2020届艺术生高考数学二轮复习课时训练:第三章 三角函数、解三角形 第6节

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2020届艺术生高考数学二轮复习课时训练:第三章 三角函数、解三角形 第6节

第三章 第6节 ‎1.(2020·莆田市二模)在△ABC中,BC=2,AB=4,cos C=-,则AC的值为(   )‎ A.2           B.3‎ C.4 D.5‎ 解析:B [△ABC中,a=BC=2,c=AB=4,cos C=-,∴c2=a2+b2-2abcos C,即16=4+b2-4b×,‎ 化简得b2+b-12=0,解得b=3或b=-4(不合题意,舍去),‎ ‎∴b=AC=3.故选B.]‎ ‎2.在△ABC中,若a=18,b=24,A=45°,则此三角形有(   )‎ A.无解 B.两解 C.一解 D.解的个数不确定 解析:B [∵=,∴sin B=sin A ‎=sin 45°,∴sin B=.‎ 又∵a<b,∴B有两个.]‎ ‎3.在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sin A=(  )‎ A. B. C. D. 解析:D [∵在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,∴AB=BC.‎ 由余弦定理得 AC= ‎= =BC,‎ 所以BC·BC=AB·AC·sin A=·BC·BC·sin A,‎ ‎∴sin A=,故选D.]‎ ‎4.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=2ccos A,c=2bcos A,‎ 则△ABC的形状为(  )‎ A.直角三角形 B.锐角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 解析:C [由正弦定理,得sin B=2sin Ccos A,sin C=2sin Bcos A,即sin(A+C)=2sin Ccos A=sin Acos C+cos Asin C,即sin Acos C-cos Asin C=0,所以sin (A-C)=0,A=C,同理可得A=B,所以三角形为等边三角形.故选C.]‎ ‎5.在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A=,a=3,S△ABC=2,则b的值为(  )‎ A.6 B.3‎ C.2 D.2或3‎ 解析:D [因为S△ABC=2=bcsin A,‎ 所以bc=6,又因为sin A=,所以cos A=,又a=3,由余弦定理得9=b2+c2-2bccos A=b2+c2-4,b2+c2=13,可得b=2或b=3.]‎ ‎6.有一解三角形的题目因纸张破损有一个条件不清,具体如下:在△ABC中,已知a=,2cos2=(-1)cos B,c= ________ ,求角A.(答案提示:A=60°,请将条件补充完整)‎ 解析:由题知1+cos(A+C)=(-1)cos B,所以1-cos B=(-1)cos B,解得cos B=,所以B=45°.‎ 又A=60°,所以C=75°.根据正弦定理,得=,解得c=.故应填.‎ 答案: ‎7.(2020·合肥市模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若A=45°,2bsin B-csin C=2asin A,且△ABC的面积等于3,则b= ________ .‎ 解析:∵A=45°,2bsin B-csin C=2asin A,‎ ‎∴由余弦定理可得:a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc,①‎ 由正弦定理可得:2b2-c2=‎2a2,②‎ 又S△ABC=bcsin A=3,即bc=6,③‎ 由①②③联立解得b=3.‎ 答案:3‎ ‎8.(2018·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为 ________ .‎ 解析:根据题意,结合正弦定理可得sin Bsin C+sin Csin B=4sin Asin Bsin C,即sin A=,‎ 结合余弦定理可得2bccos A=8,‎ 所以A为锐角,且cos A=,从而求得bc=,‎ 所以△ABC的面积为S=bcsin A=·· ‎=.‎ 答案: ‎9.(2020·渭南市模拟)已知f(x)=sin -cos x.‎ ‎(1)写出f(x)的最小正周期,并求f(x)的最小值;‎ ‎(2)已知 a、b、c 分别为△ABC的内角A、B、C的对边,b=5,cos A=且 f(B)=1,求边a的长.‎ 解:f(x)=sin -cos x=sin xcos +cos xsin -cos x=sin x+cos x ‎=sin ;‎ ‎(1)f(x)的最小正周期T==2π,‎ 当x+=-+2kπ,k∈Z,即x=-+2kπ,k∈Z时,f(x)取得最小值-1;‎ ‎(2)△ABC中,b=5,cos A=,‎ ‎∴sin A==;‎ 又 f(B)=1,∴sin =1,‎ ‎∴B+=,解得B=,‎ ‎∴=,=,‎ 解得a=8.‎ ‎10.(2020·浙江省名校协作体高三联考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=2,C=.‎ ‎(1)当2sin ‎2A+sin(2B+C)=sin C时,求△ABC的面积;‎ ‎(2)求△ABC周长的最大值.‎ 解:(1)由2sin ‎2A+sin(2B+C)=sin C得 ‎4sin Acos A-sin(B-A)=sin(A+B),‎ 得2sin Acos A=sin Bcos A,当cos A=0时,A=,B=,a=,b=,‎ 当cos A≠0时,sin B=2sin A,由正弦定理得b=‎2a,联立,解得a=,b=.故△ABC的面积为S△ABC=absin C=.‎ ‎(2)由余弦定理及已知条件可得:a2+b2-ab=4,‎ 由(a+b)2=4+3ab≤4+3×得a+b≤4,故△ABC周长的最大值为6,当且仅当三角形为正三角形时,等号成立.‎
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