【数学】2020届一轮复习（理）通用版6-3等比数列及其前n项和作业

【数学】2020届一轮复习（理）通用版6-3等比数列及其前n项和作业

‎6.3　等比数列及其前n项和 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测 热度 考题示例 考向 关联考点 ‎1.等比数列的通项公式与前n项和公式 ‎①理解等比数列的概念.‎ ‎②掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.‎ ‎③能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.‎ ‎④了解等比数列与指数函数的关系.‎ ‎2018课标Ⅲ,17,12分 等比数列的通项公式及前n项和公式 指数的运算 ‎★★★‎ ‎2017课标Ⅱ,3,5分 等比数列的前n项和公式 数学文化为背景的应用问题 ‎2016课标Ⅰ,15,5分 等比数列的通项公式 最值问题 ‎2.等比数列的性质 ‎2016课标Ⅲ,17,12分 等比数列的判定 由an与Sn的关系求数列的通项公式 ‎2015课标Ⅱ,4,5 分 ‎ 等比数列的通项公式 数列的概念及其表示 分析解读　　本节是高考的考查热点,主要考查等比数列的基本运算和性质,等比数列的通项公式和前n项和公式,尤其要注意以数学文化为背景的数列题,题型既有选择题、填空题,也有解答题.考查学生的数学运算和逻辑推理能力以及学生对函数与方程、转化与化归和分类讨论思想的应用.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点一　等比数列的通项公式与前n项和公式　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1.(2018河南开封一模,5)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且9S3=S6,a2=1,则a1=(　　)‎ A.‎1‎‎2‎　　　　B.‎2‎‎2‎　　　　C.‎2‎　　　　D.2‎ 答案　A　‎ ‎2.(2018陕西延安黄陵中学(重点班)第一次大检测,10)已知公比不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn,且满足a2,2a5,3a8成等差数列,则‎3‎S‎3‎S‎6‎=(　　)‎ A.‎13‎‎4‎　　　　B.‎13‎‎12‎　　　　C.‎9‎‎4‎　　　　D.‎‎11‎‎12‎ 答案　C　‎ ‎3(2018天津滨海新区七所重点学校联考,11)等比数列{an}中,各项都是正数,且a1,‎1‎‎2‎a3,2a2‎ 成等差数列,则a‎13‎‎+‎a‎14‎a‎14‎‎+‎a‎15‎=　　　　. ‎ 答案　‎2‎-1‎ 考点二　等比数列的性质 ‎1.(2018安徽马鞍山第二次教学质量监测,5)已知等比数列{an}满足a1=1,a3·a5=4(a4-1),则a7的值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.2　　　　B.4　　　　C.‎9‎‎2‎　　　　D.6‎ 答案　B　‎ ‎2.(2017福建4月模拟,6)已知递增的等比数列{an}的公比为q,其前n项和Sn<0,则(　　)‎ A.a1<0,01‎ C.a1>0,00,q>1‎ 答案　A　‎ ‎3.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S‎6‎S‎3‎=3,则S‎9‎S‎6‎等于(　　)‎ A.2　　　　B.‎7‎‎3‎　　　　C.‎8‎‎3‎　　　　D.3‎ 答案　B　 ‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法　等比数列的判定与证明 ‎1.下列结论正确的是(　　)‎ A.若数列{an}的前n项和Sn=n2+n+1,则{an}为等差数列 B.若数列{an}的前n项和Sn=2n-2,则{an}为等比数列 C.非零实数a,b,c不全相等,若a,b,c成等差数列,则‎1‎a,‎1‎b,‎1‎c也可能构成等差数列 D.非零实数a,b,c不全相等,若a,b,c成等比数列,则‎1‎a,‎1‎b,‎1‎c一定构成等比数列 答案　D　‎ ‎2.(2018河南信阳模拟,17)已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+λ(λ为常数).‎ ‎(1)试探究数列{an+λ}是不是等比数列,并求an;‎ ‎(2)当λ=1时,求数列{n(an+λ)}的前n项和Tn.‎ 解析　(1)因为an+1=2an+λ,所以an+1+λ=2(an+λ).‎ 又a1=1,‎ 所以当λ=-1时,a1+λ=0,数列{an+λ}不是等比数列,‎ 此时an+λ=an-1=0,即an=1;‎ 当λ≠-1时,a1+λ≠0,所以an+λ≠0,‎ 所以数列{an+λ}是以1+λ为首项,2为公比的等比数列,‎ 此时an+λ=(1+λ)2n-1,即an=(1+λ)2n-1-λ.‎ ‎(2)由(1)知an=2n-1,所以n(an+1)=n×2n,‎ Tn=2+2×22+3×23+…+n×2n①,‎ ‎2Tn=22+2×23+3×24+…+n×2n+1②,‎ ‎①-②得:-Tn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=‎2(1-‎2‎n)‎‎1-2‎-n×2n+1=2n+1-2-n×2n+1=(1-n)2n+1-2.‎ 所以Tn=(n-1)2n+1+2.‎ 过专题 ‎【五年高考】‎ A组　统一命题·课标卷题组 考点一　等比数列的通项公式与前n项和公式　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1.(2017课标Ⅱ,3,5分)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯(　　)‎ A.1盏　　　　B.3盏　　　　C.5盏　　　　D.9盏 答案　B　‎ ‎2.(2015课标Ⅱ,4,5分)已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=(　　)‎ A.21　　　　B.42　　　　C.63　　　　D.84‎ 答案　B　‎ ‎3.(2018课标Ⅲ,17,12分)等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm=63,求m.‎ 解析　(1)设{an}的公比为q,由题设得an=qn-1.‎ 由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2.‎ 故an=(-2)n-1或an=2n-1.‎ ‎(2)若an=(-2)n-1,则Sn=‎1-(-2‎‎)‎n‎3‎.‎ 由Sm=63得(-2)m=-188.此方程没有正整数解.‎ 若an=2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6.‎ 综上,m=6.‎ 考点二　等比数列的性质 ‎　(2016课标Ⅰ,15,5分)设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为　　　　. ‎ 答案　64‎ B组　自主命题·省(区、市)卷题组 考点一　等比数列的通项公式与前n项和公式 ‎1.(2018北京,4,5分)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于‎12‎‎2‎.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.‎3‎‎2‎f　　　　B.‎3‎‎2‎‎2‎f　　　　C.‎12‎‎2‎‎5‎f　　　　D.‎12‎‎2‎‎7‎f 答案　D　‎ ‎2.(2017江苏,9,5分)等比数列{an}的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3=‎7‎‎4‎,S6=‎63‎‎4‎,则a8=　　　　. ‎ 答案　32‎ 考点二　等比数列的性质 ‎1.(2016天津,5,5分)设{an}是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q<0”是“对任意的正整数n,a2n-1+a2n<0”的(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.充要条件　　　　B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件　　　　D.既不充分也不必要条件 答案　C　‎ ‎2.(2014广东,13,5分)若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+…+lna20=　　　　. ‎ 答案　50‎ C组　教师专用题组 考点一　等比数列的通项公式与前n项和公式 ‎1.(2014重庆,2,5分)对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.a1,a3,a9成等比数列　　　　B.a2,a3,a6成等比数列 C.a2,a4,a8成等比数列　　　　D.a3,a6,a9成等比数列 答案　D　‎ ‎2.(2013课标Ⅱ,3,5分,0.859)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,则 a1=(　　)‎ A.‎1‎‎3‎　　　　B.-‎1‎‎3‎　　　　C.‎1‎‎9‎　　　　D.-‎‎1‎‎9‎ 答案　C　‎ ‎3.(2012课标Ⅰ,5,5分)已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.7　　　　B.5　　　　C.-5　　　　D.-7‎ 答案　D　‎ ‎4.(2017北京,10,5分)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则a‎2‎b‎2‎=　　　　. ‎ 答案　1‎ ‎5.(2015湖南,14,5分)设Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an=　　　　. ‎ 答案　3n-1‎ ‎6.(2014天津,11,5分)设{an}是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为　　　　. ‎ 答案　-‎‎1‎‎2‎ ‎7.(2014安徽,12,5分)数列{an}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=　　　　. ‎ 答案　1‎ ‎8.(2016四川,19,12分)已知数列{an}的首项为1,Sn为数列{an}的前n项和,Sn+1=qSn+1,其中q>0,n∈N*.‎ ‎(1)若2a2,a3,a2+2成等差数列,求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设双曲线x2-y‎2‎an‎2‎=1的离心率为en,且e2=‎5‎‎3‎,证明:e1+e2+…+en>‎4‎n‎-‎‎3‎n‎3‎n-1‎.‎ 解析　(1)由已知,Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1,‎ 两式相减得到an+2=qan+1,n≥1.‎ 又由S2=qS1+1得到a2=qa1,‎ 故an+1=qan对所有n≥1都成立.‎ 所以,数列{an}是首项为1,公比为q的等比数列.‎ 从而an=qn-1.由2a2,a3,a2+2成等差数列,可得 ‎2a3=3a2+2,即2q2=3q+2,则(2q+1)(q-2)=0,‎ 由已知,q>0,故q=2.所以an=2n-1(n∈N*).‎ ‎(2)证明:由(1)可知,an=qn-1.‎ 所以双曲线x2-y‎2‎an‎2‎=1的离心率en=‎1+‎an‎2‎=‎1+‎q‎2(n-1)‎.‎ 由e2=‎1+‎q‎2‎=‎5‎‎3‎,解得q=‎4‎‎3‎.‎ 因为1+q2(k-1)>q2(k-1),所以‎1+‎q‎2(k-1)‎>qk-1(k∈N*).‎ 于是e1+e2+…+en>1+q+…+qn-1=qn‎-1‎q-1‎,‎ 故e1+e2+…+en>‎4‎n‎-‎‎3‎n‎3‎n-1‎.‎ ‎9.(2015江苏,20,16分)设a1,a2,a3,a4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列.‎ ‎(1)证明:‎2‎a‎1‎,‎2‎a‎2‎,‎2‎a‎3‎,‎2‎a‎4‎依次构成等比数列;‎ ‎(2)是否存在a1,d,使得a1,a‎2‎‎2‎,a‎3‎‎3‎,a‎4‎‎4‎依次构成等比数列?并说明理由;‎ ‎(3)是否存在a1,d及正整数n,k,使得a‎1‎n,a‎2‎n+k,a‎3‎n+2k,a‎4‎n+3k依次构成等比数列?并说明理由.‎ 解析　(1)证明:因为‎2‎an+1‎‎2‎an=‎2‎an+1‎‎-‎an=2d(n=1,2,3)是同一个常数,所以‎2‎a‎1‎,‎2‎a‎2‎,‎2‎a‎3‎,‎2‎a‎4‎依次构成等比数列.‎ ‎(2)令a1+d=a,则a1,a2,a3,a4分别为a-d,a,a+d,a+2d(a>d,a>-2d,d≠0).‎ 假设存在a1,d,使得a1,a‎2‎‎2‎,a‎3‎‎3‎,a‎4‎‎4‎依次构成等比数列,‎ 则a4=(a-d)(a+d)3,且(a+d)6=a2(a+2d)4.‎ 令t=da,则1=(1-t)(1+t)3,‎ 且(1+t)6=(1+2t)4‎-‎1‎‎2‎-‎1‎‎3‎,t≠0‎,‎ 则(1+2t)n+2k=(1+t)2(n+k),且(1+t)n+k(1+3t)n+3k=(1+2t)2(n+2k).‎ 将上述两个等式两边取对数,得(n+2k)ln(1+2t)=2(n+k)·ln(1+t),‎ 且(n+k)ln(1+t)+(n+3k)ln(1+3t)=2(n+2k)ln(1+2t).‎ 化简得2k[ln(1+2t)-ln(1+t)]=n[2ln(1+t)-ln(1+2t)],‎ 且3k[ln(1+3t)-ln(1+t)]=n[3ln(1+t)-ln(1+3t)].‎ 再将这两式相除,化简得ln(1+3t)ln(1+2t)+3ln(1+2t)ln(1+t)=4ln(1+3t)ln(1+t)(**).‎ 令g(t)=4ln(1+3t)ln(1+t)-ln(1+3t)ln(1+2t)-3ln(1+2t)·ln(1+t),‎ 则g'(t)=‎ ‎2[(1+3t‎)‎‎2‎ln(1+3t)-3(1+2t‎)‎‎2‎ln(1+2t)+3(1+t‎)‎‎2‎ln(1+t)]‎‎(1+t)(1+2t)(1+3t)‎‎.‎ 令φ(t)=(1+3t)2ln(1+3t)-3(1+2t)2ln(1+2t)+3(1+t)2·ln(1+t),‎ 则φ'(t)=6[(1+3t)ln(1+3t)-2(1+2t)ln(1+2t)+(1+t)·ln(1+t)].‎ 令φ1(t)=φ'(t),则φ'1(t)=6[3ln(1+3t)-4ln(1+2t)+ln(1+t)].‎ 令φ2(t)=φ'1(t),则φ'2(t)=‎12‎‎(1+t)(1+2t)(1+3t)‎>0.‎ 由g(0)=φ(0)=φ1(0)=φ2(0)=0,φ'2(t)>0,‎ 知φ2(t),φ1(t),φ(t),g(t)在‎-‎1‎‎3‎,0‎和(0,+∞)上均单调.‎ 故g(t)只有唯一零点t=0,即方程(**)只有唯一解t=0,故假设不成立.‎ 所以不存在a1,d及正整数n,k,使得a‎1‎n,a‎2‎n+k,a‎3‎n+2k,a‎4‎n+3k依次构成等比数列.‎ 评析　本题考查等差数列的定义、等比数列的运算和综合应用,考查演绎推理、直接证明、间接证明等逻辑思维能力.‎ ‎10.(2015山东,18,12分)设数列{an}的前n项和为Sn.已知2Sn=3n+3.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)若数列{bn}满足anbn=log3an,求{bn}的前n项和Tn.‎ 解析　(1)因为2Sn=3n+3,所以2a1=3+3,故a1=3,‎ 当n>1时,2Sn-1=3n-1+3,‎ 此时2an=2Sn-2Sn-1=3n-3n-1=2×3n-1,即an=3n-1,‎ 所以an=‎‎3,‎n=1,‎‎3‎n-1‎‎,‎n>1.‎ ‎(2)因为anbn=log3an,所以b1=‎1‎‎3‎,‎ 当n>1时,bn=31-nlog33n-1=(n-1)·31-n.‎ 所以T1=b1=‎1‎‎3‎;‎ 当n>1时,‎ Tn=b1+b2+b3+…+bn=‎1‎‎3‎+[1×3-1+2×3-2+…+(n-1)×31-n],‎ 所以3Tn=1+[1×30+2×3-1+…+(n-1)×32-n],‎ 两式相减,得 ‎2Tn=‎2‎‎3‎+(30+3-1+3-2+…+32-n)-(n-1)×31-n ‎=‎2‎‎3‎+‎1-‎‎3‎‎1-n‎1-‎‎3‎‎-1‎-(n-1)×31-n=‎13‎‎6‎-‎6n+3‎‎2×‎‎3‎n,‎ 所以Tn=‎13‎‎12‎-‎6n+3‎‎4×‎‎3‎n(n>1).‎ 经检验,n=1时也适合.‎ 综上可得Tn=‎13‎‎12‎-‎6n+3‎‎4×‎‎3‎n(n∈N*).‎ ‎11.(2014课标Ⅱ,17,12分,0.299)已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.‎ ‎(1)证明an‎+‎‎1‎‎2‎是等比数列,并求{an}的通项公式;‎ ‎(2)证明‎1‎a‎1‎+‎1‎a‎2‎+…+‎1‎an<‎3‎‎2‎.‎ 解析　(1)由an+1=3an+1得an+1+‎1‎‎2‎=3an‎+‎‎1‎‎2‎.‎ 又a1+‎1‎‎2‎=‎3‎‎2‎,‎ 所以an‎+‎‎1‎‎2‎是首项为‎3‎‎2‎,公比为3的等比数列.‎ an+‎1‎‎2‎=‎3‎n‎2‎,因此{an}的通项公式为an=‎3‎n‎-1‎‎2‎.‎ ‎(2)由(1)知‎1‎an=‎2‎‎3‎n‎-1‎.‎ 因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,‎ 所以‎1‎‎3‎n‎-1‎≤‎1‎‎2×‎‎3‎n-1‎.‎ 于是‎1‎a‎1‎+‎1‎a‎2‎+…+‎1‎an≤1+‎1‎‎3‎+…+‎1‎‎3‎n-1‎=‎3‎‎2‎‎1-‎‎1‎‎3‎n<‎3‎‎2‎.‎ 所以‎1‎a‎1‎+‎1‎a‎2‎+…+‎1‎an<‎3‎‎2‎.‎ 评析　本题考查了等比数列的定义、数列求和等问题,放缩法求和是本题的难点.‎ 考点二　等比数列的性质 ‎1.(2018浙江,10,4分)已知a1,a2,a3,a4成等比数列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a1>1,则(　　)‎ A.a1a3,a2a4　　　　D.a1>a3,a2>a4‎ 答案　B　‎ ‎2.(2014大纲全国,10,5分)等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则数列{lgan}的前8项和等于(　　)‎ A.6　　　　B.5　　　　C.4　　　　D.3‎ 答案　C　‎ ‎3.(2015安徽,14,5分)已知数列{an}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列{an}的前n项和等于　　　　. ‎ 答案　2n-1‎ ‎4.(2014江苏,7,5分)在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是　　　　. ‎ 答案　4‎ ‎【三年模拟】‎ 一、选择题(每小题5分,共35分)‎ ‎1.(2019届山东济南第一中学高三期中考试,7)在等比数列{an}中,若a3,a7是方程x2+4x+2=0的两根,则a5的值是(　　)‎ A.-2　　　　B.-‎2‎　　　　C.±‎2‎　　　　D.‎‎2‎ 答案　B　‎ ‎2.(2019届安徽黄山11月“八校联考”,7)设Sn是等比数列{an}的前n项和,S4=5S2,则a‎5‎‎2‎a‎3‎a‎8‎的值为(　　)‎ A.±‎1‎‎2‎　　　　B.±2　　　　C.±2或-1　　　　D.±‎1‎‎2‎或-1‎ 答案　D　‎ ‎3.(2018河南新乡二模,6)在公比为q的正项等比数列{an}中,a4=4,则当2a2+a6取得最小值时,log2q=(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.‎1‎‎4‎　　　　B.-‎1‎‎4‎　　　　C.‎1‎‎8‎　　　　D.-‎‎1‎‎8‎ 答案　A　‎ ‎4.(2018福建厦门模拟,8)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2n+1+λ,则λ=(　　)‎ A.-2　　　　B.-1　　　　C.1　　　　D.2‎ 答案　A　‎ ‎5.(2018山东实验中学诊断测试,7)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗,羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说:“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还,他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人应偿还a升,b升,c升,1斗为10升,则下列判断正确的是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.a,b,c依次成公比为2的等比数列,且a=‎‎50‎‎7‎ B.a,b,c依次成公比为2的等比数列,且c=‎‎50‎‎7‎ C.a,b,c依次成公比为‎1‎‎2‎的等比数列,且a=‎‎50‎‎7‎ D.a,b,c依次成公比为‎1‎‎2‎的等比数列,且c=‎‎50‎‎7‎ 答案　D　‎ ‎6.(2017湖北六校联合体4月模拟,10)在数列{an}中,a1=1,an+1=2an,则Sn=a‎1‎‎2‎-a‎2‎‎2‎+a‎3‎‎2‎-a‎4‎‎2‎+…+a‎2n-1‎‎2‎-a‎2n‎2‎等于(　　)‎ A.‎1‎‎3‎(2n-1)　　　　B.‎1‎‎5‎(1-24n)‎ C.‎1‎‎3‎(4n-1)　　　　D.‎1‎‎3‎(1-2n)‎ 答案　B　‎ ‎7.(2018湖南湘潭三模,9)已知等比数列{an}的前n项积为Tn,若a1=-24,a4=-‎8‎‎9‎,则当Tn 取最大值时,n的值为(　　)‎ A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.6‎ 答案　C　‎ 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎8.(2019届河北衡水中学高三第一次摸底考试,14)已知数列{an},若数列{3n-1an}的前n项和Tn=‎1‎‎5‎×6n-‎1‎‎5‎,则a5的值为　　　　. ‎ 答案　16‎ ‎9.(2019届广东化州高三第一次模拟考试,16)已知函数f(x)=exex‎+1‎,数列{an}为等比数列,an>0,a1010=1,则f(lna1)+f(lna3)+…+f(lna2019)=　　　　. ‎ 答案　‎‎2019‎‎2‎ ‎10.(2017江西仿真模拟,16)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足:a1=1,a2=2,Sn+1=an+2-an+1(n∈N*),若不等式λSn>an恒成立,则实数λ的取值范围是　　　　. ‎ 答案　(1,+∞)‎ 三、解答题(共25分)‎ ‎11.(2019届江西九江高三第一次十校联考,20)已知数列{an}满足an+1-an-1=2(an+an-1)(n≥2),a1=1,a2=7,令bn=an+1+an.‎ ‎(1)求证数列{bn}为等比数列,并求{bn}的通项公式;‎ ‎(2)求数列{an}的前n项和Sn.‎ 解析　(1)∵an+1-an-1=2(an+an-1)(n≥2),‎ ‎∴an+1+an=3(an+an-1).‎ ‎∵bn=an+1+an,‎ ‎∴bn=3bn-1(n≥2),又b1=a2+a1=8≠0,‎ ‎∴数列{bn}是首项为8,公比为3的等比数列,‎ ‎∴bn=8·3n-1(n∈N*).‎ ‎(2)当n为正偶数时,Sn=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(an-1+an)=b1+b3+…+bn-1=‎8(1-‎9‎n‎2‎)‎‎1-9‎=3n-1.‎ 当n为正奇数时,‎ Sn=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(an-1+an)‎ ‎=1+b2+b4+…+bn-1‎ ‎=1+‎‎24(1-‎9‎n-1‎‎2‎)‎‎1-9‎ ‎=3n-2.‎ ‎∴Sn=‎‎3‎n‎-1,n为正偶数,‎‎3‎n‎-2,n为正奇数.‎ 解后反思　(1)证明数列为等比数列时,在运用定义证明的同时还要说明数列中不存在等于零的项,这一点容易被忽视.‎ ‎(2)数列求和时要根据数列通项公式的特点,选择合适的方法进行求解,求解时要注意确定数列的项数.‎ ‎12.(2018湖南郴州第二次教学质量检测,17)已知在等比数列{an}中,a1=1,且a1,a2,a3-1成等差数列.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若数列{bn}满足bn=2n-1+an(n∈N*),数列{bn}的前n项和为Sn,试比较Sn与n2+2n的大小.‎ 解析　(1)设等比数列{an}的公比为q,‎ ‎∵a1,a2,a3-1成等差数列,‎ ‎∴2a2=a1+(a3-1)=a3,∴q=a‎3‎a‎2‎=2,‎ ‎∴an=a1qn-1=2n-1(n∈N*).‎ ‎(2)由(1)知bn=2n-1+an=2n-1+2n-1,‎ ‎∴Sn=(1+1)+(3+2)+(5+22)+…+(2n-1+2n-1)‎ ‎=[1+3+5+…+(2n-1)]+(1+2+22+…+2n-1)‎ ‎=‎1+(2n-1)‎‎2‎·n+‎1-‎‎2‎n‎1-2‎=n2+2n-1.‎ ‎∵Sn-(n2+2n)=-1<0,∴Sn

查看更多