2020高中数学 专题强化训练4 新人教A版必修4

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文档介绍

2020高中数学 专题强化训练4 新人教A版必修4

专题强化训练(四)‎ ‎ (建议用时:45分钟)‎ ‎[学业达标练]‎ 一、选择题 ‎1.cos 555°的值为(  ) ‎ ‎【导学号:84352357】‎ A. B.- C. D. B [cos 555°=cos(360°+180°+15°)‎ ‎=-cos 15°‎ ‎=-cos(45°-30°)‎ ‎=- ‎=-.]‎ ‎2.sin αcos(α+30°)-cos αsin(α+30°)等于(  )‎ A.- B. C.- D. A [sin αcos(α+30°)-cos αsin(α+30°)=sin[α-(α+30°)]=sin(-30°)=-sin 30°=-.]‎ ‎3.已知α,β∈,sin α=,cos β=,则α-β等于(  ) ‎ ‎【导学号:84352358】‎ A.- B. C. D.-或 A [∵α∈,sin α=,‎ ‎∴cos α=,‎ ‎∵β∈,cos β=,‎ 7‎ ‎∴sin β=,‎ ‎∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β ‎=×-×=-,‎ 又α-β∈,∴α-β=-.]‎ ‎4.函数y=cos2+sin2-1是(  )‎ A.最小正周期为2π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为π的奇函数 D.最小正周期为2π的偶函数 C [y=+-1‎ ‎=cos-cos ‎= ‎=sin 2x,‎ ‎∴f(x)是最小正周期为π的奇函数.]‎ ‎5.设函数f(x)=cos2ωx+sin ωxcos ωx+a(其中ω>0,a∈R).且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标是,则ω的值为(  ) ‎ ‎【导学号:84352359】‎ A. B.- C.- D. A [f(x)=cos 2ωx+sin 2ωx++a ‎=sin++a,‎ 7‎ 依题意得2ω·+=⇒ω=.]‎ 二、填空题 ‎6.已知函数f(x)=sin(π-x)sin+cos2(π+x)-,则f=________.‎  [∵f(x)=sin xcos x+cos2x- ‎=sin 2x+·- ‎=sin,‎ ‎∴f=sin=cos=.]‎ ‎7.若α、β为锐角,且满足cos α=,cos(α+β)=,则sin β=________. ‎ ‎【导学号:84352360】‎  [∵α、β为锐角,∴α+β∈(0,π).‎ 由cos α=,求得sin α=,‎ 由cos(α+β)=求得sin(α+β)=,‎ ‎∴sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=×-×=.]‎ ‎8.若=2 018,则+tan 2α=________.‎ ‎2 018 [+tan 2α=+ ‎= ‎== ‎==2 018.]‎ 三、解答题 ‎9.已知α∈,sin α=.‎ 7‎ ‎(1)求sin的值;‎ ‎(2)求cos的值. ‎ ‎【导学号:84352361】‎ ‎[解] (1)因为α∈,sin α=,‎ 所以cos α=-=-.‎ 故sin=sincos α+cossin α ‎=×+×=-.‎ ‎(2)由(1)知sin 2α=2sin αcos α=2××=-,‎ cos 2α=1-2sin2α=1-2×2=,‎ 所以cos=coscos 2α+sinsin 2α ‎=×+× ‎=-.‎ ‎10.已知函数f(x)=sin x·(2cos x-sin x)+cos2x.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)若<α<,且f(α)=-,求sin 2α的值.‎ ‎[解] (1)因为f(x)=sin x·(2cos x-sin x)+cos2x,‎ 所以f(x)=sin 2x-sin2x+cos2x ‎=sin 2x+cos 2x=sin,‎ 所以函数f(x)的最小正周期是π.‎ ‎(2)f(α)=-,即sin=-,‎ sin=-.‎ 因为<α<,所以<2α+<,‎ 7‎ 所以cos=-,‎ 所以sin 2α=sin ‎=sin-cos=×-×=.‎ ‎[冲A挑战练]‎ ‎1.若(4tan α+1)(1-4tan β)=17,则tan(α-β)等于(  )‎ A.2     B.3 ‎ C.4     D.5‎ C [由已知得,4(tan α-tan β)=16(1+tan αtan β),‎ 即=4,‎ ‎∴tan(α-β)=4.]‎ ‎2.在△ABC中,若B=45°,则cos Asin C的取值范围是(  )‎ ‎ 【导学号:84352362】‎ A.[-1,1] B. C. D. B [∵B=45°,∴A+C=135°,C=135°-A,‎ ‎∴cos Asin C=cos Asin(135°-A)‎ ‎=cos A· ‎=cos‎2A+sin Acos A ‎=·+· ‎=(sin ‎2A+cos ‎2A+1)‎ ‎=[sin(‎2A+45°)+1]‎ ‎=sin(‎2A+45°)+,‎ ‎∵0°<A<135°,‎ ‎∴45°<‎2A+45°<315°,‎ 7‎ ‎∴-1≤sin(‎2A+45°)≤1,‎ ‎∴cos Asin C∈.]‎ ‎3.已知向量a=(4,5cos α),b=(3,-4tan α),α∈,若a⊥b,则cos=________.‎ ‎- [因为a⊥b,所以4×3+5cos α×(-4tan α)=0,‎ 解得sin α=.‎ 又因为α∈,所以cos α=.‎ cos 2α=1-2sin2α=,sin 2α=2sin αcos α=,‎ 于是cos=cos 2αcos-sin 2αsin ‎=-.]‎ ‎4.函数f(x)=的值域为________.‎  [f(x)== ‎=2sin x(1+sin x)‎ ‎=22-,‎ 由1-sin x≠0得-1≤sin x<1,‎ 所以f(x)=的值域为.]‎ ‎5.已知函数f(x)=a(cos2x+sin xcos x)+b.‎ ‎(1)当a>0时,求f(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)当a<0且x∈时,f(x)的值域是[3,4],求a,b的值. ‎ ‎【导学号:84352363】‎ ‎[解] f(x)=a·+a·sin 2x+b ‎=sin++b.‎ ‎(1)2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),即x∈,k 7‎ ‎∈Z,‎ 故f(x)的单调递增区间为,k∈Z.‎ ‎(2)0≤x≤,≤2x+≤,‎ ‎-≤sin≤1,‎ f(x)min=a+b=3,f(x)max=b=4,‎ ‎∴a=2-2,b=4.‎ 7‎
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