2020届广东省佛山市高三教学质量检测（一）数学（理）科试题（解析版）

2020届广东省佛山市高三教学质量检测（一）数学（理）科试题（解析版）

‎2020年1月2日高中数学作业 一、单选题 ‎1．在复平面内，复数对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数除法法则化简复数为代数形式，再根据复数几何意义确定选项.‎ ‎【详解】‎ ‎，在复平面内对应的点为，位于第一象限.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查复数除法法则即有复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎2．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解一元二次不等式得集合A，解含绝对值不等式得集合B，再根据交集定义得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，或，所以 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查解一元二次不等式、解含绝对值不等式以及交集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎3．已知，且，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 举反例说明A,B,D错误，再根据单调性证明C成立.‎ ‎【详解】‎ 当时；‎ 当时；‎ 当时；‎ 因为函数在上单调递增，且，所以，即，即.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查利用单调性判断大小，考查基本分析判断解能力，属基础题.‎ ‎4．函数的图像向左平移一个单位长度，所得图像与关于轴对称，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求与关于轴对称函数解析式，再根据向右平移一个单位长度得结果.‎ ‎【详解】‎ 将的图象关于轴对称，得，再将其向右平移一个单位长度，再将其向右平移一个单位长度，得.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查根据函数图象变换求解析式，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎5．希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在1915年提出，先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为希尔宾斯基三角形）.在如图第3个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据几何概型概率求解.计算出第3个大正三角形中黑色区域的面积，再除以大正三角形面积得结果.‎ ‎【详解】‎ 设大正三角形面积为1，则黑色区域面积为 所以落在黑色区域的概率为.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查几何概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎6．已知等比数列满足，，则使得取得最大值的为（ ）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据条件相除求出等比数列公比，再代入求首项，即得等比数列通项公式，最后逐一验证得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，∴，，∴，∴，，，，，，，令 ，则，当时，，‎ 可知当时，取得最大值 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列通项公式及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎7．已知为锐角，，则（ ）‎ A． B． C．2 D．3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用半角公式（或二倍角公式）求得，再根据两角和正切公式求结果.‎ ‎【详解】‎ ‎∵为锐角，，∴，‎ 则，‎ ‎∴.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查半角公式以及两角和正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎8．已知双曲线：，为坐标原点，直线与双曲线 的两条渐近线交于，两点，若是边长为2的等边三角形，则双曲线的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据双曲线性质得，再根据渐近线求得，即得双曲线的方程.‎ ‎【详解】‎ 由图可知，，且一条渐近线的倾斜角为，所以，解得，所以双曲线的方程为.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的方程，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎9．地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是淸洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，2014年累计装机容量就突破了，达到，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图. 根据所给信息，正确的统计结论是（ ）‎ A．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值 B．10年来全球新增装机容量连年攀升 C．10年来中国新增装机容量平均超过 D．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先列表分析近10年全球风力发电新增装机容量，再结合数据研究单调性、平均值以及占比，即可作出选择.‎ ‎【详解】‎ 年份 ‎2009‎ ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ 累计装机容量 ‎158.1‎ ‎197.2‎ ‎237.8‎ ‎282.9‎ ‎318.7‎ ‎370.5‎ ‎434.3‎ ‎489.2‎ ‎542.7‎ ‎594.1‎ 新增装机容量 ‎39.1‎ ‎40.6‎ ‎45.1‎ ‎35.8‎ ‎51.8‎ ‎63.8‎ ‎54.9‎ ‎53.5‎ ‎51.4‎ 中国累计装机装机容量逐年递增，A错误；全球新增装机容量在2015年之后呈现下降趋势，B错误；经计算，10年来中国新增装机容量平均每年为，选项C错误；截止到2015年中国累计装机容量，全球累计装机容量，占比为，选项D正确.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查条形图，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎10．已知函数，且，则的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先构造函数，研究函数奇偶性，再利用导数研究其单调性，最后根据奇偶性与单调性化简不等式，解得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ 所以函数关于点对称，‎ ‎，‎ ‎∴函数单调递增.‎ 设，则为奇函数且单调递增，‎ 由，得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，‎ 解得或.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查函数奇偶性以及利用导数研究函数单调性，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ ‎11．已知函数，现给出如下结论：①是奇函数；②是周期函数；③在区间上有三个零点；④的最大值为2.其中正确结论的个数为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别根据函数奇偶性定义、周期定义、解方程、求最值确定各个选项是否正确.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ ‎∴是奇函数，①正确；‎ 的周期，，的周期，，‎ ‎∵，‎ 所以不是周期函数，②错误；‎ 令，得，‎ ‎∴，，或，，‎ 解得，或，‎ 又，或或，③正确；‎ 当时，，，‎ 当时，，，‎ ‎∵，‎ 即与不可能同时取得最大值1，故④错误.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查函数奇偶性、周期、函数零点以及函数最值，考查综合分析判断能力，属中档题.‎ ‎12．已知正三棱柱的侧棱长为4，底面边长为2，用一个平面截此棱柱，与侧棱，，分别交于点，，，若为直角三角形，则面积的最大值为（ ）‎ A．3 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设,根据勾股定理得,即得面积函数关系式,再根据导数求其单调性,最后根据单调性球最值.‎ ‎【详解】‎ 如图，不妨取点为点，设，，，‎ 不妨设，则，‎ 即，整理得：，‎ ‎∴，又∵，所以，‎ 解得.设的面积为，‎ 则，‎ 设，，则，‎ 可知函数在上单调递减，在上单调递增，‎ 又，，‎ 所以，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查利用函数单调性求最值以及列函数解析式，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ 二、填空题 ‎13．从进入决赛的名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有 种.（用数字作答）‎ ‎【答案】60‎ ‎【解析】‎ 分三步：第一步，一等奖有种可能的结果；第二步，二等奖有种可能的结果；第三步，三等奖有种可能的结果，故共有（种）可能的结果.‎ ‎【考点定位】组合问题 ‎14．在中，，，是边的垂直平分线上一点，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取中点，利用垂直关系转化所求数量积为，再利用基底表示得结果.‎ ‎【详解】‎ 取中点，连接，则，，‎ 所以 ‎.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量数量积，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎15．函数和的图象有公共点，且在点处的切线相同，则这条切线方程为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据导数几何意义列方程组，消得，再根据导数求其单调性，根据单调性确定其解，最后根据点斜式求切线方程.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 设切点的横坐标为，则根据题意可得，‎ 得，，‎ 设，则单调递增，又，‎ 所以方程有唯一解，‎ 所以切点为，切线斜率，切线方程为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数几何意义以及利用导数求方程的解，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ ‎16．在平面直角坐标系中，对曲线上任意一点，到直线的距离与该点到点的距离之和等于2，则曲线与轴的交点坐标是______；设点，则的最小值为______.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据条件列方程，再令解得与轴的交点坐标；根据绝对值定义化简讨论方程，再根据抛物线定义求最值.‎ ‎【详解】‎ 设，则根据题意可得，‎ 令，得，，‎ 所以曲线与轴的交点坐标是，‎ 当时，，得：，‎ 即点到点的距离与点到直线的距离相等，‎ 所以此时曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，‎ 如图（1），，‎ 当时，，得，‎ 即点到点的距离与点到直线的距离相等，‎ 所以此时曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，‎ 如图（2），，‎ 综上可知，的最小值为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查轨迹方程以及利用抛物线定义求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ 三、解答题 ‎17．绿水青山就是金山银山.近年来，祖国各地依托本地自然资源，打造旅游产业，旅游业正蓬勃发展.景区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念，合力使旅游市场走上规范有序且可持续的发展轨道.某景区有一个自愿消费的项目：在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走照片则需支付20元，没有被带走的照片会收集起来统一销毁.该项目运营一段吋间后，统计出平均只有三成的游客会选择带走照片，为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作了市场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价格每下调1元，游客选择带走照片的可能性平均增加0.05，假设平均每天约有5000人参观该特色景点，每张照片的综合成本为5元，假设每个游客是否购买照片相互独立.‎ ‎（1）若调整为支付10元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少？‎ ‎（2）要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价？‎ ‎【答案】（1）多10000元；（2）定价为13元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先根据概率分布求数学期望，再比较两个期望大小得结果；‎ ‎（2）先根据概率分布求数学期望函数关系式，再根据二次函数性质求最值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当收费为20元时，照片被带走的可能性为0.3，不被带走的可能性为0.7，设每个游客的利润为（元），则是随机变量，其分布列为：‎ ‎15‎ ‎－5‎ ‎0.3‎ ‎0.7‎ 元，则500个游客的平均利润为5000元；‎ 当收费为10元时，照片被带走的可能性为，不被带走的可能性为0.2，‎ 设每个游客的利润为（元），则是随机变量，其分布列为：‎ ‎5‎ ‎－5‎ ‎0.8‎ ‎0.2‎ 元，则500个游客的平均利润为15000元；‎ 该项目每天的平均利润比调整前多10000元.‎ ‎（2）设降价元，则，照片被带走的可能性为，‎ 不被带走的可能性为，‎ 设每个游客的利润为（元），则是随机变量，其分布列为：‎ ‎－5‎ ‎，‎ 当时，有最大值3.45元，‎ 即当定价为13元时，日平均利润为17250元.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查概率分布、数学期望以及利用二次函数性质求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ ‎18．在中，内角，，的对边分别为，，.已知.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）是线段上的点，若，，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先由正弦定理，化边为角，解得；‎ ‎（2）设，则，，利用正弦定理得，解得，再根据三角形面积公式求结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由正弦定理，得.‎ 则有，化简得：.‎ 即，∵，则.‎ ‎（2）设，，‎ 由题意得：，，，.‎ 在中，，则.‎ ‎∴，得.‎ 结合，可得，.‎ 则.‎ ‎∴.‎ 解法二：如图，在线段上取点，使得，连接，则，‎ 在中，，即，，‎ 在中，，即，，‎ 而，由∴，∴.‎ 此时，，‎ ‎，‎ ‎.‎ 解法三：由，得，整理得①，‎ 又由余弦定理可得②，‎ ‎①－②，得：，，∴.‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理以及三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎19．已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上，直线过椭圆的右焦点与上顶点，动直线：与椭圆交于，两点，交于点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知为坐标原点，若点满足，求此时的长度.‎ ‎【答案】（1）；（2）4或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先根据离心率以及点在椭圆上，列方程组解得结果；‎ ‎（2）先求直线的方程，再求点坐标，根据得点坐标，代入的方程，解得，最后代入点坐标，求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得，，结合，‎ 解得，，，‎ 故所求椭圆的方程为.‎ ‎（2）易知定直线的方程为.‎ 联立，整理得，解得，‎ 无妨令点的坐标为.‎ ‎∵，由对称性可知，点为的中点，‎ 故，‎ 又在直线：上，‎ 故，‎ 解得，，‎ 故点的坐标为或，‎ 所以或，‎ 所以的长度为4或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆方程以及椭圆弦长，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ ‎20．如图，三棱锥中，平面平面，，‎ ‎，点，分别是棱，的中点，点是的重心.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据三角形重心性质可得，根据三角形中位线性质得，再根据线面平行判定定理得平面，平面，最后根据面面平行判定定理以及性质得结果；‎ ‎（2）先根据面面垂直性质定理得平面，确定与平面所成的角，再根据条件建立空间直角坐标系，求出各点坐标，利用向量数量积得各面法向量，最后根据向量夹角公式得法向量夹角，即得二面角所成角.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）连接，连接并延长交于点，则点为的中点，‎ 从而点，，分别是棱，，的中点，‎ ‎∴，.‎ 又，平面，，平面，‎ ‎∴平面，平面.‎ 又，平面，，‎ ‎∴平面平面，‎ 又平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎（2）连接，∵，是的中点，∴，‎ ‎∵平面平面，平面平面，‎ 平面，平面.‎ 连接并延长交于点，则为的中点，‎ 连接，则，∴平面.‎ ‎∴为与平面所成的角，即.‎ 在中，设，则，，∴，.‎ ‎∴，，，‎ ‎∴，即，‎ 如图建立空间直角坐标系，‎ 则，，.‎ ‎∴，，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则，可取，‎ 又平面的一个法向量为，‎ 则，‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面平行判定定理、面面平行判定定理、面面垂直性质定理、线面角以及二面角，考查综合分析求证与求解能力，属中档题.‎ ‎21．已知函数，.‎ ‎（1）求的最小值；‎ ‎（2）证明：.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求导数，确定导函数零点，根据导函数符号确定函数单调性，进而确定函数最值；‎ ‎（2）先构造函数，再求导数，转化研究，利用导数可得，最后利用放缩得单调递增，根据单调性证得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），令，得，‎ 故在区间上，的唯一零点是，‎ 当时，，单调递减，‎ 当时，，单调递增，‎ 故在区间上，的极小值为，‎ 当时，，‎ 所以，的最小值为.‎ ‎（2）要证：时，，即证时，.‎ ‎，‎ 令，则，即是上的增函数，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∴.‎ 即是上的增函数，，‎ 故当时，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数求函数最值以及利用导数证明不等式，考查综合分析求证与求解能力，属较难题.‎ ‎22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）写出曲线的普通方程，并说明它表示什么曲线；‎ ‎（2）已知倾斜角互补的两条直线，，其中与交于，两点，与交于，两点，与交于点，求证：.‎ ‎【答案】（1），开口向右，焦点为的抛物线；（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据代入消元法得曲线的普通方程，根据方程特征确定曲线形状；‎ ‎（2）设直线方程参数方程形式，代入抛物线方程，根据参数几何意义得，同理可得，最后根据倾斜角关系证结论.‎ ‎【详解】‎ 由，得，代入，得，即，‎ ‎∴的普通方程为，表示开口向右，焦点为的抛物线.‎ ‎（2）设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，‎ 则直线的参数方程为（为参数），‎ 与联立得，‎ 设方程的两个解为，，则，‎ ‎∴，‎ 则，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查参数方程化普通方程以及利用直线参数方程证明，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.‎ ‎23．已知函数.‎ ‎（1）若，求的取值范围；‎ ‎（2）当时，函数的值域为，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）1或2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据绝对值定义化简不等式，即得结果；‎ ‎（2）先根据与大小关系分类讨论，再根据对应函数单调性确定最值，最后根据最值求参数.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），得，‎ 即，∴的取值范围是;‎ ‎（2）当时，函数在区间上单调递增，‎ 则，得，，得，‎ 当时，，‎ 则，得，‎ ‎，得.‎ 综上所述，的值为1或2.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查绝对值定义以及根据函数值域求参数，考查综合分析求解能力，属中档题.‎