高考数学人教A版（理）一轮复习：第五篇 第4讲 平面向量应用举例

高考数学人教A版（理）一轮复习：第五篇 第4讲 平面向量应用举例

第4讲 平面向量应用举例 A级　基础演练(时间：30分钟　满分：55分)‎ 一、选择题(每小题5分，共20分)‎ ‎1．已知a＝(1，sin2x)，b＝(2，sin 2x)，其中x∈(0，π)．若|a·b|＝|a||b|，则tan x的值等于 (　　)．‎ A．1 B．－1 C. D. 解析　由|a·b|＝|a||b|知，a∥b.‎ 所以sin 2x＝2sin2x，即2sin xcos x＝2sin2x，而x∈(0，π)，‎ 所以sin x＝cos x，即x＝，故tan x＝1.‎ 答案　A ‎2．(2013·九江模拟)若|a|＝2sin 15°，|b|＝4cos 15°，a与b的夹角为30°，则a·b的值是 (　　)．‎ A. B. C．2 D. 解析　a·b＝|a||b|cos 30°＝8sin 15°cos 15°×＝4×sin 30°×＝.‎ 答案　B ‎3.(2012·哈尔滨模拟)函数y＝tanx－的部分图象如图所示，则(＋)·＝ (　　)．‎ A．4 B．6‎ C．1 D．2‎ 解析　由条件可得B(3,1)，A(2,0)，‎ ‎∴(＋)·＝(＋)·(－)＝2－2＝10－4＝6.‎ 答案　B ‎4．在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝1，E，F为边BC的三等分点，则·＝ (　　)．‎ A. B. C. D. 解析　法一　依题意，不妨设＝E，＝2，‎ 则有－＝(－)，即＝＋；‎ －＝2(－)，即＝＋.‎ 所以·＝· ‎＝(2＋)·(＋2)‎ ‎＝(22＋22＋5·)‎ ‎＝(2×22＋2×12＋5×2×1×cos 60°)＝，选A.‎ 法二　由∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝1可得∠ACB＝90°，‎ 如图建立直角坐标系，则A(0,1)，E，F，‎ ‎∴·＝·＝·＋(－1)·(－1)＝＋1＝，选A.‎ 答案　A 二、填空题(每小题5分，共10分)‎ ‎5．(2013·温州适应性测试)在平行四边形ABCD中，已知AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点，则·＝________.‎ 解析　·＝·(＋)＝(＋)·(－)＝2－·－2＝1－×1×2cos 60°－×4＝－.‎ 答案　－ ‎6．(2013·东北三校一模)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(3b－c)cos A＝acos C，S△ABC＝，则·＝________.‎ 解析　依题意得(3sin B－sin C)cos A＝sin Acos C，‎ 即3sin Bcos A＝sin Acos C＋sin Ccos A＝sin(A＋C)＝sin B>0，‎ 于是有cos A＝，sin A＝＝，‎ 又S△ABC＝·bcsin A＝bc×＝，所以 bc＝3，·＝bccos(π－A)＝－bccos A＝－3×＝－1.‎ 答案　－1‎ 三、解答题(共25分)‎ ‎7．(12分)(2012·北京海淀模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若·＝·＝k(k∈R)．‎ ‎(1)判断△ABC的形状；‎ ‎(2)若c＝，求k的值．‎ 解　(1)∵·＝cbcos A，·＝cacos B，‎ 又·＝·，∴bccos A＝accos B，‎ ‎∴sin Bcos A＝sin Acos B，‎ 即sin Acos B－sin Bcos A＝0，∴sin(A－B)＝0，‎ ‎∵－π＜A－B＜π，∴A＝B，即△ABC为等腰三角形．‎ ‎(2)由(1)知，·＝bccos A＝bc·＝＝k，‎ ‎∵c＝，∴k＝1.‎ ‎8．(13分)已知A，B，C的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，α∈.‎ ‎(1)若||＝||，求角α的值；‎ ‎(2)若·＝－1，求的值．‎ 解　(1)∵＝(cos α－3，sin α)，＝(cos α，sin α－3)，‎ ‎∴2＝(cos α－3)2＋sin2α＝10－6cos α，‎ 2＝cos2α＋(sin α－3)2＝10－6sin α，‎ 由||＝||，可得2＝2，‎ 即10－6cos α＝10－6sin α，得sin α＝cos α.‎ 又α∈，∴α＝.‎ ‎(2)由·＝－1，‎ 得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1，‎ ‎∴sin α＋cos α＝.①‎ 又＝＝2sin αcos α.‎ 由①式两边分别平方，得1＋2sin αcos α＝，‎ ‎∴2sin αcos α＝－.‎ ‎∴＝－.‎ B级　能力突破(时间：30分钟　满分：45分)‎ 一、选择题(每小题5分，共10分)‎ ‎1．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对应的三角形的边长，若4a＋2b＋3c＝0，则cos B＝ (　　)．‎ A．－ B. ‎ C. D．－ 解析　由4a＋2b＋3c＝0，得 ‎4a＋3c＝－2b＝－2b(－)＝2b＋2b，‎ 所以4a＝3c＝2b.‎ 由余弦定理得cos B＝＝＝－.‎ 答案　A ‎2．(2013·郑州三模)△ABC的外接圆圆心为O，半径为2，＋＋＝0，且||＝||，则在方向上的投影为 (　　)．‎ A．1 B．2 C. D．3‎ 解析　如图，由题意可设D为BC的中点，由＋＋＝0，得＋2＝0，即＝2，∴A，O，D共线且||＝2||，又O为△ABC的外心，‎ ‎∴AO为BC的中垂线，‎ ‎∴||＝||＝||＝2，||＝1，‎ ‎∴||＝，∴在方向上的投影为.‎ 答案　C 二、填空题(每小题5分，共10分)‎ ‎3．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)，若a⊥b，则9x＋3y的最小值为________．‎ 解析　若a⊥b，则4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2.‎ ‎9x＋3y＝32x＋3y≥2×＝2×＝6.‎ 当且仅当x＝，y＝1时取得最小值．‎ 答案　6‎ ‎4．(2013·山西大学附中月考)已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上有极值，则a与b的夹角范围为________．‎ 解析　由题意得：f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b必有可变号零点，即Δ＝|a|2－4a·b>0，即4|b|2－8|b|2cos〈a，b〉>0，即－1≤cos〈a，b〉<.所以a与b的夹角范围为.‎ 答案　 三、解答题(共25分)‎ ‎5．(12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(2sin B，－)，n＝且m∥n.‎ ‎(1)求锐角B的大小；‎ ‎(2)如果b＝2，求S△ABC的最大值．‎ 解　(1)∵m∥n，∴2sin B＝－cos 2B，‎ ‎∴sin 2B＝－cos 2B，即tan 2B＝－.‎ 又B为锐角，∴2B∈(0，π)，∴2B＝，∴B＝.‎ ‎(2)∵B＝，b＝2，由余弦定理cos B＝，‎ 得a2＋c2－ac－4＝0.又a2＋c2≥2ac，代入上式，‎ 得ac≤4(当且仅当a＝c＝2时等号成立)．‎ S△ABC＝acsin B＝ac≤(当且仅当a＝c＝2时等号成立)，即S△ABC的最大值为.‎ ‎6．(13分)(2012·南通模拟)已知向量m＝，‎ n＝.‎ ‎(1)若m·n＝1，求cos的值；‎ ‎(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cos B＝bcos C，求函数f(A)的取值范围．‎ 解　(1)m·n＝sin ·cos ＋cos2 ‎＝sin ＋＝sin＋，‎ ‎∵m·n＝1，∴sin＝.‎ cos＝1－2sin2＝，‎ cos＝－cos＝－.‎ ‎(2)∵(2a－c)cos B＝bcos C，‎ 由正弦定理得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，‎ ‎∴2sin Acos B－sin Ccos B＝sin Bcos C.‎ ‎∴2sin Acos B＝sin(B＋C)．‎ ‎∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sin A≠0.‎ ‎∴cos B＝，∵0＜B＜π，∴B＝，∴0＜A＜.‎ ‎∴＜＋＜，sin∈.‎ 又∵f(x)＝sin＋，∴f(A)＝sin＋.‎ 故函数f(A)的取值范围是.‎ 特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.‎