【数学】2020届一轮复习人教版（理）第7章第5讲直线、平面垂直的判定与性质作业

【数学】2020届一轮复习人教版（理）第7章第5讲直线、平面垂直的判定与性质作业

A组　基础关 ‎1．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是(　　)‎ A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥β D．AC⊥β 答案　D 解析　如图所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β，只有D不一定成立，故选D.‎ ‎2．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有(　　)‎ A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFH C．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF 答案　B 解析　根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，∴AH⊥平面EFH，B正确；∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴A不正确；∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，∴EF⊥平面HAG，又EF⊂平面AEF，∴平面HAG⊥AEF，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，∴C不正确；已证平面HAG ‎⊥平面AEF，若证HG⊥平面AEF，只需证HG⊥AG，已证AH⊥HG，故HG⊥AG不成立，所以HG与平面AEF不垂直，∴D不正确．故选B.‎ ‎3. 如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是(　　)‎ A．PB⊥AD B．平面PAB⊥平面PBC C．直线BC∥平面PAE D．直线PD与平面ABC所成的角为45°‎ 答案　D 解析　选项A，B，C显然错误．∵PA⊥平面ABC，∴∠PDA是直线PD与平面ABC所成的角．∵ABCDEF是正六边形，∴AD＝2AB.∵tan∠PDA＝＝＝1，∴直线PD与平面ABC所成的角为45°.故选D.‎ ‎4．(2017·江西南昌摸底)如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么点D在平面ABC内的射影H必在(　　)‎ A．直线AB上 B．直线BC上 C．直线AC上 D．△ABC内部 答案　A 解析　因为AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，所以AC⊥平面ABD，又AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABD，所以点D在平面ABC内的射影H必在直线AB上．故选A.‎ ‎5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为(　　)‎ A．－ B. C．－ D. 答案　B 解析　如图，延长BE与B1C1的延长线交于点F，‎ 连接FD1，‎ 因为E为C1C的中点，‎ 四边形BCC1B1是正方形，‎ 所以C1F＝B1C1＝BC，‎ 所以∠C1D1F＝∠C1D1B1＝45°，‎ 所以FD1⊥B1D1，易证FD1⊥平面BB1D1D.‎ 所以∠BFD1是直线BE与平面B1BD所成的角．‎ 设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则 D1F＝B1D1＝a.‎ BF＝＝a，‎ 所以sin∠BFD1＝＝＝.‎ ‎6．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为(　　)‎ A. B．1‎ C. D．2‎ 答案　A 解析　设B1F＝x，‎ 因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，‎ 所以AB1⊥DF.‎ 由已知可以得A1B1＝，‎ 矩形ABB1A1中，tan∠FDB1＝，‎ tan∠A1AB1＝＝.‎ 又∠FDB1＝∠A1AB1，所以＝.‎ 故B1F＝×＝.故选A.‎ ‎7．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，点E，F，G分别是线段DC，D1D和D1B上的动点，给出下列结论：‎ ‎①对于任意给定的点E，存在点F，使得AF⊥A1E；‎ ‎②对于任意给定的点F，存在点E，使得AF⊥A1E；‎ ‎③对于任意给定的点G，存在点F，使得AF⊥B1G；‎ ‎④对于任意给定的点F，存在点G，使得AF⊥B1G.‎ 其中正确结论的个数是(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ 答案　C 解析　因为DE⊥平面A1D，根据三垂线定理，对于任意给定的点E，A1E在平面A1D的射影为A1D，所以存在点F，使得AF⊥A1D，所以AF⊥A1E，①正确；如果对于任意给定的点F，存在点E，使得AF⊥A1E；那么AF⊥A1D，又AD1⊥A1D，得到过A有两条直线与A1D垂直，故②错误；只有AF垂直B1G在平面BCC1B1中的射影时，AF⊥B1G，所以当G位于D1B的上半部分时，在D1D上不存在F点，使AF垂直B1G在平面BCC1B1中的射影，③错误；对任意给定的点F，存在平面BCC1B1上的线段B1G′和AF垂直，且B1G′为B1G的投影，所以④正确，所以C正确．‎ ‎8．如图，平面ABC⊥平面BDC，∠BAC＝∠BDC＝90°，且AB＝AC＝a，则AD＝________.‎ 答案　a 解析　作BC中点E，连接AE，DE，则在Rt△ABC中，‎ AB＝AC＝a，由勾股定理得 BC＝2AE＝a，且有AE⊥BC，‎ 又平面ABC⊥平面BDC，平面ABC∩平面BDC＝BC且直线AE在平面ABC内，‎ ‎∴由面面垂直的性质定理得AE⊥平面BCD，‎ ‎∵DE⊂平面BCD内，∴AE⊥DE，‎ 又在Rt△BCD中，点E是BC的中点，‎ ‎∴DE＝＝a，‎ ‎∴在Rt△ADE中，AE＝a，‎ 由勾股定理得AD＝＝a.‎ ‎9．(2016·全国卷Ⅱ)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：‎ ‎①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；‎ ‎②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；‎ ‎③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；‎ ‎④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．‎ 其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)‎ 答案　②③④‎ 解析　对于①，由m⊥n，m⊥α可得n∥α或n在α内，当n∥β时，α与β可能相交，也可能平行，故①错误；对于②，过直线n作平面与平面α交于直线c，由n∥α可知n∥c，∵m⊥α，∴m⊥c，∴m⊥n，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；对于④‎ ‎，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有②③④.‎ ‎10．(2018·兰州实战考试)α，β是两平面，AB，CD是两条线段，已知α∩β＝EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一个条件，就能得出BD⊥EF.现有下列条件：①AC⊥β；②AC与α，β所成的角相等；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF.‎ 其中能成为增加条件的序号是________．‎ 答案　①③‎ 解析　由题意得，AB∥CD，∴A，B，C，D四点共面．‎ ‎①中，∵AC⊥β，EF⊂β，∴AC⊥EF，又∵AB⊥α，EF⊂α，∴AB⊥EF，∵AB∩AC＝A，∴EF⊥平面ABCD，‎ 又∵BD⊂平面ABCD，∴BD⊥EF，故正确；②不能得到BD⊥EF，故错误；③中，由AC与CD在β内的射影在同一条直线上可知平面ABCD⊥β，又AB⊥α，AB⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥α.∵平面ABCD⊥α，平面ABCD⊥β，α∩β＝EF，∴EF⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，∴BD⊥EF，故正确；④中，由①知，若BD⊥EF，则EF⊥平面ABCD，则EF⊥AC，故错误，故填①③.‎ B组　能力关 ‎1．(2018·静海月考)如图所示，三棱锥P－ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是(　　)‎ A．一条线段 B．一条直线 C．一个圆 D．一个圆，但要去掉两个点 答案　D 解析　∵平面PAC⊥平面PBC，而平面PAC∩平面PBC＝PC.‎ 又AC⊂平面PAC，且AC⊥PC，∴AC⊥平面PBC，‎ 而BC⊂平面PBC，∴AC⊥BC，∴点C在以AB为直径的圆上，‎ ‎∴点C的轨迹是一个圆，但是要去掉A和B两点．故选D.‎ ‎2．如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q 为A1B1上任意一点，E，F为CD上任意两点，且EF的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是(　　)‎ A．点P到平面QEF的距离 B．三棱锥P－QEF的体积 C．直线PQ与平面PEF所成的角 D．二面角P－EF－Q的大小 答案　C 解析　A中，因为平面QEF也就是平面A1B1CD，显然点P到平面A1B1CD的距离是定值，所以点P到平面QEF的距离为定值；B中，因为△QEF的面积是定值(EF为定长，点Q到EF的距离就是点Q到CD的距离，也是定长，即底和高都是定值)，再根据A的结论，即点P到平面QEF的距离也是定值，所以三棱锥P－QEF的高也是定值，于是其体积固定，所以三棱锥P－QEF的体积是定值；C中，因为Q是动点，PQ的长不固定，而Q到平面PEF的距离为定值，所以PQ与平面PEF所成的角不是定值；D中，因为A1B1∥CD，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上任意两点，所以二面角P－EF－Q的大小即为二面角P－CD－A1的大小，为定值．‎ ‎3．(2018·全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为(　　)‎ A. B． C． D． 答案　A 解析　根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AB1D1与线AA1，A1B1，A1D1所成的角是相等的，所以平面AB1D1与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面C1BD 也满足与正方体的每条棱所在的直线所成的角都是相等的，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面AB1D1与C1BD中间的，且过棱的中点的正六边形，边长为，所以其面积为S＝6××2＝，故选A.‎ ‎4．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA1＝4，过A1作底面ABC的垂线，垂足为BC的中点，D为B1C1的中点．‎ ‎(1)证明：A1D⊥平面A1BC；‎ ‎(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．‎ 解　(1)证明：如图，设E为BC的中点，连接AE，DE，A1E.‎ 由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE.‎ 因为AB＝AC，所以AE⊥BC.所以AE⊥平面A1BC.‎ 由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DE∥BB1，且DE＝BB1，从而DE∥AA1，且DE＝AA1，‎ 所以四边形AA1DE是平行四边形，所以A1D∥AE.‎ 又因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC.‎ ‎(2)如图，作A1F⊥DE，垂足为F，连接BF.‎ 因为A1E⊥平面ABC，所以BC⊥A1E.‎ 因为BC⊥AE，AE∩A1E＝E，‎ 所以BC⊥平面AA1DE.所以BC⊥A1F.‎ 又因为DE∩BC＝E，所以A1F⊥平面BB1C1C.‎ 所以∠A1BF为直线A1B与平面BB1C1C所成的角．‎ 由AB＝AC＝2，∠CAB＝90°，得EA＝EB＝.‎ 由A1E⊥平面ABC，得A1A＝A1B＝4，A1E＝.‎ 由DE＝BB1＝4，DA1＝EA＝，∠DA1E＝90°，‎ 得A1F＝.所以sin∠A1BF＝＝.‎ C组　素养关 ‎1．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1－BCDE.‎ ‎(1)证明：CD⊥平面A1OC；‎ ‎(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1－BCDE的体积为36，求a的值．‎ 解　(1)证明：在图1中，连接EC(图略)，‎ 因为AB＝BC＝AD＝a，∠BAD＝90°，AD∥BC，‎ E是AD的中点，‎ 所以四边形ABCE为正方形，‎ 所以BE⊥AC，‎ 即在图2中，BE⊥A1O，BE⊥OC，‎ 又A1O∩OC＝O，从而BE⊥平面A1OC，‎ 又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.‎ ‎(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，‎ 且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，‎ 又由(1)可知A1O⊥BE，‎ 所以A1O⊥平面BCDE，‎ 即A1O是四棱锥A1－BCDE的高，‎ 由图1知，A1O＝AB＝a，‎ 平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2，‎ 从而四棱锥A1－BCDE的体积 V＝×S×A1O＝×a2×a＝a3，‎ 由a3＝36，解得a＝6.‎ ‎2．如图，直角三角形ABC中，∠BAC＝60°，点F在斜边AB上，且AB＝4AF，D，E是平面ABC同一侧的两点，AD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，AD＝3，AC＝BE＝4.‎ ‎(1)求证：平面CDF⊥平面CEF；‎ ‎(2)点M在线段BC上，异面直线CF与EM所成角的余弦值为，求CM的长．‎ 解　(1)证明：连接DE.∵AD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，‎ ‎∴AD∥BE，即AD，BE在同一平面上，且AD⊥AB，BE⊥AB.‎ 在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝4，‎ ‎∴AB＝8，BC＝4.‎ ‎∵AB＝4AF，∴AF＝2，由余弦定理可得CF＝2.‎ ‎∵AD＝3，BE＝4，∴DE＝＝.‎ 在Rt△ADF中，DF＝＝.‎ 在Rt△ACD中，DC＝＝5.‎ 在Rt△BEF中，EF＝＝＝.‎ ‎∴DF2＋CF2＝DC2，DF2＋EF2＝DE2，‎ ‎∴DF⊥CF，DF⊥EF.又CF∩EF＝F，‎ ‎∴DF⊥平面CEF.∵DF⊂平面CDF，‎ ‎∴平面CDF⊥平面CEF.‎ ‎(2)过点M在平面ABC中作MN∥CF交AB于点N，连接EN，则∠EMN即为异面直线CF与EM所成的角或其补角．‎ 设＝k(0EN，∴cos∠EMN>0.‎ ‎∴cos∠EMN＝＝＝，‎ 解得k＝.‎ ‎∴CM＝(1－k)BC＝.‎