高中数学常用公式(超级实用)

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【高中数学常用公式】 说明： 1.本篇所有公式都是用公式编辑器录入。 2.域的概念:本篇的公式都是通过域来实现 的，一个{ }就是一个域，在大括号内输入 所需的功能代码后按 Shift+F9 即可得到公 式。 3.快捷键 Ctrl+F9添加域 Shift+F9更新域（得到公式） 4.可对所有公式进行复制、粘贴、修改。双 击即可在公式编辑器中进行编辑。如不能编 辑请安装最新版的公式编辑器。 5.可收藏备用，绝对高效。 1. 元素与集合的关系 Ux A x C A   , Ux C A x A   . 2.德摩根公式 ( ) ; ( )U U U U U UC A B C A C B C A B C A C B     . 3.包含关系 A B A A B B    U UA B C B C A    UA C B  UC A B R  4.容斥原理 ( ) ( )card A B cardA cardB card A B    ( ) ( )card A B C cardA cardB cardC card A B      ( ) ( ) ( ) ( )card A B card B C card C A card A B C        . 5．集合 1 2{ , , , }na a a 的子集个数共有 2n 个；真子集有 2n–1 个；非空 子集有 2n –1 个；非空的真子集有 2n–2 个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 2( ) ( 0)f x ax bx c a    ; (2)顶点式 2( ) ( ) ( 0)f x a x h k a    ; (3)零点式 1 2( ) ( )( )( 0)f x a x x x x a    . 7.解连不等式 ( )N f x M  常有以下转化形式 ( )N f x M   [ ( ) ][ ( ) ] 0f x M f x N    | ( ) | 2 2 M N M Nf x      ( ) 0 ( ) f x N M f x     1 1 ( )f x N M N    . 8.方程 0)( xf 在 ),( 21 kk 上有且只有一个实根,与 0)()( 21 kfkf 不等价, 前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程 )0(02  acbxax 有且只有一个实根在 ),( 21 kk 内,等价于 0)()( 21 kfkf , 或 0)( 1 kf 且 22 21 1 kk a bk   ,或 0)( 2 kf 且 2 21 22 k a bkk   . 9.闭区间上的二次函数的最值 二次函数 )0()( 2  acbxaxxf 在闭区间  qp, 上的最值只能在 a bx 2  处及区间的两端点处取得，具体如下： (1)当 a>0 时，若  qp a bx , 2  ，则  min max max( ) ( ), ( ) ( ), ( ) 2 bf x f f x f p f q a    ；  qp a bx , 2  ，  max max( ) ( ), ( )f x f p f q ，  min min( ) ( ), ( )f x f p f q . (2) 当 a<0 时 ， 若  qp a bx , 2  ， 则  min( ) min ( ), ( )f x f p f q ， 若  qp a bx , 2  ，则  max( ) max ( ), ( )f x f p f q ，  min( ) min ( ), ( )f x f p f q . 10.一元二次方程的实根分布 依据：若 ( ) ( ) 0f m f n  ，则方程 0)( xf 在区间 ( , )m n 内至少有一个实根 . 设 qpxxxf  2)( ，则 （1）方程 0)( xf 在区间 ),( m 内有根的充要条件为 0)( mf 或 2 4 0 2 p q p m        ； （2）方程 0)( xf 在区间 ( , )m n 内有根的充要条件为 ( ) ( ) 0f m f n  或 2 ( ) 0 ( ) 0 4 0 2 f m f n p q pm n             或 ( ) 0 ( ) 0 f m af n    或 ( ) 0 ( ) 0 f n af m    ； （3）方程 0)( xf 在区间 ( , )n 内有根的充要条件为 ( ) 0f m  或 2 4 0 2 p q p m        . 11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据 (1)在给定区间 ),(  的子区间 L（形如   , ，  , ，  , 不同） 上含参数的二次不等式 ( , ) 0f x t  ( t为参数)恒成立的充要条件是 min( , ) 0( )f x t x L  . (2)在给定区间 ),(  的子区间上含参数的二次不等式 ( , ) 0f x t  ( t 为参数)恒成立的充要条件是 ( , ) 0( )manf x t x L  . (3) 0)( 24  cbxaxxf 恒成立的充要条件是 0 0 0 a b c      或 2 0 4 0 a b ac     . 12.真值表 ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 13.常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有 n个 至多有（ 1n  ）个 小于 不小于 至多有 n个 至少有（ 1n  ）个 对所有 x，成立 存在某 x，不成立 p或 q p 且 q 对任何 x，不成立 存在某 x，成立 p且 q p 或 q 14.四种命题的相互关系 原命题 互逆 逆命题 若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ 互 互 互 为 为 互 否 否 逆 逆 否 否 否命题 逆否命题 若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ 15.充要条件 （1）充分条件：若 p q ，则 p是 q充分条件. （2）必要条件：若 q p ，则 p是 q必要条件. （3）充要条件：若 p q ，且 q p ，则 p是 q充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性 (1)设   2121 ,, xxbaxx  那么  1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0x x f x f x     baxf xx xfxf ,)(0)()( 21 21 在   上是增函数；  1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0x x f x f x     baxf xx xfxf ,)(0)()( 21 21 在   上是减函数. (2)设函数 )(xfy  在某个区间内可导，如果 0)(  xf ，则 )(xf 为增函 数；如果 0)(  xf ，则 )(xf 为减函数. 17.如果函数 )(xf 和 )(xg 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 )()( xgxf  也是减函数; 如果函数 )(ufy  和 )(xgu  在其对应的定义 域上都是减函数,则复合函数 )]([ xgfy  是增函数. 18．奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来， 如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如 果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 19.若函数 )(xfy  是偶函数，则 )()( axfaxf  ；若函数 )( axfy  是 偶函数，则 )()( axfaxf  . 20.对于函数 )(xfy  ( Rx ), )()( xbfaxf  恒成立,则函数 )(xf 的对 称轴是函数 2 bax   ;两个函数 )( axfy  与 )( xbfy  的图象关于直 线 2 bax   对称. 21.若 )()( axfxf  ,则函数 )(xfy  的图象关于点 )0, 2 (a 对称; 若 )()( axfxf  ,则函数 )(xfy  为周期为 a2 的周期函数. 22．多项式函数 1 1 0( ) n n n nP x a x a x a     的奇偶性 多项式函数 ( )P x 是奇函数 ( )P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为 零. 多项式函数 ( )P x 是偶函数 ( )P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为 零. 23.函数 ( )y f x 的图象的对称性 (1)函数 ( )y f x 的图象关于直线 x a 对称 ( ) ( )f a x f a x    (2 ) ( )f a x f x   . (2)函数 ( )y f x 的图象关于直线 2 a bx   对称 ( ) ( )f a mx f b mx    ( ) ( )f a b mx f mx    . 24.两个函数图象的对称性 (1)函数 ( )y f x 与函数 ( )y f x  的图象关于直线 0x  (即 y轴)对称. (2)函数 ( )y f mx a  与函数 ( )y f b mx  的图象关于直线 2 a bx m   对称. (3)函数 )(xfy  和 )(1 xfy  的图象关于直线 y=x 对称. 25.若将函数 )(xfy  的图象右移 a 、上移 b 个单位，得到函数 baxfy  )( 的图象；若将曲线 0),( yxf 的图象右移 a、上移 b个单 位，得到曲线 0),(  byaxf 的图象. 26．互为反函数的两个函数的关系 abfbaf   )()( 1 . 27.若函数 )( bkxfy  存在反函数,则其反函数为 ])([1 1 bxf k y   ,并不 是 )([ 1 bkxfy   ,而函数 )([ 1 bkxfy   是 ])([1 bxf k y  的反函数. 28.几个常见的函数方程 (1)正比例函数 ( )f x cx , ( ) ( ) ( ), (1)f x y f x f y f c    . (2)指数函数 ( ) xf x a , ( ) ( ) ( ), (1) 0f x y f x f y f a    . (3)对数函数 ( ) logaf x x , ( ) ( ) ( ), ( ) 1( 0, 1)f xy f x f y f a a a     . (4)幂函数 ( )f x x , '( ) ( ) ( ), (1)f xy f x f y f   . (5)余弦函数 ( ) cosf x x ,正弦函数 ( ) sing x x ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x y f x f y g x g y   ， 0 ( )(0) 1, lim 1 x g xf x   . 29.几个函数方程的周期(约定 a>0) （1） )()( axfxf  ，则 )(xf 的周期 T=a； （2） 0)()(  axfxf ， 或 )0)(( )( 1)(  xf xf axf ， 或 1( ) ( ) f x a f x   ( ( ) 0)f x  , 或  21 ( ) ( ) ( ), ( ( ) 0,1 ) 2 f x f x f x a f x     ,则 )(xf 的周期 T=2a； (3) )0)(( )( 11)(    xf axf xf ，则 )(xf 的周期 T=3a； (4) )()(1 )()()( 21 21 21 xfxf xfxfxxf    且 1 2 1 2( ) 1( ( ) ( ) 1,0 | | 2 )f a f x f x x x a      ，则 )(xf 的 周期 T=4a； (5) ( ) ( ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 )f x f x a f x a f x a f x a       ( ) ( ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 )f x f x a f x a f x a f x a     ,则 )(xf 的周期 T=5a； (6) )()()( axfxfaxf  ，则 )(xf 的周期 T=6a. 30.分数指数幂 (1) 1m n n m a a  （ 0, ,a m n N   ，且 1n  ）. (2) 1m n m n a a   （ 0, ,a m n N   ，且 1n  ）. 31．根式的性质 （1） ( )nn a a . （2）当 n为奇数时， n na a ； 当 n为偶数时， , 0 | | , 0 n n a a a a a a      . 32．有理指数幂的运算性质 (1) ( 0, , )r s r sa a a a r s Q    . (2) ( ) ( 0, , )r s rsa a a r s Q   . (3) ( ) ( 0, 0, )r r rab a b a b r Q    . 注： 若 a＞0，p 是一个无理数，则 a p 表示一个确定的实数．上述 有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式 log b a N b a N   ( 0, 1, 0)a a N   . 34.对数的换底公式 loglog log m a m NN a  ( 0a  ,且 1a  , 0m  ,且 1m  , 0N  ). 推论 log logm n aa nb b m  ( 0a  ,且 1a  , , 0m n  ,且 1m  , 1n  , 0N  ). 35．对数的四则运算法则 若 a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则 (1) log ( ) log loga a aMN M N  ; (2) log log loga a a M M N N   ; (3) log log ( )n a aM n M n R  . 36.设函数 )0)((log)( 2  acbxaxxf m ,记 acb 42  .若 )(xf 的定义域 为 R ,则 0a ，且 0 ;若 )(xf 的值域为 R ,则 0a ，且 0 .对于 0a 的 情形,需要单独检验. 37. 对数换底不等式及其推广 若 0a  , 0b  , 0x  , 1x a  ,则函数 log ( )axy bx (1)当 a b 时,在 1(0, ) a 和 1( , ) a  上 log ( )axy bx 为增函数. (2)当 a b 时,在 1(0, ) a 和 1( , ) a  上 log ( )axy bx 为减函数. 推论:设 1n m  ， 0p  ， 0a  ，且 1a  ，则 （1） log ( ) logm p mn p n   . （2） 2log log log 2a a a m nm n   . 38. 平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为 N，平均增长率为 p，则对于时间 x的总 产值 y，有 (1 )xy N p  . 39.数列的同项公式与前 n 项的和的关系 1 1 , 1 , 2n n n s n a s s n      ( 数列{ }na 的前 n 项的和为 1 2n ns a a a    ). 40.等差数列的通项公式 * 1 1( 1) ( )na a n d dn a d n N       ； 其前 n 项和公式为 1( ) 2 n n n a as   1 ( 1) 2 n nna d   2 1 1( ) 2 2 d n a d n   . 41.等比数列的通项公式 1 *1 1 ( )n n n aa a q q n N q     ； 其前 n 项的和公式为 1 1 (1 ) , 1 1 , 1 n n a q q s q na q       或 1 1 , 1 1 , 1 n n a a q q qs na q       . 42.等比差数列 na : 1 1, ( 0)n na qa d a b q     的通项公式为 1 ( 1) , 1 ( ) , 1 1 n n n b n d q a bq d b q d q q           ； 其前 n 项和公式为 ( 1) , ( 1) 1( ) , ( 1) 1 1 1 n n nb n n d q s d q db n q q q q            . 43.分期付款(按揭贷款) 每次还款 (1 ) (1 ) 1 n n ab bx b     元(贷款 a元,n次还清,每期利率为b ). 44．常见三角不等式 （1）若 (0, ) 2 x   ，则 sin tanx x x  . (2) 若 (0, ) 2 x   ，则1 sin cos 2x x   . (3) | sin | | cos | 1x x  . 45.同角三角函数的基本关系式 2 2sin cos 1   ， tan =   cos sin ， tan 1cot   . 46.正弦、余弦的诱导公式 2 1 2 ( 1) sin , sin( ) 2 ( 1) s , n n n co           2 1 2 ( 1) s , s( ) 2 ( 1) sin , n n conco           47.和角与差角公式 sin( ) sin cos cos sin        ; cos( ) cos cos sin sin        ; (n 为偶数) (n 为奇数) (n 为偶数) (n 为奇数) tan tantan( ) 1 tan tan          . 2 2sin( )sin( ) sin sin         (平方正弦公式); 2 2cos( ) cos( ) cos sin         . sin cosa b  = 2 2 sin( )a b    (辅助角 所在象限由点 ( , )a b 的象限决 定, tan b a   ). 48.二倍角公式 sin2 2sin cos   . 2 2 2 2cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin          . 2 2 tantan 2 1 tan     . 49. 三倍角公式 3sin 3 3sin 4sin 4sin sin( )sin( ) 3 3            . 3cos3 4cos 3cos 4cos cos( ) cos( ) 3 3            . 3 2 3tan tantan 3 tan tan( ) tan( ) 1 3tan 3 3               . 50.三角函数的周期公式 函数 sin( )y x   ，x∈R 及函数 cos( )y x   ，x∈R(A,ω,为常数， 且 A≠0，ω＞0)的周期 2T    ；函数 tan( )y x   ， , 2 x k k Z   (A, ω,为常数，且 A≠0，ω＞0)的周期T    . 51.正弦定理 2 sin sin sin a b c R A B C    . 52.余弦定理 2 2 2 2 cosa b c bc A   ; 2 2 2 2 cosb c a ca B   ; 2 2 2 2 cosc a b ab C   . 53.面积定理 （1） 1 1 1 2 2 2a b cS ah bh ch   （ a b ch h h、 、 分别表示 a、b、c 边上的高）. （2） 1 1 1sin sin sin 2 2 2 S ab C bc A ca B   . (3) 2 21 (| | | |) ( ) 2OABS OA OB OA OB         . 54.三角形内角和定理 在△ABC 中，有 ( )A B C C A B        2 2 2 C A B     2 2 2( )C A B    . 55. 简单的三角方程的通解 sin ( 1) arcsin ( ,| | 1)kx a x k a k Z a       . s 2 arccos ( ,| | 1)co x a x k a k Z a      . tan arctan ( , )x a x k a k Z a R      . 特别地,有 sin sin ( 1) ( )kk k Z          . s cos 2 ( )co k k Z         . tan tan ( )k k Z         . 56.最简单的三角不等式及其解集 sin (| | 1) (2 arcsin ,2 arcsin ),x a a x k a k a k Z          . sin (| | 1) (2 arcsin ,2 arcsin ),x a a x k a k a k Z          . cos (| | 1) (2 arccos ,2 arccos ),x a a x k a k a k Z        . cos (| | 1) (2 arccos ,2 2 arccos ),x a a x k a k a k Z          . tan ( ) ( arctan , ), 2 x a a R x k a k k Z        . tan ( ) ( , arctan ), 2 x a a R x k k a k Z        . 57.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么 (1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a; (2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. 58.向量的数量积的运算律： (1) a·b= b·a （交换律）; (2)（ a）·b= （a·b）= a·b= a·（ b）; (3)（a+b）·c= a ·c +b·c. 59.平面向量基本定理 如果 e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面 内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得 a=λ1e1+λ2e2． 不共线的向量 e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 60．向量平行的坐标表示 设 a= 1 1( , )x y ,b= 2 2( , )x y ，且 b 0，则 ab(b 0) 1 2 2 1 0x y x y   . a 与 b 的数量积(或内积)a·b=|a||b|cosθ． 61. a·b的几何意义 数量积 a·b等于 a的长度|a|与 b在 a的方向上的投影|b|cosθ的乘 积． 62.平面向量的坐标运算 (1)设 a= 1 1( , )x y ,b= 2 2( , )x y ，则 a+b= 1 2 1 2( , )x x y y  . (2)设 a= 1 1( , )x y ,b= 2 2( , )x y ，则 a-b= 1 2 1 2( , )x x y y  . (3)设 A 1 1( , )x y ，B 2 2( , )x y ,则 2 1 2 1( , )AB OB OA x x y y        . (4)设 a= ( , ),x y R  ，则 a= ( , )x y  . (5)设 a= 1 1( , )x y ,b= 2 2( , )x y ，则 a·b= 1 2 1 2( )x x y y . 63.两向量的夹角公式 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 cos x x y y x y x y       (a= 1 1( , )x y ,b= 2 2( , )x y ). 64.平面两点间的距离公式 ,A Bd = | |AB AB AB     2 2 2 1 2 1( ) ( )x x y y    (A 1 1( , )x y ，B 2 2( , )x y ). 65.向量的平行与垂直 设 a= 1 1( , )x y ,b= 2 2( , )x y ，且 b 0，则 A||b b=λa 1 2 2 1 0x y x y   . ab(a 0) a·b=0 1 2 1 2 0x x y y   . 66.线段的定比分公式 设 1 1 1( , )P x y ， 2 2 2( , )P x y ， ( , )P x y 是线段 1 2PP 的分点,是实数，且 1 2PP PP   ， 则 1 2 1 2 1 1 x xx y yy              1 2 1 OP OPOP         1 2(1 )OP tOP t OP      （ 1 1 t    ）. 67.三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为 1 1A(x ,y )、 2 2B(x ,y )、 3 3C(x ,y ),则△ABC 的 重心的坐标是 1 2 3 1 2 3( , ) 3 3 x x x y y yG     . 68.点的平移公式 ' ' ' ' x x h x x h y y k y y k              ' 'OP OP PP     . 注:图形 F 上的任意一点 P(x，y)在平移后图形 'F 上的对应点为 ' ' '( , )P x y ，且 'PP  的坐标为 ( , )h k . 69.“按向量平移”的几个结论 （1）点 ( , )P x y 按向量 a= ( , )h k 平移后得到点 ' ( , )P x h y k  . (2) 函数 ( )y f x 的图象C按向量 a= ( , )h k 平移后得到图象 'C ,则 'C 的 函数解析式为 ( )y f x h k   . (3) 图象 'C 按向量 a= ( , )h k 平移后得到图象C ,若C的解析式 ( )y f x , 则 'C 的函数解析式为 ( )y f x h k   . (4)曲线C : ( , ) 0f x y  按向量 a= ( , )h k 平移后得到图象 'C ,则 'C 的方程 为 ( , ) 0f x h y k   . (5) 向量 m= ( , )x y 按向量 a= ( , )h k 平移后得到的向量仍然为 m= ( , )x y . 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件 设O为 ABC 所在平面上一点，角 , ,A B C所对边长分别为 , ,a b c，则 （1）O为 ABC 的外心 2 2 2 OA OB OC      . （2）O为 ABC 的重心 0OA OB OC        . （3）O为 ABC 的垂心 OA OB OB OC OC OA            . （4）O为 ABC 的内心 0aOA bOB cOC        . （5）O为 ABC 的 A 的旁心 aOA bOB cOC      . 71.常用不等式： （1） ,a b R  2 2 2a b ab  (当且仅当 a＝b 时取“=”号)． （2） ,a b R  2 a b ab  (当且仅当 a＝b 时取“=”号)． （3） 3 3 3 3 ( 0, 0, 0).a b c abc a b c      （4）柯西不等式 2 2 2 2 2( )( ) ( ) , , , , .a b c d ac bd a b c d R     （5） bababa  . 72.极值定理 已知 yx, 都是正数，则有 （1）若积 xy是定值 p，则当 yx  时和 yx  有最小值 p2 ； （2）若和 yx  是定值 s，则当 yx  时积 xy有最大值 2 4 1 s . 推广 已知 Ryx , ，则有 xyyxyx 2)()( 22  （1）若积 xy是定值,则当 || yx  最大时, || yx  最大； 当 || yx  最小时, || yx  最小. （2）若和 || yx  是定值,则当 || yx  最大时, || xy 最小； 当 || yx  最小时, || xy 最大. 73.一元二次不等式 2 0( 0)ax bx c   或 2( 0, 4 0)a b ac     ，如果 a与 2ax bx c  同号，则其解集在两根之外；如果 a与 2ax bx c  异号，则 其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间. 1 2 1 2 1 2( )( ) 0( )x x x x x x x x x       ； 1 2 1 2 1 2, ( )( ) 0( )x x x x x x x x x x      或 . 74.含有绝对值的不等式 当 a> 0 时，有 22x a x a a x a       . 2 2x a x a x a     或 x a  . 75.无理不等式 （1） ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) f x f x g x g x f x g x       . （2） 2 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) [ ( )] f x f x f x g x g x g x f x g x        或 . （3） 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) [ ( )] f x f x g x g x f x g x       . 76.指数不等式与对数不等式 (1)当 1a  时, ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x   ; ( ) 0 log ( ) log ( ) ( ) 0 ( ) ( ) a a f x f x g x g x f x g x       . (2)当0 1a  时, ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x   ; ( ) 0 log ( ) log ( ) ( ) 0 ( ) ( ) a a f x f x g x g x f x g x       77.斜率公式 2 1 2 1 y yk x x    （ 1 1 1( , )P x y 、 2 2 2( , )P x y ）. 78.直线的五种方程 （1）点斜式 1 1( )y y k x x   (直线 l过点 1 1 1( , )P x y ，且斜率为 k )． （2）斜截式 y kx b  (b 为直线 l在 y 轴上的截距). （3）两点式 1 1 2 1 2 1 y y x x y y x x      ( 1 2y y )( 1 1 1( , )P x y 、 2 2 2( , )P x y ( 1 2x x )). (4)截距式 1x y a b   ( a b、 分别为直线的横、纵截距， 0a b 、 ) （5）一般式 0Ax By C   (其中 A、B 不同时为 0). 79.两条直线的平行和垂直 (1)若 1 1 1:l y k x b  ， 2 2 2:l y k x b  ① 1 2 1 2 1 2|| ,l l k k b b   ; ② 1 2 1 2 1l l k k    . (2)若 1 1 1 1: 0l A x B y C   , 2 2 2 2: 0l A x B y C   ,且 A1、A2、B1、B2 都不为零, ① 1 1 1 1 2 2 2 2 || A B Cl l A B C    ； ② 1 2 1 2 1 2 0l l A A B B    ； 80.夹角公式 (1) 2 1 2 1 tan | | 1 k k k k     . ( 1 1 1:l y k x b  ， 2 2 2:l y k x b  , 1 2 1k k   ) (2) 1 2 2 1 1 2 1 2 tan | |A B A B A A B B     . ( 1 1 1 1: 0l A x B y C   , 2 2 2 2: 0l A x B y C   , 1 2 1 2 0A A B B  ). 直线 1 2l l 时，直线 l1 与 l2的夹角是 2  . 81. 1l 到 2l 的角公式 (1) 2 1 2 1 tan 1 k k k k     . ( 1 1 1:l y k x b  ， 2 2 2:l y k x b  , 1 2 1k k   ) (2) 1 2 2 1 1 2 1 2 tan A B A B A A B B     . ( 1 1 1 1: 0l A x B y C   , 2 2 2 2: 0l A x B y C   , 1 2 1 2 0A A B B  ). 直线 1 2l l 时，直线 l1 到 l2的角是 2  . 82．四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程：经过定点 0 0 0( , )P x y 的直线系方程为 0 0( )y y k x x   (除直线 0x x ),其中 k 是待定的系数; 经过定点 0 0 0( , )P x y 的直线系方程为 0 0( ) ( ) 0A x x B y y    ,其中 ,A B是待定的系数． (2)共点直线系方程：经过两直线 1 1 1 1: 0l A x B y C   , 2 2 2 2: 0l A x B y C   的交点的直线系方程为 1 1 1 2 2 2( ) ( ) 0A x B y C A x B y C      (除 2l )，其中λ 是待定的系数． (3)平行直线系方程：直线 y kx b  中当斜率 k 一定而 b 变动时， 表示平行直线系方程．与直线 0Ax By C   平行的直线系方程是 0Ax By    ( 0  )，λ是参变量． (4)垂直直线系方程：与直线 0Ax By C   (A≠0，B≠0)垂直的 直线系方程是 0Bx Ay    ,λ是参变量． 83.点到直线的距离 0 0 2 2 | |Ax By Cd A B     (点 0 0( , )P x y ,直线 l： 0Ax By C   ). 84. 0Ax By C   或 0 所表示的平面区域 设直线 : 0l Ax By C   ，则 0Ax By C   或 0 所表示的平面区域是： 若 0B  ，当 B与 Ax By C  同号时，表示直线 l的上方的区域；当 B与 Ax By C  异号时，表示直线 l的下方的区域.简言之,同号在上,异号 在下. 若 0B  ，当 A与 Ax By C  同号时，表示直线 l的右方的区域；当 A与 Ax By C  异号时，表示直线 l的左方的区域. 简言之,同号在右,异号 在左. 85. 1 1 1 2 2 2( )( ) 0A x B y C A x B y C     或 0 所表示的平面区域 设曲线 1 1 1 2 2 2: ( )( ) 0C A x B y C A x B y C     （ 1 2 1 2 0A A B B  ），则 1 1 1 2 2 2( )( ) 0A x B y C A x B y C     或 0 所表示的平面区域是： 1 1 1 2 2 2( )( ) 0A x B y C A x B y C     所表示的平面区域上下两部分； 1 1 1 2 2 2( )( ) 0A x B y C A x B y C     所表示的平面区域上下两部分. 86. 圆的四种方程 （1）圆的标准方程 2 2 2( ) ( )x a y b r    . （2）圆的一般方程 2 2 0x y Dx Ey F     ( 2 2 4D E F  ＞0). （3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r        . （4）圆的直径式方程 1 2 1 2( )( ) ( )( ) 0x x x x y y y y      (圆的直径的端点 是 1 1( , )A x y 、 2 2( , )B x y ). 87. 圆系方程 (1)过点 1 1( , )A x y , 2 2( , )B x y 的圆系方程是 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2( )( ) ( )( ) [( )( ) ( )( )] 0x x x x y y y y x x y y y y x x            1 2 1 2( )( ) ( )( ) ( ) 0x x x x y y y y ax by c          ,其中 0ax by c   是直线 AB 的方程,λ是待定的系数． (2)过直线 l : 0Ax By C   与圆 C : 2 2 0x y Dx Ey F     的交点的圆系 方程是 2 2 ( ) 0x y Dx Ey F Ax By C        ,λ是待定的系数． (3) 过圆 1C : 2 2 1 1 1 0x y D x E y F     与圆 2C : 2 2 2 2 2 0x y D x E y F     的交 点的圆系方程是 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2( ) 0x y D x E y F x y D x E y F          ,λ是待 定的系数． 88.点与圆的位置关系 点 0 0( , )P x y 与圆 222 )()( rbyax  的位置关系有三种 若 2 2 0 0( ) ( )d a x b y    ，则 d r 点 P在圆外; d r 点 P在圆上; d r 点 P在圆内. 89.直线与圆的位置关系 直线 0 CByAx 与圆 222 )()( rbyax  的位置关系有三种: 0 相离rd ; 0 相切rd ; 0 相交rd . 其中 22 BA CBbAa d    . 90.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2， dOO 21 条公切线外离 421  rrd ; 条公切线外切 321  rrd ; 条公切线相交 22121  rrdrr ; 条公切线内切 121  rrd ; 无公切线内含  210 rrd . 91.圆的切线方程 (1)已知圆 2 2 0x y Dx Ey F     ． ①若已知切点 0 0( , )x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是 0 0 0 0 ( ) ( ) 0 2 2 D x x E y yx x y y F       . 当 0 0( , )x y 圆外时, 0 0 0 0 ( ) ( ) 0 2 2 D x x E y yx x y y F       表示过两个切点 的切点弦方程． ②过圆外一点的切线方程可设为 0 0( )y y k x x   ，再利用相切条件 求 k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于 y 轴的切线． ③斜率为 k 的切线方程可设为 y kx b  ，再利用相切条件求 b， 必有两条切线． (2)已知圆 2 2 2x y r  ． ①过圆上的 0 0 0( , )P x y 点的切线方程为 2 0 0x x y y r  ; ②斜率为 k的圆的切线方程为 21y kx r k   . 92.椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a b a b     的参数方程是 cos sin x a y b      . 93.椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a b a b     焦半径公式 )( 2 1 c axePF  ， )( 2 2 x c aePF  . 94．椭圆的的内外部 （1）点 0 0( , )P x y 在椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a b a b     的内部 2 2 0 0 2 2 1x y a b    . （2）点 0 0( , )P x y 在椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a b a b     的外部 2 2 0 0 2 2 1x y a b    . 95. 椭圆的切线方程 (1)椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a b a b     上一点 0 0( , )P x y 处的切线方程是 0 0 2 2 1x x y y a b   . （2）过椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a b a b     外一点 0 0( , )P x y 所引两条切线的切点 弦方程是 0 0 2 2 1x x y y a b   . （3）椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a b a b     与直线 0Ax By C   相切的条件是 2 2 2 2 2A a B b c  . 96.双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a b a b     的焦半径公式 2 1 | ( ) |aPF e x c   ， 2 2 | ( ) |aPF e x c   . 97.双曲线的内外部 (1)点 0 0( , )P x y 在双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a b a b     的内部 2 2 0 0 2 2 1x y a b    . (2)点 0 0( , )P x y 在双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a b a b     的外部 2 2 0 0 2 2 1x y a b    . 98.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为 12 2 2 2  b y a x 渐近线方程： 2 2 2 2 0x y a b    x a by  . (2) 若渐近线方程为 x a by   0 b y a x  双曲线可设为  2 2 2 2 b y a x . (3)若双曲线与 12 2 2 2  b y a x 有公共渐近线，可设为  2 2 2 2 b y a x （ 0 ，焦点在 x 轴上， 0 ，焦点在 y 轴上）. 99. 双曲线的切线方程 (1)双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a b a b     上一点 0 0( , )P x y 处的切线方程是 0 0 2 2 1x x y y a b   . （2）过双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a b a b     外一点 0 0( , )P x y 所引两条切线的 切点弦方程是 0 0 2 2 1x x y y a b   . （3）双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a b a b     与直线 0Ax By C   相切的条件是 2 2 2 2 2A a B b c  . 100. 抛物线 pxy 22  的焦半径公式 抛物线 2 2 ( 0)y px p  焦半径 0 2 pCF x  . 过焦点弦长 pxxpxpxCD  2121 22 . 101.抛物线 pxy 22  上的动点可设为 P ), 2 ( 2   y p y 或 或)2,2( 2 ptptP P ( , )x y  ， 其中 2 2y px . 102.二次函数 2 2 2 4( ) 2 4 b ac by ax bx c a x a a        ( 0)a  的图象是抛物线： （1）顶点坐标为 24( , ) 2 4 b ac b a a   ；（2）焦点的坐标为 24 1( , ) 2 4 b ac b a a    ； （3）准线方程是 24 1 4 ac by a    . 103.抛物线的内外部 (1)点 0 0( , )P x y 在抛物线 2 2 ( 0)y px p  的内部 2 2 ( 0)y px p   . 点 0 0( , )P x y 在抛物线 2 2 ( 0)y px p  的外部 2 2 ( 0)y px p   . (2)点 0 0( , )P x y 在抛物线 2 2 ( 0)y px p   的内部 2 2 ( 0)y px p    . 点 0 0( , )P x y 在抛物线 2 2 ( 0)y px p   的外部 2 2 ( 0)y px p    . (3)点 0 0( , )P x y 在抛物线 2 2 ( 0)x py p  的内部 2 2 ( 0)x py p   . 点 0 0( , )P x y 在抛物线 2 2 ( 0)x py p  的外部 2 2 ( 0)x py p   . (4) 点 0 0( , )P x y 在抛物线 2 2 ( 0)x py p  的内部 2 2 ( 0)x py p   . 点 0 0( , )P x y 在抛物线 2 2 ( 0)x py p   的外部 2 2 ( 0)x py p    . 104. 抛物线的切线方程 (1)抛物线 pxy 22  上一点 0 0( , )P x y 处的切线方程是 0 0( )y y p x x  . （2）过抛物线 pxy 22  外一点 0 0( , )P x y 所引两条切线的切点弦方 程是 0 0( )y y p x x  . （3）抛物线 2 2 ( 0)y px p  与直线 0Ax By C   相切的条件是 2 2pB AC . 105.两个常见的曲线系方程 (1)过曲线 1( , ) 0f x y  , 2 ( , ) 0f x y  的交点的曲线系方程是 1 2( , ) ( , ) 0f x y f x y  (为参数). (2)共焦点的有心圆锥曲线系方程 2 2 2 2 1x y a k b k     ,其中 2 2max{ , }k a b . 当 2 2min{ , }k a b 时,表示椭圆; 当 2 2 2 2min{ , } max{ , }a b k a b  时,表示双曲 线. 106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 2 2 1 2 1 2( ) ( )AB x x y y    或 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2(1 )( ) | | 1 tan | | 1 tAB k x x x x y y co          （ 弦 端 点 A ),(),,( 2211 yxByx ，由方程      0)y,x(F bkxy 消去 y 得到 02  cbxax ， 0  ,为 直线 AB的倾斜角， k为直线的斜率）. 107.圆锥曲线的两类对称问题 （ 1 ） 曲 线 ( , ) 0F x y  关 于 点 0 0( , )P x y 成 中 心 对 称 的 曲 线 是 0 0(2 - , 2 ) 0F x x y y  . （2）曲线 ( , ) 0F x y  关于直线 0Ax By C   成轴对称的曲线是 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( )( , ) 0A Ax By C B Ax By CF x y A B A B          . 108.“四线”一方程 对于一般的二次曲线 2 2 0Ax Bxy Cy Dx Ey F      ，用 0x x代 2x ，用 0y y代 2y ，用 0 0 2 x y xy 代 xy，用 0 2 x x 代 x，用 0 2 y y 代 y即得方程 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 x y xy x x y yAx x B Cy y D E F            ，曲线的切线，切点弦， 中点弦，弦中点方程均是此方程得到. 109．证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为判定共面二直线无交点； （2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行. 110．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行. 111．证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直. 112．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直； （3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113．证明直线与平面垂直的思考途径 （1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114．证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直. 115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a＋b=b＋a． (2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)． (3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb． 116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向 量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向 量. 117.共线向量定理 对空间任意两个向量 a、b(b≠0 )，a∥b存在实数λ使 a=λb． P A B、 、 三点共线 ||AP AB  AP t AB    (1 )OP t OA tOB      . ||AB CD  AB  、CD  共线且 AB CD、 不共线 AB tCD   且 AB CD、 不共线. 118.共面向量定理 向量 p 与两个不共线的向量 a、b 共面的 存在实数对 ,x y ,使 p ax by  ． 推论 空间一点 P 位于平面 MAB 内的 存在有序实数对 ,x y ,使 MP xMA yMB     ， 或对空间任一定点 O，有序实数对 ,x y，使OP OM xMA yMB       . 119. 对 空 间 任 一 点 O 和 不 共 线 的 三 点 A 、 B 、 C ， 满 足 OP xOA yOB zOC       （ x y z k   ），则当 1k  时，对于空间任一点O， 总有 P、A、B、C 四点共面；当 1k  时，若O平面 ABC，则 P、A、 B、C 四点共面；若O平面 ABC，则 P、A、B、C 四点不共面． C A B、 、 、D 四点共面 AD  与 AB  、 AC  共面 AD xAB yAC      (1 )OD x y OA xOB yOC         （O平面 ABC）. 120.空间向量基本定理 如果三个向量 a、b、c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在一个 唯一的有序实数组 x，y，z，使 p＝xa＋yb＋zc． 推论 设 O、A、B、C 是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存 在唯一的三个有序实数 x，y，z，使OP xOA yOB zOC       . 121.射影公式 已知向量 AB  =a 和轴 l，e 是 l上与 l同方向的单位向量.作 A 点在 l上 的射影 'A，作 B 点在 l上的射影 'B，则 ' ' | | cosAB AB  〈a，e〉=a·e 122.向量的直角坐标运算 设 a＝ 1 2 3( , , )a a a ，b＝ 1 2 3( , , )b b b 则 (1)a＋b＝ 1 1 2 2 3 3( , , )a b a b a b   ； (2)a－b＝ 1 1 2 2 3 3( , , )a b a b a b   ； (3)λa＝ 1 2 3( , , )a a a   (λ∈R)； (4)a·b＝ 1 1 2 2 3 3a b a b a b  ； 123.设 A 1 1 1( , , )x y z ，B 2 2 2( , , )x y z ，则 AB OB OA     = 2 1 2 1 2 1( , , )x x y y z z   . 124．空间的线线平行或垂直 设 1 1 1( , , )a x y z r ， 2 2 2( , , )b x y z r ，则 a b r r P  ( 0)a b b  r r r r  1 2 1 2 1 2 x x y y z z         ； a b r r  0a b  r r  1 2 1 2 1 2 0x x y y z z   . 125.夹角公式 设 a＝ 1 2 3( , , )a a a ，b＝ 1 2 3( , , )b b b ，则 cos〈a，b〉= 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 a b a b a b a a a b b b       . 推论 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3( ) ( )( )a b a b a b a a a b b b       ，此即三维柯西不等式. 126. 四面体的对棱所成的角 四面体 ABCD中, AC与 BD所成的角为 ,则 2 2 2 2| ( ) ( ) |cos 2 AB CD BC DA AC BD       . 127．异面直线所成角 cos | cos , |a b  r r = 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 | || | | | | | x x y y z za b a b x y z x y z          r r r r （其中（0 90 o o）为异面直线 a b, 所成角， ,a b r r 分别表示异面直线 a b, 的方向向量） 128.直线 AB与平面所成角 sin | || | AB marc AB m        (m  为平面的法向量). 129.若 ABC 所在平面若  与过若 AB 的平面  成的角  ,另两边 AC , BC与平面成的角分别是 1 、 2 , A B、 为 ABC 的两个内角，则 2 2 2 2 2 1 2sin sin (sin sin )sinA B     . 特别地,当 90ACB  时,有 2 2 2 1 2sin sin sin    . 130.若 ABC 所在平面若  与过若 AB 的平面  成的角  ,另两边 AC , BC与平面成的角分别是 1 、 2 , ' 'A B、 为 ABO 的两个内角，则 2 2 2 ' 2 ' 2 1 2tan tan (sin sin ) tanA B     . 特别地,当 90AOB  时,有 2 2 2 1 2sin sin sin    . 131.二面角 l   的平面角 cos | || | m narc m n        或 cos | || | m narc m n        （m  ， n  为平面， 的法向量）. 132.三余弦定理 设 AC 是α内的任一条直线，且 BC⊥AC，垂足为 C，又设 AO 与 AB 所成的角为 1 ，AB 与 AC 所成的角为 2 ，AO 与 AC 所成的角为．则 1 2cos cos cos   . 133. 三射线定理 若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成 的 角 是 1 , 2 , 与 二 面 角 的 棱 所 成 的 角 是 θ ， 则 有 2 2 2 2 1 2 1 2sin sin sin sin 2sin sin cos         ; 1 2 1 2| | 180 ( )         (当且仅当 90  时等号成立). 134.空间两点间的距离公式 若 A 1 1 1( , , )x y z ，B 2 2 2( , , )x y z ，则 ,A Bd = | |AB AB AB     2 2 2 2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )x x y y z z      . 135.点Q到直线 l距离 2 21 (| || |) ( ) | | h a b a b a    (点 P在直线 l上，直线 l的方向向量 a= PA  ，向 量 b=PQ  ). 136.异面直线间的距离 | | | | CD nd n      ( 1 2,l l 是两异面直线，其公垂向量为 n  ，C D、 分别是 1 2,l l 上任 一点， d为 1 2,l l 间的距离). 137.点 B到平面的距离 | | | | AB nd n      （ n  为平面的法向量，AB是经过面的一条斜线，A  ）. 138.异面直线上两点距离公式 2 2 2 2 cosd h m n mn     . 2 2 2 '2 cos ,d h m n mn EA AF      . 2 2 2 2 cosd h m n mn     （ 'E AA F    ）. (两条异面直线 a、b 所成的角为θ，其公垂线段 'AA的长度为 h. 在直线 a、b 上分别取两点 E、F， 'AE m , AF n , EF d ). 139.三个向量和的平方公式 2 2 22( ) 2 2 2a b c a b c a b b c c a                       2 2 2 2 | | | | cos , 2 | | | | cos , 2 | | | | cos ,a b c a b a b b c b c c a c a                        140. 长度为 l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别 为 1 2 3l l l、 、 ，夹角分别为 1 2 3  、 、 ,则有 2 2 2 2 1 2 3l l l l   2 2 2 1 2 3cos cos cos 1      2 2 2 1 2 3sin sin sin 2      . （立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. 141. 面积射影定理 ' cos SS   . (平面多边形及其射影的面积分别是 S、 'S ，它们所在平面所成锐 二面角的为 ). 142. 斜棱柱的直截面 已知斜棱柱的侧棱长是 l ,侧面积和体积分别是 S 斜棱柱侧 和V 斜棱柱 ,它的 直截面的周长和面积分别是 1c 和 1S ,则 ① 1S c l 斜棱柱侧 . ② 1V S l 斜棱柱 . 143．作截面的依据 三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相 平行. 144．棱锥的平行截面的性质 如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似， 截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比 （对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似 多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的 侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比． 145.欧拉定理(欧拉公式) 2V F E   (简单多面体的顶点数 V、棱数 E 和面数 F). （1）E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为 n的 多边形，则面数 F 与棱数 E 的关系： 1 2 E nF ； （2）若每个顶点引出的棱数为m，则顶点数 V 与棱数 E 的关系： 1 2 E mV . 146.球的半径是 R，则 其体积 34 3 V R , 其表面积 24S R ． 147.球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径 是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对 角线长. (3) 球与正四面体的组合体: 棱长为 a的正四面体的内切球的半径为 6 12 a,外接球的半径为 6 4 a. 148．柱体、锥体的体积 1 3 V Sh柱体 （ S是柱体的底面积、 h是柱体的高）. 1 3 V Sh锥体 （ S是锥体的底面积、 h是锥体的高）. 149.分类计数原理（加法原理） 1 2 nN m m m    . 150.分步计数原理（乘法原理） 1 2 nN m m m    . 151.排列数公式 m nA = )1()1(  mnnn  = ！ ！ )( mn n  .(n，m∈N * ，且m n )． 注:规定 1!0  . 152.排列恒等式 （1） 1( 1)m m n nA n m A    ; （2） 1 m m n n nA A n m   ; （3） 1 1 m m n nA nA   ; （4） 1 1 n n n n n nnA A A   ; （5） 1 1 m m m n n nA A mA     . （6）1! 2 2! 3 3! ! ( 1)! 1n n n          . 153.组合数公式 m nC = m n m m A A = m mnnn     21 )1()1( = ！！ ！ )( mnm n  (n∈N * ，m N ，且m n ). 154.组合数的两个性质 (1) m nC = mn nC  ; (2) m nC + 1m nC = m nC 1 . 注:规定 10 nC . 155.组合恒等式 （1） 11m m n n n mC C m    ; （2） 1 m m n n nC C n m   ; （3） 1 1 m m n n nC C m   ; （4）  n r r nC 0 = n2 ; （5） 1 121    r n r n r r r r r r CCCCC  . （6） nn n r nnnn CCCCC 2210   . （7） 1420531 2  n nnnnnn CCCCCC  . （8） 1321 232  nn nnnn nnCCCC  . （9） r nm r n r mn r mn r m CCCCCCC    0110  . （10） n n n nnnn CCCCC 2 2222120 )()()()(   . 156.排列数与组合数的关系 m m n nA m C ！ . 157．单条件排列 以下各条的大前提是从 n个元素中取m个元素的排列. （1）“在位”与“不在位” ①某（特）元必在某位有 1 1   m nA 种；②某（特）元不在某位有 1 1   m n m n AA （补集思想） 1 1 1 1   m nn AA （着眼位置） 1 1 1 11    m nm m n AAA （着眼元素）种. （2）紧贴与插空（即相邻与不相邻） ①定位紧贴： )( nmkk  个元在固定位的排列有 km kn k k AA   种. ②浮动紧贴：n个元素的全排列把 k 个元排在一起的排法有 k k kn kn AA 1 1   种.注：此类问题常用捆绑法； ③插空：两组元素分别有 k、h 个（ 1 hk ），把它们合在一起来作 全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有 k h h h AA 1 种. （3）两组元素各相同的插空 m个大球 n个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？ 当 1 mn 时，无解；当 1 mn 时，有 n mn n n m C A A 1 1    种排法. （4）两组相同元素的排列：两组元素有 m 个和 n 个，各组元素分 别相同的排列数为 n nmC  . 158．分配问题 （1）(平均分组有归属问题)将相异的m、 n个物件等分给m个人， 各得 n件，其分配方法数共有 m n n n n n nmn n nmn n mn n mnCCCCCN )!( )!( 22    . （2）(平均分组无归属问题)将相异的m·n个物体等分为无记号或 无顺序的m堆，其分配方法数共有 m n n n n n nmn n nmn n mn nm mn m CCCCCN )!(! )!( ! ... 22     . （3）(非平均分组有归属问题)将相异的 )1 2 mP(P=n +n + +n 个物体分给 m个人，物件必须被分完，分别得到 1n ， 2n ，…， mn 件，且 1n ， 2n ，…， mn 这 m 个 数 彼 此 不 相 等 ， 则 其 分 配 方 法 数 共 有 !!...! !!!... 21 2 1 1 m n n n np n p nnn mpmCCCN m m   . （4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的 )1 2 mP(P=n +n + +n 个物体 分给m个人，物件必须被分完，分别得到 1n ， 2n ，…， mn 件，且 1n ， 2n ，…， mn 这m个数中分别有 a、b、c、…个相等，则其分配方法 数有 !...!! !...2 1 1 cba mCCC N m m n n n np n p    1 2 ! ! ! !... !( ! ! !...)m p m n n n a b c  . （5）(非平均分组无归属问题)将相异的 )1 2 mP(P=n +n + +n 个物体分为 任意的 1n ， 2n ，…， mn 件无记号的m堆，且 1n ， 2n ，…， mn 这m个数 彼此不相等，则其分配方法数有 !!...! ! 21 mnnn pN  . （6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的 )1 2 mP(P=n +n + +n 个物体 分为任意的 1n ， 2n ，…， mn 件无记号的m堆，且 1n ， 2n ，…， mn 这m 个数中分别有 a 、 b 、 c 、…个相等，则其分配方法数有 !...)!!(!!...! ! 21 cbannn pN m  . （7）(限定分组有归属问题)将相异的 p（ 2 mp n n n 1+ + + ）个物体分 给甲、乙、丙，……等m个人，物体必须被分完，如果指定甲得 1n 件，乙得 2n 件，丙得 3n 件，…时，则无论 1n ， 2n ，…， mn 等m个数 是否全相异或不全相异其分配方法数恒有 !!...! !... 21 2 1 1 m n n n np n p nnn pCCCN m m   . 159．“错位问题”及其推广 贝努利装错笺问题:信 n封信与 n个信封全部错位的组合数为 1 1 1 1( ) ![ ( 1) ] 2! 3! 4! ! nf n n n       . 推广: n个元素与 n个位置,其中至少有m个元素错位的不同组合 总数为 1 2 3 4( , ) ! ( 1)! ( 2)! ( 3)! ( 4)! ( 1) ( )! ( 1) ( )! m m m m p p m m m m f n m n C n C n C n C n C n p C n m                   1 2 3 4 1 2 2 4![1 ( 1) ( 1) ] p m p mm m m m m m p m n n n n n n C C C C C Cn A A A A A A             . 160．不定方程 2 nx x x m1+ + + 的解的个数 (1)方程 2 nx x x m1+ + + （ ,n m N  ）的正整数解有 1 1 m nC   个. (2) 方程 2 nx x x m1+ + + （ ,n m N  ）的非负整数解有 1 1 n m nC    个. (3) 方程 2 nx x x m1+ + + （ ,n m N  ）满足条件 ix k ( k N  , 2 1i n   ) 的非负整数解有 1 1 ( 2)( 1)m n n kC      个. (4) 方程 2 nx x x m1+ + + （ ,n m N  ）满足条件 ix k ( k N  , 2 1i n   ) 的正整数解有 1 2 2 2 2 3 2 1 ( 2) 1 1 1 2 1 2 2 1( 1) n m n m n k n m n k n m n k n n n n n nC C C C C C C                         个. 161.二项式定理 nn n rrnr n n n n n n n n bCbaCbaCbaCaCba   222110)( ; 二项展开式的通项公式 rrnr nr baCT   1 )210( nr ，，，  . 162.等可能性事件的概率 ( ) mP A n  . 163.互斥事件 A，B 分别发生的概率的和 P(A＋B)=P(A)＋P(B)． 164. n个互斥事件分别发生的概率的和 P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 165.独立事件 A，B 同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B). 166.n 个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An)． 167.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率 ( ) (1 ) .k k n k n nP k C P P   168.离散型随机变量的分布列的两个性质 （1） 0( 1,2, )iP i   ; （2） 1 2 1P P   . 169.数学期望 1 1 2 2 n nE x P x P x P       170.数学期望的性质 （1） ( ) ( )E a b aE b    . （2）若～ ( , )B n p ,则 E np  . (3) 若服从几何分布,且 1( ) ( , ) kP k g k p q p    ，则 1E p   . 171.方差      2 2 2 1 1 2 2 n nD x E p x E p x E p               172.标准差  = D . 173.方差的性质 (1)   2D a b a D   ； (2）若～ ( , )B n p ，则 (1 )D np p   . (3) 若服从几何分布,且 1( ) ( , ) kP k g k p q p    ，则 2 qD p   . 174.方差与期望的关系  22D E E    . 175.正态分布密度函数       2 2261 , , 2 6 x f x e x         ，式中的实数μ， （ >0）是参数，分 别表示个体的平均数与标准差. 176.标准正态分布密度函数     2 21 , , 2 6 x f x e x       . 177.对于 2( , )N   ，取值小于 x 的概率   xF x         .      12201 xxPxxPxxxP     2 1F x F x  2 1x x                  . 178.回归直线方程 y a bx  ，其中       1 1 2 2 2 1 1 n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx                      . 179.相关系数     1 2 2 1 1 ( ) ( ) n i i i n n i i i i x x y y r x x y y                1 2 2 2 2 1 1 ( )( ) n i i i n n i i i i x x y y x nx y ny            . |r|≤1，且|r|越接近于 1，相关程度越大；|r|越接近于 0，相关 程度越小. 180.特殊数列的极限 （1） 0 | | 1 lim 1 1 | | 1 1 n n q q q q q        不存在 或 . （2） 1 1 0 1 1 0 0 ( ) lim ( ) ( ) k k k k t t tn t t k k t a n a n a a k t b n b n b b k t                     不存在 . （3）  1 1 1 lim 1 1 n n a q aS q q      （ S无穷等比数列  1 1 na q  ( | | 1q  )的和）. 181. 函数的极限定理 0 lim ( ) x x f x a    0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x f x a      . 182.函数的夹逼性定理 如果函数 f(x)，g(x)，h(x)在点 x0 的附近满足： （1） ( ) ( ) ( )g x f x h x  ; （2） 0 0 lim ( ) , lim ( ) x x x x g x a h x a     （常数）, 则 0 lim ( ) x x f x a   . 本定理对于单侧极限和 x 的情况仍然成立. 183.几个常用极限 （1） 1lim 0 n n  ， lim 0n n a   （ | | 1a  ）； （2） 0 0lim x x x x   ， 0 0 1 1lim x x x x  . 184.两个重要的极限 （1） 0 sinlim 1 x x x  ； （2） 1lim 1 x x e x       (e=2.718281845…). 185.函数极限的四则运算法则 若 0 lim ( ) x x f x a   ， 0 lim ( ) x x g x b   ，则 (1)     0 lim x x f x g x a b       ； (2)     0 lim x x f x g x a b       ; (3)       0 lim 0 x x f x a b g x b   . 186.数列极限的四则运算法则 若 lim , limn nn n a a b b     ，则 (1)  lim n nn a b a b     ； (2)  lim n nn a b a b     ； (3)  lim 0n n n a a b b b   (4)  lim lim limn nn n n c a c a c a         ( c 是常数). 187. )(xf 在 0x 处的导数（或变化率或微商） 0 0 0 0 0 0 ( ) ( )( ) lim limx x x x f x x f xyf x y x x             . 188.瞬时速度 0 0 ( ) ( )( ) lim lim t t s s t t s ts t t t              . 189.瞬时加速度 0 0 ( ) ( )( ) lim lim t t v v t t v ta v t t t            . 190. )(xf 在 ),( ba 的导数 ( ) dy dff x y dx dx     0 0 ( ) ( )lim lim x x y f x x f x x x            . 191. 函数 )(xfy  在点 0x 处的导数的几何意义 函数 )(xfy  在点 0x 处的导数是曲线 )(xfy  在 ))(,( 00 xfxP 处的切线的 斜率 )( 0xf  ，相应的切线方程是 ))(( 000 xxxfyy  . 192.几种常见函数的导数 (1) 0C （C 为常数）. (2) ' 1( ) ( )n nx nx n Q  . (3) xx cos)(sin  . (4) xx sin)(cos  . (5) x x 1)(ln  ； e a x x a log1)(log  . (6) xx ee )( ; aaa xx ln)(  . 193.导数的运算法则 （1） ' ' '( )u v u v   . （2） ' ' '( )uv u v uv  . （3） ' ' ' 2( ) ( 0)u u v uv v v v    . 194.复合函数的求导法则 设函数 ( )u x 在点 x处有导数 ' ' ( )xu x ，函数 )(ufy  在点 x处的对应 点 U 处有导数 ' ' ( )uy f u ，则复合函数 ( ( ))y f x 在点 x处有导数，且 ' ' ' x u xy y u  ，或写作 ' ' '( ( )) ( ) ( )xf x f u x  . 195.常用的近似计算公式（当 x 充小时） (1) xx 2 111  ; x n xn 111  ； (2) (1 ) 1 ( )x x R      ； x x   1 1 1 ； (3) xex 1 ； (4) xxln  )1( ； (5) xx sin （ x为弧度）； (6) xx tan （ x为弧度）； (7) xx arctan （ x为弧度） 196.判别 )( 0xf 是极大（小）值的方法 当函数 )(xf 在点 0x 处连续时， （1）如果在 0x 附近的左侧 0)(  xf ，右侧 0)(  xf ，则 )( 0xf 是极大值； （2）如果在 0x 附近的左侧 0)(  xf ，右侧 0)(  xf ，则 )( 0xf 是极小值. 197.复数的相等 ,a bi c di a c b d      .（ , , ,a b c d R ） 198.复数 z a bi  的模（或绝对值） | |z = | |a bi = 2 2a b . 199.复数的四则运算法则 (1) ( ) ( ) ( ) ( )a bi c di a c b d i       ; (2) ( ) ( ) ( ) ( )a bi c di a c b d i       ; (3) ( )( ) ( ) ( )a bi c di ac bd bc ad i      ; (4) 2 2 2 2( ) ( ) ( 0)ac bd bc ada bi c di i c di c d c d            . 200.复数的乘法的运算律 对于任何 1 2 3, ,z z z C ，有 交换律: 1 2 2 1z z z z   . 结合律: 1 2 3 1 2 3( ) ( )z z z z z z     . 分配律: 1 2 3 1 2 1 3( )z z z z z z z      . 201.复平面上的两点间的距离公式 2 2 1 2 2 1 2 1| | ( ) ( )d z z x x y y      （ 1 1 1z x y i  ， 2 2 2z x y i  ）. 202.向量的垂直 非零复数 1z a bi  ， 2z c di  对应的向量分别是 1OZ  ， 2OZ  ，则 1 2OZ OZ    1 2z z 的实部为零 2 1 z z 为纯虚数 2 2 2 1 2 1 2| | | | | |z z z z    2 2 2 1 2 1 2| | | | | |z z z z    1 2 1 2| | | |z z z z    0ac bd   1 2z iz (λ为非零 实数). 203.实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程 2 0ax bx c   ， ①若 2 4 0b ac    ,则 2 1,2 4 2 b b acx a     ; ②若 2 4 0b ac    ,则 1 2 2 bx x a    ; ③若 2 4 0b ac    ，它在实数集 R内没有实数根；在复数集C内有且 仅有两个共轭复数根 2 2( 4 ) ( 4 0) 2 b b ac i x b ac a        .