2020年江苏省高考数学试卷【word版本;可编辑;含答案】1

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2020年江苏省高考数学试卷【word版本;可编辑;含答案】1

‎2020年江苏省高考数学试卷 一、填空题 ‎1. 已知集合B=‎‎0,2,3‎,A=‎‎-1,0,1,2‎,则A∩B=‎________.‎ ‎2. 已知i是虚数单位,则复数z=(1+i)(2-i)‎的实部是________.‎ ‎3. 已知一组数据‎4‎,‎2a,‎3-a,‎5‎,‎6‎的平均数为‎4‎,则a的值是________.‎ ‎4. 将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷‎2‎次,观察向上的点数,则点数和为‎5‎的概率是________.‎ ‎5. 下图是一个算法流程图,若输出y值为‎-2‎,则输入x的值是________.‎ ‎6. 在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎‎5‎=1‎a>0‎的一条渐近线方程为y=‎5‎‎2‎x,则该双曲线的离心率是________.‎ ‎7. 已知y=f(x)‎是奇函数,当x≥0‎时,f(x)=‎x‎2‎‎3‎,则f(-8)‎的值是________.‎ ‎8. 已知sin‎2‎‎(π‎4‎+α)=‎‎2‎‎3‎,则sin2α的值是________.‎ ‎9. 如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为‎2cm,高为‎2cm,内孔半径为‎0.5cm,则此六角螺帽毛坯的体积是________cm‎2‎.‎ ‎10. 将函数y=3sin‎2x+‎π‎4‎的图象向右平移π‎6‎个单位长度,则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是________.‎ ‎11. 设‎{an}‎是公差为d的等差数列,‎{bn}‎是公比为q的等比数列.已知‎{an+bn}‎的前n项和Sn‎=n‎2‎-n+‎2‎n-1(n∈N‎*‎)‎,则d+q的值是________.‎ ‎12. 已知‎5x‎2‎y‎2‎+y‎4‎=1(x,y∈R)‎,则x‎2‎‎+‎y‎2‎的最小值是________.‎ ‎13. 在‎△ABC中,AB=4‎, AC=3‎, ‎∠BAC=‎‎90‎‎∘‎,D在边BC上,延长AD到P,使得AP=9‎.若PA‎→‎‎=mPB‎→‎+(‎3‎‎2‎-m)PC‎→‎(m为常数),则CD的长度是________.‎ ‎14. 在平面直角坐标系xOy中,已知P‎3‎‎2‎‎,0‎,A、B是圆C:x‎2‎+y-‎‎1‎‎2‎‎2‎=36‎上的两个动点,满足PA=PB,则‎△PAB面积的最大值是________.‎ 二、解答题 ‎15. 在三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎中, AB⊥AC,B‎1‎C⊥‎平面ABC,E,F分别是AC,B‎1‎C的中点.‎ ‎ 10 / 10‎ ‎(1)‎求证: EF//‎平面ABC‎1‎;‎ ‎(2)‎求证:平面AB‎1‎C⊥‎平面ABB‎1‎.‎ ‎16. 在‎△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知a=3‎ ,c=‎‎2‎ ,‎∠B=‎‎45‎‎∘‎.‎ ‎(1)‎求sinC的值;‎ ‎(2)‎在边BC上取一点D,使得cos∠ADC=-‎‎4‎‎5‎,求tan∠DAC的值.‎ ‎17. 某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底O在水平线MN上,桥AB与MN平行, OO‎'‎为铅垂线(O‎'‎在AB上).经测量,左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h‎1‎(米)与D到OO‎'‎的距离a ‎ 10 / 10‎ ‎(米)之间满足关系式h‎1‎‎=‎‎1‎‎40‎a‎2‎;右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h‎2‎ (米)与F到OO‎'‎的距离b(米)之间满足关系式h‎2‎‎=-‎1‎‎800‎b‎3‎+6b.已知点B到OO‎'‎的距离为‎40‎米.‎ ‎(1)‎求桥AB的长度;‎ ‎(2)‎计划在谷底两侧建造平行于OO‎'‎的桥墩CD和EF. 且CE为‎80‎米,其中C,E在AB上(不包括端点). 桥墩EF每米造价k(万元),桥墩CD每米造价‎3‎‎2‎k(万元)k>0‎,问O‎'‎E为多少米时,桥墩CD与EF的总造价最低?‎ ‎18. 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆E:x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎3‎=1‎的左、右焦点分别为F‎1‎,F‎2‎,点A在椭圆E上且在第一象限内,AF‎2‎⊥‎F‎1‎F‎2‎,直线AF‎1‎与椭圆E相交于另一点B.‎ ‎(1)‎求‎△AF‎1‎F‎2‎的周长;‎ ‎(2)‎在x轴上任取一点P,直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q,求OP‎→‎‎⋅‎QP‎→‎的最小值;‎ ‎(3)‎设点M在椭圆E上,记‎△OAB与‎△MAB的面积分别为S‎1‎,S‎2‎,若S‎2‎‎=3‎S‎1‎,求点M的坐标.‎ ‎ 10 / 10‎ ‎19. 已知关于x的函数y=fx ,y=gx与hx=kx+bk,b∈R在区间D上恒有fx≥hx≥gx.‎ ‎(1)‎若fx=x‎2‎+2x,gx=-x‎2‎+2x,D=‎‎-∞,+∞‎,求hx的表达式;‎ ‎(2)‎若fx=x‎2‎-x+1‎,gx=klnx,hx=kx-k,D=‎‎0,+∞‎,求k的取值范围;‎ ‎(3)‎若fx=x‎4‎-2‎x‎2‎,gx=4x‎2‎-8‎,hx=4t‎3‎‎-tx-3t‎4‎+2‎t‎2‎‎0<|t|≤‎‎2‎,D=m,n⊂‎‎-‎2‎,‎‎2‎,求证:n-m≤‎‎7‎.‎ ‎ 10 / 10‎ ‎20. 已知数列‎{an}(n∈N‎*‎)‎的首项a‎1‎‎=1‎,前n项和为Sn.设λ和k为常数,若对一切正整数n,均有Sn+1‎‎1‎k‎-Sn‎1‎k=λan+1‎‎1‎k成立,则称此数列为“λ-k”数列.‎ ‎(1)‎若等差数列是“λ-1‎”数列,求λ的值;‎ ‎(2)‎若数列‎{an}‎是“‎3‎‎3‎‎-2‎”数列,且an‎>0‎,求数列‎{an}‎的通项公式;‎ ‎(3)‎对于给定的λ,是否存在三个不同的数列‎{an}‎为“λ-3‎”数列,且an‎≥0‎?若存在,求出λ的取值范围;若不存在,说明理由.‎ ‎ 10 / 10‎ 参考答案与试题解析 ‎2020年江苏省高考数学试卷 一、填空题 ‎1.‎‎0,2‎ ‎2.‎‎3‎ ‎3.‎‎2‎ ‎4.‎‎1‎‎9‎ ‎5.‎‎-3‎ ‎6.‎‎3‎‎2‎ ‎7.‎‎-4‎ ‎8.‎‎1‎‎3‎ ‎9.‎‎12‎3‎-‎π‎2‎ ‎10.‎x=-‎‎5π‎24‎ ‎11.‎‎4‎ ‎12.‎‎4‎‎5‎ ‎13.‎‎18‎‎5‎ ‎14. ‎‎10‎‎5‎ 二、解答题 ‎15.证明:‎(1)‎因为E,F分别是AC,B‎1‎C的中点,‎ 所以EF//AB‎1‎.‎ 因为EF⊄‎平面AB‎1‎C‎1‎,AB‎1‎⊂‎平面ABC‎1‎,‎ 所以EF//‎平面ABC‎1‎.‎ ‎(2)‎因为B‎1‎C⊥‎平面ABC, AB⊂‎面ABC,‎ 所以B‎1‎C⊥AB,‎ 又因为AB⊥AC, AC∩B‎1‎C=C,AC⊂‎面AB‎1‎C,B‎1‎C⊂‎面AB‎1‎C,‎ 所以AB⊥‎面AB‎1‎C,‎ 因为AB⊂‎面ABB‎1‎,‎ 所以平面AB‎1‎C⊥‎平面ABB‎1‎.‎ ‎16.解:‎(1)‎由余弦定理,得cosB=cos‎45‎‎∘‎=a‎2‎‎+c‎2‎-‎b‎2‎‎2ac=‎11-‎b‎2‎‎6‎‎2‎=‎‎2‎‎2‎,‎ 因此b‎2‎‎=5‎,即b=‎‎5‎.‎ 由正弦定理csinC‎=‎bsinB,得 ‎2‎sinC‎=‎‎5‎‎2‎‎2‎,‎ 因此sinC=‎‎5‎‎5‎.‎ ‎(2)‎因为cos∠ADC=-‎‎4‎‎5‎ ,所以sin∠ADC=‎1-cos‎2‎∠ADC=‎‎3‎‎5‎,‎ 因为‎∠ADC∈‎π‎2‎‎, π,所以C∈(0, π‎2‎)‎,‎ 所以cosC=‎1-sin‎2‎∠C=‎‎2‎‎5‎‎5‎,‎ 所以sin∠DAC=sin(π-∠DAC)=sin(∠ADC+∠C)‎ ‎=sin∠ADCcosC+cos∠ADCsinC ‎=‎‎2‎‎5‎‎25‎‎.‎ 因为‎∠DAC∈(0, π‎2‎)‎,‎ ‎ 10 / 10‎ 所以cos∠DAC=‎1-sin‎2‎∠DAC=‎‎11‎‎5‎‎25‎,‎ 故tan∠DAC=sin∠DACcos∠DAC=‎‎2‎‎11‎ .‎ ‎17.解:‎(1)‎过A,B分别作MN的垂线,垂足为A‎1‎,B‎1‎,‎ 则AA‎1‎=BB‎1‎=-‎1‎‎800‎×‎40‎‎3‎+6×40=160‎.‎ 令‎1‎‎40‎a‎2‎‎=160‎,得a=80‎,‎ 所以AO‎'‎=80‎,‎ AB=AO‎'‎+BO‎'‎=80+40=120‎‎(米).‎ 故桥AB的长度为‎120‎米.‎ ‎(2)‎设O‎'‎E=x,则CO‎'‎=80-x,‎ 由‎00‎,所以令y‎'‎‎=0‎,得x=0‎或‎20‎,‎ 所以当‎00‎,y单调递增,‎ 所以,当x=20‎时,y取最小值‎155k,此时造价最低.‎ 答: O‎'‎E为‎20‎米时,桥墩CD与EF的总造价最低.‎ ‎18.解:‎(1)‎由题意知,‎△AF‎1‎F‎2‎的周长l=2a+2c=6‎.‎ ‎(2)‎由椭圆方程得A‎1,‎‎3‎‎2‎,‎ 设点Pt,0‎,则直线AP方程为y=‎‎3‎‎2‎‎1-tx-t.‎ 令x=a‎2‎c=4‎,得yQ‎=‎‎6-‎3‎‎2‎t‎1-t,‎ 即Q(4,‎12-3t‎2-2t)‎,则QP‎→‎‎=‎t-4,‎‎12-3t‎2t-2‎,‎ 所以OP‎→‎‎⋅QP‎→‎=t‎2‎-4t=t-2‎‎2‎-4≥-4‎,‎ 即OF‎→‎‎⋅‎QP‎→‎的最小值为‎-4‎.‎ ‎(3)‎设O到直线AB的距离为d‎1‎,M到直线AB的距离为d‎2‎.‎ 若S‎2‎‎=3‎S‎1‎,则‎1‎‎2‎‎×|AB|×d‎2‎=‎1‎‎2‎×|AB|×d‎1‎×3‎,‎ 即d‎2‎‎=3‎d‎1‎.‎ 由题意可得直线AB方程为y=‎‎3‎‎4‎x+1‎,即‎3x-4y+3=0‎,‎ 所以d‎1‎‎=‎3‎‎5‎,d‎2‎=‎‎9‎‎5‎.‎ 由题意得,M点应为与直线AB平行且距离为‎9‎‎5‎的直线与椭圆的交点.‎ 设平行于AB的直线l为‎3x-4y+m=0‎,与直线AB的距离为‎9‎‎5‎,‎ ‎ 10 / 10‎ 所以‎|m-3|‎‎9+16‎‎=‎‎9‎‎5‎,即m=-6‎或‎12‎.‎ 当m=-6‎时,直线l为‎3x-4y-6=0‎,即y=‎‎3‎‎4‎x-2‎.‎ 联立y=‎3‎‎4‎(x-2),‎x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1,‎可得‎(x-2)(7x+2)=0‎,‎ 即xM‎=2,‎yM‎=0,‎或xM‎=-‎2‎‎7‎,‎yM‎=-‎12‎‎7‎,‎ 所以M(2,0)‎或‎(-‎2‎‎7‎,-‎12‎‎7‎)‎.‎ 当m=12‎时,直线l为‎3x-4y+12=0‎,即y=‎‎3‎‎4‎x+4‎.‎ 联立y=‎3‎‎4‎(x+4),‎x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1,‎可得‎21‎‎4‎x‎2‎‎+18x+24=0‎,‎ Δ=9×(36-56)<0‎‎,所以无解.‎ 综上所述,M点坐标为‎2,0‎或‎-‎2‎‎7‎,-‎‎12‎‎7‎.‎ ‎19.‎(1)‎解:由fx=gx,得x=0‎,‎ f‎'‎x‎=2x+2‎‎,g‎'‎x‎=-2x+2‎,‎ 所以f‎'‎‎0‎‎=g‎'‎‎0‎=2‎,‎ 所以,函数hx的图像为过原点,斜率为‎2‎的直线,‎ 所以hx=2x,‎ 经检验:hx=2x符合题意.‎ ‎(2)‎解:hx-gx=kx-1-lnx,‎ 设φx=x-1-lnx,‎ 则φ‎'‎x‎=1-‎1‎x=‎x-1‎x,‎ 可得φx≥φ‎1‎=0‎,‎ 所以当hx-gx≥0‎时, k≥0‎.‎ 令p(x)=fx-hx=x‎2‎-x+1-‎kx-k ‎=x‎2‎-k+1‎x+‎1+k≥0‎‎,‎ 得当x=k+1≤0‎时,‎ fx在‎0,+∞‎上递增,‎ 所以px>p‎0‎=1+k≥0‎,‎ 所以k=-1‎;‎ 当k+1>0‎时, Δ≤0‎,‎ 即k+1‎‎2‎‎-4k+1‎≤0‎,‎ k+1‎k-3‎‎≤0‎‎,‎ ‎-10‎,‎ 令pn‎=(Sn+1‎Sn‎)‎‎1‎‎3‎>0‎,‎ 则‎(1-λ‎3‎)pn‎3‎-3pn‎2‎+3pn-(1-λ‎3‎)=0‎,‎ λ=1‎时,pn‎=‎pn‎2‎,由pn‎>0‎可得pn‎=1‎,‎ 则Sn+1‎‎=‎Sn,即an+1‎‎=0‎,‎ 此时‎{an}‎唯一,不存在三个不同的数列‎{an}‎;‎ λ≠1‎时,令t=‎‎3‎‎1-‎λ‎3‎,‎ 则pn‎3‎‎-tpn‎2‎+tpn-1=0‎,‎ 则‎(pn-1)[pn‎2‎+(1-t)pn+1]=0‎,‎ ‎①t≤1‎时,pn‎2‎‎+(1-t)pn+1>0‎,‎ 则pn‎=1‎,同理不存在三个不同的数列‎{an}‎;‎ ‎②‎13‎即‎0<λ<1‎时,Δ=(1-t‎)‎‎2‎-4>0‎,‎ pn‎2‎‎+(1-t)pn+1=0‎有两解α,β.‎ 设α<β,‎ α+β=t-1>2‎‎,αβ=1>0‎,‎ 则‎0<α<1<β,‎ 则对任意n∈‎N‎*‎,Sn+1‎Sn‎=1‎或Sn+1‎Sn‎=‎α‎3‎或Sn+1‎Sn‎=‎β‎3‎,‎ 此时Sn‎=1‎,Sn‎=‎‎1,n=1,‎α‎3‎‎,n≥2‎,Sn‎=‎‎1,n=1,2‎β‎3‎‎,n≥3‎均符合条件,‎ 对应an‎=‎‎1,n=1,‎‎0,n≥2‎,an‎=‎‎1,n=1,‎α‎3‎‎-1,n=2,‎‎0,n≥3‎,‎an‎=‎‎1,n=1,‎β‎3‎‎-1,n=3,‎‎0,n=2,n≥4,‎ 则存在三个不同的数列‎{an}‎为“λ-3‎”数列,且an‎≥0‎.‎ 综上,‎0<λ<1‎.‎ ‎ 10 / 10‎
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