高中人教a版数学必修4：第三章 章末检测 word版含解析
第三章章末检测
班级____ 姓名____ 考号____ 分数____
本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟．
一、选择题：本大题共 12 题，每题 5 分，共 60 分．在下列各题的四个选项中，只有一
个选项是符合题目要求的．
1．sin68°sin67°－sin23°cos68°的值为( )
A．－ 2
2 B. 2
2
C. 3
2 D．1
答案：B
解析：原式＝sin68°cos23°－cos68°sin23°＝sin(68°－23°)＝sin45°＝ 2
2 .
2．已知 sinα＝2
3
，则 cos(π－2α)等于( )
A．－ 5
3 B．－1
9
C.1
9 D. 5
3
答案：B
解析：cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin2α)＝2sin2α－1＝2×4
9
－1＝－1
9.
3．已知 M＝ x|sinx＝1
2 ，N＝ x|cos2x＝1
2 ，则( )
A．M＝N B．M⊆N
C．N⊆M D．M∩N＝∅
答案：B
解析：由 cos2x＝1－2sin2x＝1
2
，得 sinx＝±1
2
，故选 B.
4．已知 sinθ
2
＝－4
5
，cosθ
2
＝3
5
，则角θ终边所在象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：C
解析：∵sinθ＝2sinθ
2cosθ
2
＝－24
25<0，cosθ＝cos2θ
2
－sin2θ
2
＝－ 7
25<0，∴θ终边在第三象限．
5．函数 f(x)＝lg (sin2x－cos2x)的定义域是( )
A. x|2kπ－3π
4
0，∴cos2x<0，∴2kπ＋π
2<2x<2kπ
＋3π
2
，k∈Z，∴kπ＋π
40)的最小正周期为 1，则它的图象的一个对称中心为
( )
A.
－π
8
，0 B．(0,0)
C.
－1
8
，0 D.
1
8
，0
答案：C
解析：由条件得 f(x)＝ 2sin ax＋π
4 ，又函数的最小正周期为 1，故2π
a
＝1，∴a＝2π，故
f(x)＝ 2sin 2πx＋π
4 .将 x＝－1
8
代入得函数值为 0.
7．tan20°＋tan40°＋ 3(tan20°＋tan40°)等于( )
A. 3
3 B．1
C. 3 D. 6
答案：C
解析：tan60°＝ tan20°＋tan40°
1－tan20°·tan40°
，
∴ 3－ 3tan20°tan40°＝tan20°＋tan40°，
∴tan20°＋tan40°＋ 3tan20°tan40°＝ 3.
8．关于 x 的方程 sinx＋ 3cosx－a＝0 有实数解，则实数 a 的范围是( )
A．[－2,2] B．(－2,2)
C．(－2,0) D．(0,2)
答案：A
解析：sinx＋ 3cosx－a＝0，∴a＝sinx＋ 3cosx
＝2
1
2sinx＋ 3
2 cosx ＝2sin x＋π
3 ，－1≤sin x＋π
3 ≤1，∴－2≤a≤2.
9．若α，β为锐角，sinα＝2 5
5
，sin(α＋β)＝3
5
，则 cosβ等于( )
A.2 5
5 B.2 5
25
C.2 5
5
或2 5
25 D．－2 5
25
答案：B
解析：cosβ＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα，
∵α为锐角 cosα＝ 1－20
25
＝ 5
5
，
∴sin(α＋β)＝3
5
＜sinα，∴α＋β＞π
2.
∴cos(α＋β)＝－ 1－ 9
25
＝－4
5
，
∴cosβ＝－4
5
× 5
5
＋2 5
5
×3
5
＝2 5
25 .
10．函数 y＝sinx
2
＋ 3cos x
2
的图象的一条对称轴方程为( )
A．x＝11
3 π B．x＝5
3π
C．x＝－5
3π D．x＝－π
3
答案：C
解析：y＝sinx
2
＋ 3cosx
2
＝2sin
x
2
＋π
3 ，
又 f
－5
3π ＝2sin
－5
6π＋π
3
＝2sin
－π
2 ＝－2，
∴x＝－5
3π为函数的一条对称轴．
11．已知θ为第三象限角，若 sin4θ＋cos4θ＝5
9
，则 sin2θ等于( )
A.2 2
3 B．－2 2
3
C.2
3 D．－2
3
答案：A
解析：由 sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝5
9
，知 sin2θcos2θ＝2
9
，又θ为第三象
限角，
∴sinθ·cosθ＝ 2
3
，sin2θ＝2 2
3 .
12．设动直线 x＝a 与函数 f(x)＝2sin2
π
4
＋x 和 g(x)＝ 3cos2x 的图象分别交于 M，N 两
点，则|MN|的最大值为( )
A. 2 B. 3
C．2 D．3
答案：D
解析：f(x)＝1－cos
π
2
＋2x ＝1＋sin2x.
|MN|＝|f(a)－g(a)|＝|1＋sin2a－ 3cos2a|＝|2sin 2a－π
3 ＋1|≤3.
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上．
13．cosπ
5cos2
5π的值是________．
答案：1
4
解析：原式＝ 1
2sinπ
5
·2sinπ
5cosπ
5·cos2π
5
＝ 1
4sinπ
5
·2sin2π
5 cos2
5π＝ 1
4sinπ
5
sin4
5π＝1
4.
14．已知 sinα＝1
2
＋cosα，且α∈ 0，π
2 ，则
cos2α
sin α－π
4
的值为________．
答案：－ 14
2
解析：∵sin2α＋cos2α＝1，sinα＝1
2
＋cosα，
∴
1
2
＋cosα 2＋cos2α＝1，∴2cos2α＋cosα－3
4
＝0，
∴cosα＝－1± 7
4
，
∵α∈ 0，π
2 ，∴cosα>0，
∴cosα＝ 7－1
4
，∴sinα＝1
2
＋cosα＝ 7＋1
4
，
∴
cos2α
sin α－π
4
＝ cos2α－sin2α
2
2
sinα－cosα
＝－ 2(sinα＋cosα)＝－ 2
7＋1
4
＋ 7－1
4 ＝－ 14
2 .
15．已知 cosα＝1
3
，cos(α＋β)＝－1
3
，且α，β∈ 0，π
2 ，则 cos(α－β)的值为________．
答案：23
27
解析：∵cosα＝1
3
，α∈ 0，π
2 ，
∴sinα＝2 2
3
，∴sin2α＝4 2
9
，cos2α＝－7
9.
又 cos(α＋β)＝－1
3
，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝2 2
3 .
∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]
＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)
＝ －7
9 × －1
3 ＋4 2
9
×2 2
3
＝23
27.
16．函数 f(x)＝ 3cos(3x－θ)－sin(3x－θ)是奇函数，则 tanθ等于________．
答案：－ 3
解析：∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，∴ 3cos(－θ)－sin(－θ)＝0，∴ 3cosθ＋sinθ＝0，∴
tanθ＝－ 3.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10 分)已知sinα＋cosα
sinα－cosα
＝3，tan(α－β)＝2，求 tan(β－2α)的值．
解：∵sinα＋cosα
sinα－cosα
＝tanα＋1
tanα－1
＝3，∴tanα＝2，
∵tan(α－β)＝2，∴tan(β－α)＝－2，
∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝ tanβ－α－tanα
1＋tanβ－αtanα
＝ －2－2
1＋－2×2
＝4
3.
18．(12 分)已知向量 a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝2 5
5
，求 cos(α－β)的
值．
解：∵a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，
∴a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)，
∴|a－b|＝ cosα－cosβ2＋sinα－sinβ2
＝ 2－2cosα－β＝2 5
5
，
∴cos(α－β)＝3
5.
19．(12 分)已知函数 f(x)＝－2 3sin2x＋sin2x＋ 3.
(1)求函数 f(x)的最小正周期和最小值；
(2)在给出的直角坐标系中，画出函数 y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．
解：(1)f(x)＝ 3(1－2sin2x)＋sin2x
＝sin2x＋ 3cos2x＝2sin 2x＋π
3 ，
所以 f(x)的最小正周期 T＝2π
2
＝π，最小值为－2.
(2)列表：
x 0 π
12
π
3
7π
12
5π
6 π
2x＋π
3
π
3
π
2 π 3π
2 2π 7π
3
f(x) 3 2 0 －2 0 3
描点连线得图象，如图所示．
20．(12 分)已知向量 a＝(sinθ，－2)与 b＝(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈ 0，π
2 .
(1)求 sinθ和 cosθ的值；
(2)若 sin(θ－φ)＝ 10
10
，0<φ<π
2
，求 cosφ的值．
解：(1)∵a⊥b，∴sinθ×1＋(－2)×cosθ＝0⇒sinθ＝2cosθ.
∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴4cos2θ＋cos2θ＝1⇒cos2θ＝1
5.
∵θ∈ 0，π
2 ，∴cosθ＝ 5
5
，sinθ＝2 5
5 .
(2)解法一：由 sin(θ－φ)＝ 10
10
得，
sinθcosφ－cosθsinφ＝ 10
10
⇒sinφ＝2cosφ－ 2
2
，
∴sin2φ＋cos2φ＝5cos2φ－2 2cosφ＋1
2
＝1⇒5cos2φ－2 2cosφ－1
2
＝0.
解得 cosφ＝ 2
2
或 cosφ＝－ 2
10
，
∵0<φ<π
2
，∴cosφ＝ 2
2 .
解法二：∵0<θ，φ<π
2
，∴－π
2<θ－φ<π
2.
所以 cos(θ－φ)＝ 1－sin2θ－φ＝3 10
10 .
故 cosφ＝cos[(θ－(θ－φ)]＝cosθcos(θ－φ)＋sinθsin(θ－φ)
＝ 5
5
×3 10
10
＋2 5
5
× 10
10
＝ 2
2 .
21．(12 分)已知函数 f(x)＝ 2sinx＋ 2cos(x－π)．
(1)求函数 f(x)的最小正周期和值域；
(2)若函数 f(x)的图象过点 α，6
5 ，π
4<α<3π
4
，求 f
π
4
＋α 的值．
解：(1)由题意得，f(x)＝ 2sinx＋ 2cos(x－π)＝ 2sinx－ 2cosx＝2sin x－π
4 ，因为－
1≤sin x－π
4 ≤1，所以函数 f(x)的值域为[－2,2]，函数 f(x)的周期为 2π.
(2)因为函数 f(x)过点 α，6
5 ，
所以 f(α)＝6
5
⇒2sin α－π
4 ＝6
5
⇒
sin α－π
4 ＝3
5
，因为π
4<α<3π
4
，
所以 0<α－π
4<π
2
⇒cos α－π
4 >0⇒cos α－π
4 ＝ 1－sin2 α－π
4 ＝4
5
，
所以 f
π
4
＋α ＝2sinα＝2sin
α－π
4 ＋π
4
＝2sin α－π
4 cosπ
4
＋2cos α－π
4 sinπ
4
⇒f
π
4
＋α ＝7 2
5 .
22．(12 分)在△ABC 中，f(B)＝4cosB·sin2
π
4
＋B
2 ＋ 3cos2B－2cosB.
(1)若 f(B)＝2，求角 B；
(2)若 f(B)－m>2 恒成立，求实数 m 的取值范围．
解：(1)f(B)＝4cosB·1－cos
π
2
＋B
2
＋ 3cos2B－2cosB＝2cosB(1＋sinB)＋ 3cos2B－2cosB
＝sin2B＋ 3cos2B＝2sin 2B＋π
3 .
∵f(B)＝2，∴2sin 2B＋π
3 ＝2.
∵B 是△ABC 的内角，
∴2B＋π
3
＝π
2
，则 B＝ π
12.
(2)若 f(B)－m>2 恒成立，
即 2sin 2B＋π
3 >2＋m 恒成立．
∵0
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