2020高中数学 专题强化训练4 新人教A版必修4

2020高中数学 专题强化训练4 新人教A版必修4

专题强化训练(四)‎ ‎ (建议用时：45分钟)‎ ‎[学业达标练]‎ 一、选择题 ‎1．cos 555°的值为(　　) ‎ ‎【导学号：84352357】‎ A． B．－ C． D． B　[cos 555°＝cos(360°＋180°＋15°)‎ ‎＝－cos 15°‎ ‎＝－cos(45°－30°)‎ ‎＝－ ‎＝－.]‎ ‎2．sin αcos(α＋30°)－cos αsin(α＋30°)等于(　　)‎ A．－ B． C．－ D． A　[sin αcos(α＋30°)－cos αsin(α＋30°)＝sin[α－(α＋30°)]＝sin(－30°)＝－sin 30°＝－.]‎ ‎3．已知α，β∈，sin α＝，cos β＝，则α－β等于(　　) ‎ ‎【导学号：84352358】‎ A．－ B． C． D．－或 A　[∵α∈，sin α＝，‎ ‎∴cos α＝，‎ ‎∵β∈，cos β＝，‎ 7‎ ‎∴sin β＝，‎ ‎∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ‎＝×－×＝－，‎ 又α－β∈，∴α－β＝－.]‎ ‎4．函数y＝cos2＋sin2－1是(　　)‎ A．最小正周期为2π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为π的奇函数 D．最小正周期为2π的偶函数 C　[y＝＋－1‎ ‎＝cos－cos ‎＝ ‎＝sin 2x，‎ ‎∴f(x)是最小正周期为π的奇函数．]‎ ‎5．设函数f(x)＝cos2ωx＋sin ωxcos ωx＋a(其中ω＞0，a∈R)．且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标是，则ω的值为(　　) ‎ ‎【导学号：84352359】‎ A． B．－ C．－ D． A　[f(x)＝cos 2ωx＋sin 2ωx＋＋a ‎＝sin＋＋a，‎ 7‎ 依题意得2ω·＋＝⇒ω＝.]‎ 二、填空题 ‎6．已知函数f(x)＝sin(π－x)sin＋cos2(π＋x)－，则f＝________.‎ 　[∵f(x)＝sin xcos x＋cos2x－ ‎＝sin 2x＋·－ ‎＝sin，‎ ‎∴f＝sin＝cos＝.]‎ ‎7．若α、β为锐角，且满足cos α＝，cos(α＋β)＝，则sin β＝________. ‎ ‎【导学号：84352360】‎ 　[∵α、β为锐角，∴α＋β∈(0，π)．‎ 由cos α＝，求得sin α＝，‎ 由cos(α＋β)＝求得sin(α＋β)＝，‎ ‎∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝×－×＝.]‎ ‎8．若＝2 018，则＋tan 2α＝________.‎ ‎2 018　[＋tan 2α＝＋ ‎＝ ‎＝＝ ‎＝＝2 018.]‎ 三、解答题 ‎9．已知α∈，sin α＝.‎ 7‎ ‎(1)求sin的值；‎ ‎(2)求cos的值. ‎ ‎【导学号：84352361】‎ ‎[解]　(1)因为α∈，sin α＝，‎ 所以cos α＝－＝－.‎ 故sin＝sincos α＋cossin α ‎＝×＋×＝－.‎ ‎(2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，‎ cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝，‎ 所以cos＝coscos 2α＋sinsin 2α ‎＝×＋× ‎＝－.‎ ‎10．已知函数f(x)＝sin x·(2cos x－sin x)＋cos2x.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)若＜α＜，且f(α)＝－，求sin 2α的值．‎ ‎[解]　(1)因为f(x)＝sin x·(2cos x－sin x)＋cos2x，‎ 所以f(x)＝sin 2x－sin2x＋cos2x ‎＝sin 2x＋cos 2x＝sin，‎ 所以函数f(x)的最小正周期是π.‎ ‎(2)f(α)＝－，即sin＝－，‎ sin＝－.‎ 因为＜α＜，所以＜2α＋＜，‎ 7‎ 所以cos＝－，‎ 所以sin 2α＝sin ‎＝sin－cos＝×－×＝.‎ ‎[冲A挑战练]‎ ‎1．若(4tan α＋1)(1－4tan β)＝17，则tan(α－β)等于(　　)‎ A．2　　　　 B．3 ‎ C．4　　　　 D．5‎ C　[由已知得，4(tan α－tan β)＝16(1＋tan αtan β)，‎ 即＝4，‎ ‎∴tan(α－β)＝4.]‎ ‎2．在△ABC中，若B＝45°，则cos Asin C的取值范围是(　　)‎ ‎ 【导学号：84352362】‎ A．[－1,1] B． C． D． B　[∵B＝45°，∴A＋C＝135°，C＝135°－A，‎ ‎∴cos Asin C＝cos Asin(135°－A)‎ ‎＝cos A· ‎＝cos‎2A＋sin Acos A ‎＝·＋· ‎＝(sin ‎2A＋cos ‎2A＋1)‎ ‎＝[sin(‎2A＋45°)＋1]‎ ‎＝sin(‎2A＋45°)＋，‎ ‎∵0°＜A＜135°，‎ ‎∴45°＜‎2A＋45°＜315°，‎ 7‎ ‎∴－1≤sin(‎2A＋45°)≤1，‎ ‎∴cos Asin C∈.]‎ ‎3．已知向量a＝(4,5cos α)，b＝(3，－4tan α)，α∈，若a⊥b，则cos＝________.‎ ‎－　[因为a⊥b，所以4×3＋5cos α×(－4tan α)＝0，‎ 解得sin α＝.‎ 又因为α∈，所以cos α＝.‎ cos 2α＝1－2sin2α＝，sin 2α＝2sin αcos α＝，‎ 于是cos＝cos 2αcos－sin 2αsin ‎＝－.]‎ ‎4．函数f(x)＝的值域为________．‎ 　[f(x)＝＝ ‎＝2sin x(1＋sin x)‎ ‎＝22－，‎ 由1－sin x≠0得－1≤sin x＜1，‎ 所以f(x)＝的值域为.]‎ ‎5．已知函数f(x)＝a(cos2x＋sin xcos x)＋b.‎ ‎(1)当a＞0时，求f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)当a＜0且x∈时，f(x)的值域是[3,4]，求a，b的值. ‎ ‎【导学号：84352363】‎ ‎[解]　f(x)＝a·＋a·sin 2x＋b ‎＝sin＋＋b.‎ ‎(1)2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，即x∈，k 7‎ ‎∈Z，‎ 故f(x)的单调递增区间为，k∈Z.‎ ‎(2)0≤x≤，≤2x＋≤，‎ ‎－≤sin≤1，‎ f(x)min＝a＋b＝3，f(x)max＝b＝4，‎ ‎∴a＝2－2，b＝4.‎ 7‎