【数学】2020届一轮复习人教B版（文）30椭圆的定义、标准方程及性质作业

【数学】2020届一轮复习人教B版（文）30椭圆的定义、标准方程及性质作业

天天练30　椭圆的定义、标准方程及性质 小题狂练 一、选择题 ‎1．椭圆＋y2＝1的离心率为(　　)‎ A. B. C. D．2‎ 答案：B 解析：由题意得a＝2，b＝1，则c＝，所以椭圆的离心率e＝＝，故选B.‎ ‎2．[2019·佛山模拟]若椭圆mx2＋ny2＝1的离心率为，则＝(　　)‎ A. B. C.或 D.或 答案：D 解析：若焦点在x轴上，则方程化为＋＝1，依题意得＝，所以＝；若焦点在y轴上，则方程化为＋＝1，同理可得＝.所以所求值为或.故选D.‎ ‎3．过椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为(　　)‎ A．2 B．4‎ C．8 D．2 答案：B 解析：因为椭圆方程为4x2＋y2＝1，所以a＝1.根据椭圆的定义，知△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝4.故选B.‎ ‎4．[2018·全国卷Ⅱ]已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为(　　)‎ A．1－ B．2－ C. D.－1‎ 答案：D 解析：在Rt△PF1F2中，∠PF2F1＝60°，不妨设椭圆焦点在x轴上，且焦距|F1F2|＝2，则|PF2|＝1，|PF1|＝，‎ 由椭圆的定义可知，方程＋＝1中，2a＝1＋，2c＝2，‎ 得a＝，c＝1，‎ 所以离心率e＝＝＝－1.故选D.‎ ‎5．[2019·河南豫北重点中学联考]已知点P是椭圆＋y2＝1(a>1)上的点，A，B是椭圆的左、右顶点，则△PAB的面积为(　　)‎ A．2 B. C. D．1‎ 答案：D 解析：由题可得＋＝1，∴a2＝2，解得a＝(负值舍去)，则S△PAB＝×2a×＝1，故选D.‎ ‎6．[2019·河南安阳模拟]已知F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为椭圆上一点，且·(＋)＝0(O为坐标原点)．若||＝||，则椭圆的离心率为(　　)‎ A.－ B. C.－ D. 答案：A 解析：以OF1，OP为邻边作平行四边形，根据向量加法的平行四边形法则，由·(＋)＝0知此平行四边形的对角线互相垂直，则此平行四边形为菱形，∴|OP|＝|OF1|，∴△F1PF2是直角三角形，即PF1⊥PF2.设|PF2|＝x，则 ‎∴∴e＝＝＝－，故选A.‎ ‎7．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　)‎ A．2 B．3‎ C．6 D．8‎ 答案：C 解析：由椭圆＋＝1可得F(－1,0)，点O(0,0)，设P(x，y)(－2≤x≤2)，则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，－2≤x≤2，当且仅当x＝2时，·取得最大值6.故选C.‎ ‎8．[2019·黑龙江大庆模拟]已知直线l：y＝kx与椭圆C：＋＝1(a>b>0)交于A，B两点，其中右焦点F的坐标为(c,0)，且AF与BF垂直，则椭圆C的离心率的取值范围为(　　)‎ A. B. C. D. 答案：C 解析：由AF与BF垂直，运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一半，可得|OA|＝|OF|＝c，由|OA|>b，即c>b，可得c2>b2＝a2－c2，即c2>a2，可得b>0)上一点，F1，F2是其左、右焦点，∠F1PF2取最大值时cos∠F1PF2＝ ‎，则椭圆的离心率为________．‎ 答案： 解析：易知∠F1PF2取最大值时，点P为椭圆＋＝1与y轴的交点，由余弦定理及椭圆的定义得2a2－＝4c2，即a＝c，所以椭圆的离心率e＝＝.‎ ‎12．[2019·“超级全能生”联考]已知椭圆C：＋＝1与圆M：x2＋y2＋2x＋2－r2＝0(0b>0)．由点P(2，)在椭圆上知＋＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2×2c，＝， 又c2＝a2－b2，联立得a2＝8，b2＝6，故椭圆方程为＋＝1.故选A.‎ ‎4．[2018·全国卷Ⅱ]已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案：D 解析：如图，作PB⊥x轴于点B.‎ 由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则c＝1，‎ 由∠F1F2P＝120°，‎ 可得|PB|＝，|BF2|＝1，‎ 故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，‎ tan∠PAB＝＝＝，解得a＝4，‎ 所以e＝＝.‎ 故选D.‎ ‎5．[2019·广西桂林柳州联考]已知点P是以F1，F2为焦点的椭圆＋＝1(a>b>0)上一点．若PF1⊥PF2，tan∠PF2F1＝2，则椭圆的离心率e为(　　)‎ A. B. C. D. 答案：A 解析：∵点P是以F1，F2为焦点的椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，PF1⊥PF2，tan∠PF2F1＝2，∴＝2.设|PF2|＝x，则|PF1|＝2x，由椭圆定义知x＋2x＝2a，∴x＝，∴|PF2|＝，则|PF1|＝.由勾股定理知|PF2|2＋|PF1|2＝|F1F2|2，解得c＝a，∴e＝＝.故选A.‎ ‎6．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点．在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为　(　　)‎ A．6 B．5‎ C．4 D．3‎ 答案：A 解析：根据椭圆定义，知△AF1B的周长为4a＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.故选A.‎ ‎7．[2019·贵州遵义联考]已知m是两个数2,8的等比中项，则圆锥曲线x2＋＝1的离心率为(　　)‎ A.或 B.或 C. D. 答案：B 解析：由题意得m2＝16，解得m＝4或m＝－4.‎ 当m＝4时，曲线方程为x2＋＝1，故其离心率e1＝＝ ＝ ＝；‎ 当m＝－4时，曲线方程为x2－＝1，故其离心率e2＝＝ ＝ ＝ .‎ 所以曲线的离心率为或.故选B.‎ ‎8．若椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)和圆x2＋y2＝2有四个交点，其中c为椭圆的半焦距，则椭圆的离心率e的取值范围为(　　)‎ A. B. C. D. 答案：A 解析：由题意可知，椭圆的上、下顶点在圆内，左、右顶点在圆外，则整理得解得b>0)，A，B是C的长轴的两个端点，点M是C上的一点，满足∠MAB＝30°，∠MBA＝45°.设椭圆C的离心率为e，则e2＝________.‎ 答案：1－ 解析：由椭圆的对称性，设M(x0，y0)，y0>0，A(－a,0)，B(a,0)．因为∠MAB＝30°，∠MBA＝45°，所以kBM＝ ‎＝－1，kAM＝＝.又因为＋＝1，三等式联立消去x0，y0可得＝＝1－e2，所以e2＝1－.‎ ‎11．[2019·云南昆明一中月考]已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆E过点C(0,1)，离心率为.‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)直线l过椭圆E的左焦点F，且与椭圆E交于A，B两点，若△OAB的面积为，求直线l的方程．‎ 解析：(1)设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，‎ 由已知得解得a2＝2，b2＝1，‎ 所以椭圆E的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)由已知，直线l过左焦点F (－1,0)．‎ 当直线l与x轴垂直时，A，B，‎ 此时|AB|＝，则S△OAB＝××1＝，不满足条件．‎ 当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，A(x1，y2)，B(x2，y2)．‎ 由得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，‎ 所以x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ 因为S△OAB＝|OF|·|y1－y2|＝|y1－y2|，‎ 由已知S△OAB＝得|y1－y2|＝.‎ 因为y1＋y2＝k(x1＋1)＋k(x2＋1)＝k(x1＋x2)＋2k＝k·＋2k＝，‎ y1y2＝k(x1＋1)·k(x2＋1)＝k2(x1x2＋x1＋x2＋1)＝，‎ 所以|y1－y2|＝ ‎＝ ‎＝，‎ 所以k4＋k2－2＝0，解得k＝±1，‎ 所以直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.‎