=3 10 10 . 故 cosφ=cos[(θ-(θ-φ)]=cosθcos(θ-φ)+sinθsin(θ-φ) = 5 5 ×3 10 10 +2 5 5 × 10 10 = 2 2 . 21.(12 分)已知函数 f(x)= 2sinx+ 2cos(x-π). (1)求函数 f(x)的最小正周期和值域; (2)若函数 f(x)的图象过点 α,6 5 ,π 4<α<3π 4 ,求 f π 4 +α 的值. 解:(1)由题意得,f(x)= 2sinx+ 2cos(x-π)= 2sinx- 2cosx=2sin x-π 4 ,因为- 1≤sin x-π 4 ≤1,所以函数 f(x)的值域为[-2,2],函数 f(x)的周期为 2π. (2)因为函数 f(x)过点 α,6 5 , 所以 f(α)=6 5 ⇒2sin α-π 4 =6 5 ⇒ sin α-π 4 =3 5 ,因为π 4<α<3π 4 , 所以 0<α-π 4<π 2 ⇒cos α-π 4 >0⇒cos α-π 4 = 1-sin2 α-π 4 =4 5 , 所以 f π 4 +α =2sinα=2sin α-π 4 +π 4 =2sin α-π 4 cosπ 4 +2cos α-π 4 sinπ 4 ⇒f π 4 +α =7 2 5 . 22.(12 分)在△ABC 中,f(B)=4cosB·sin2 π 4 +B 2 + 3cos2B-2cosB. (1)若 f(B)=2,求角 B; (2)若 f(B)-m>2 恒成立,求实数 m 的取值范围. 解:(1)f(B)=4cosB·1-cos π 2 +B 2 + 3cos2B-2cosB=2cosB(1+sinB)+ 3cos2B-2cosB =sin2B+ 3cos2B=2sin 2B+π 3 . ∵f(B)=2,∴2sin 2B+π 3 =2. ∵B 是△ABC 的内角, ∴2B+π 3 =π 2 ,则 B= π 12. (2)若 f(B)-m>2 恒成立, 即 2sin 2B+π 3 >2+m 恒成立. ∵0
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