【数学】2020届一轮复习人教版（理）第四章第二节　平面向量的数量积及应用作业

【数学】2020届一轮复习人教版（理）第四章第二节　平面向量的数量积及应用作业

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)‎ A级　基础夯实练 ‎1．(2018·山东济南模拟)已知矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，则·＝(　　)‎ A．1　　　　　　　　　 B．－1‎ C. D．2 解析：选B.设＝a，＝b，则a·b＝0，∵|a|＝，|b|＝1，‎ ‎∴·＝(a＋b)·(－b)＝－a·b－b2＝－1.故选B.‎ ‎2．(2018·陕西吴起高级中学质检)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝1，|b|＝，则|a－2b|＝(　　)‎ A. B．1‎ C．2 D． 解析：选B.∵|a－2b|2＝|a|2＋4|b|2－‎4a·b＝1＋1－1＝1，∴|a－2b|＝1.故选B.‎ ‎3．(2018·昆明检测)已知非零向量a，b满足a·b＝0，|a|＝3，且a与a＋b的夹角为，则|b|＝(　　)‎ A．6 B．3 C．2 D．3‎ 解析：选D.因为a·(a＋b)＝a2＋a·b＝|a||a＋b|cos ，所以|a＋b|＝3，将|a＋b|＝3两边平方可得，a2＋‎2a·b＋b2＝18，解得|b ‎|＝3，故选D.‎ ‎4．(2018·成都检测)已知平面向量a＝(－2,3)，b＝(1,2)，向量λa＋b与b垂直，则实数λ的值为(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 解析：选D.因为a＝(－2,3)，b＝(1,2)，向量λa＋b与b垂直，‎ 所以(－2λ＋1,3λ＋2)·(1,2)＝－2λ＋1＋2(3λ＋2)＝4λ＋5＝0，解得λ＝－.故选D.‎ ‎5．(2018·江西三校联考)若|a|＝2，|b|＝4，且(a＋b)⊥a，则a与b的夹角为(　　)‎ A. B． C. D．－ 解析：选A.∵(a＋b)⊥a，∴(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，‎ ‎∴a·b＝－4，cos〈a，b〉＝＝＝－，∴〈a，b〉＝，故选A.‎ ‎6．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝‎2a，＝‎2a＋b，则下列结论正确的是(　　)‎ A．|b|＝1 B．a⊥b C．a·b＝1 D．(‎4a＋b)⊥ 解析：选D.因为＝－＝(‎2a＋b)－‎2a＝b，‎ 所以|b|＝2，故A错误；‎ 由于·＝‎2a·(‎2a＋b)＝4|a|2＋‎2a·b＝4＋2×1×2×＝2，‎ 所以‎2a·b＝2－4|a|2＝－2，‎ 所以a·b＝－1，故B，C错误；‎ 又因为(‎4a＋b)·＝(‎4a＋b)·b＝‎4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，‎ 所以(‎4a＋b)⊥.‎ ‎7．(2018·永州模拟)在△ABC中，若A＝120°，·＝－1，则||的最小值是(　　)‎ A. B．2‎ C. D．6‎ 解析：选C.∵·＝－1，‎ ‎∴||·||·cos 120°＝－1，‎ 即||·||＝2，‎ ‎∴||2＝|－|2＝2－2·＋2≥2||·||－2·＝6，‎ ‎∴||min＝.‎ ‎8．(2018·豫南九校联考)已知向量a＝(m,2)，b＝(2，－1)，且a⊥‎ b，则的值为________．‎ 解析：∵a⊥b，∴‎2m－2＝0，∴m＝1，则‎2a－b＝(0,5)，a＋b＝(3,1)，∴a·(a＋b)＝1×3＋2×1＝5，‎ ‎|‎2a－b|＝5，∴＝＝1.‎ ‎9．(2018·江苏扬州质检)已知点E是正方形ABCD的边CD的中点，若·＝－2，则·＝________.‎ 解析：如图，以A为坐标原点，分别以AB，AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，设正方形的边长为‎2a(a＞0)，则A(0,0)，E(a,‎2a)，B(‎2a,0)，D(0,‎2a)，可得＝(a,‎2a)，＝(‎2a，－‎2a)，若·＝－2，则‎2a2－‎4a2＝－2，解得a＝1，所以＝(－1,2)，＝(1,2)，所以·＝3.‎ 答案：3‎ ‎10．在△ABC中，⊥，M是BC的中点．‎ ‎(1)若||＝||，求向量＋2与向量2＋的夹角的余弦值；‎ ‎(2)若O是线段AM上任意一点，且||＝||＝，求·＋·的最小值．‎ 解：(1)设向量＋2与向量2＋的夹角为θ，‎ 则cos θ＝，‎ 令||＝||＝a，则cos θ＝＝.‎ ‎(2)∵||＝||＝，∴||＝1，设||＝x(0≤x≤1)，则||＝1－x.而＋＝2，‎ 所以·＋·＝·(＋)＝2·＝2||·||cos π＝2x2－2x＝22－，‎ 当且仅当x＝时，·＋·取得最小值，最小值为－.‎ B级　能力提升练 ‎11．(2018·佛山调研)已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是(　　)‎ A．1 B．2‎ C. D． 解析：选C.设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，则 ‎(a－c)·(b－c)＝0，即(1－x，－y)·(－x,1－y)＝0，‎ 整理得2＋2＝，这是一个圆心坐标为，半径为 的圆，所求的值等价于这个圆上的点到坐标原点的最大距离．根据图形可知，这个最大距离是，即所求的最大值为.‎ ‎12．(2017·浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记I1＝·，I2＝·，I3＝·，则(　　)‎ A．I1＜I2＜I3 B．I1＜I3＜I2‎ C．I3＜I1＜I2 D．I2＜I1＜I3‎ 解析：选C.在△ACD中，由余弦定理得 cos∠CAD＝＝＜，‎ 得cos∠CAD＜cos∠CAB，即∠CAD＞∠CAB.‎ 在等腰△ABD中，易得OD＞OB，∠AOB＞.‎ 同理在等腰△ABC中，‎ ‎∵∠ABD＜，∴CO＞OA.‎ 又I1＝||||cos∠AOB，‎ I3＝||||cos∠COD，‎ ‎∴I3＜I1＜0，∴I2＞0＞I1＞I3，故选C.‎ ‎13．(2018·南京模拟)在矩形ABCD中，边AB、AD 的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足＝，则·的取值范围是________．‎ 解析：由题意设BM＝k，CN＝2k(0≤k≤1)，由＝＋，＝＋知，·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝·＋·＝4－3k，又0≤k≤1，所以1≤4－3k≤4，故·的取值范围是[1,4]．‎ 答案：[1,4]‎ ‎14．已知A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，且m·n＝sin ‎2C.‎ ‎(1)求角C的大小；‎ ‎(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且·(－)＝18，求边c的长．‎ 解：(1)由已知得m·n＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)，‎ 因为A＋B＋C＝π，‎ 所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，‎ 所以m·n＝sin C.‎ 又m·n＝sin ‎2C，‎ 所以sin ‎2C＝sin C，所以cos C＝.‎ 又0＜C＜π，所以C＝.‎ ‎(2)由已知得2sin C＝sin A＋sin B，由正弦定理得 ‎2c‎＝a＋b.‎ 因为·(－)＝·＝18，‎ 所以abcos C＝18，所以ab＝36.‎ 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab 所以c2＝‎4c2－3×36，‎ 所以c2＝36，所以c＝6.‎ ‎15．(2018·衡阳模拟)已知m＝(2，1)，n＝cos2，sin(B＋C)，其中A，B，C是△ABC的内角．‎ ‎(1)当A＝时，求|n|的值；‎ ‎(2)若BC＝1，||＝，当m·n取最大值时，求A的大小及AC边的长．‎ 解：(1)∵当A＝时，‎ n＝＝，‎ ‎∴|n|＝ ＝.‎ ‎(2)∵m·n＝2cos2＋sin(B＋C)‎ ‎＝(1＋cos A)＋sin A ‎＝2sin＋.‎ ‎∵0＜A＜π，∴＜A＋＜.‎ ‎∴当A＋＝，即A＝时，‎ sin＝1，此时m·n取得最大值2＋.‎ 由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A，‎ 即12＝()2＋AC2－‎2AC×，化简得AC2－‎3AC＋2＝0，解得AC＝1或2.‎ C级　素养加强练 ‎16．(2018·武汉市模拟)如图在等腰三角形ABC中，已知|AB|＝|AC|＝1，∠A＝120°，E，F分别是边AB，AC上的点，且＝λ，＝μ，其中λ，μ∈(0,1)，且λ＋4μ＝1.若线段EF，BC的中点分别为M，N，则||的最小值为________．‎ 解析：连接AM，AN，由·＝||||cos ＝－，＝(＋)＝(λ＋μ)，‎ ＝(＋)，＝－＝(1－λ)＋(1－μ)，‎ ‎||2＝[(1－λ)2－(1－λ)(1－μ)＋(1－μ)2]＝(1－λ)2－(1－λ)(1－μ)＋(1－μ)2，由λ＋4μ＝1⇒1－λ＝4μ，可得||2＝μ2－μ＋，∵λ，μ∈(0,1)，∴当μ＝时，||2取最小值，||的最小值为，∴| ‎|的最小值为.‎ 答案：