【数学】2020届一轮复习（文理合用）高考大题规范解答系列3数列作业

【数学】2020届一轮复习（文理合用）高考大题规范解答系列3数列作业

对应学生用书[练案38理][练案37文]‎ 高考大题规范解答系列(三)——数列 ‎1．已知数列{an}为递增的等比数列，a1·a4＝8，a2＋a3＝6．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)记bn＝an＋log2an＋1，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎[解析]　(1)由a1·a4＝a2·a3＝8及a2＋a3＝6，‎ 得，或(舍)，‎ 所以＝q＝2，a1＝1，所以an＝a1qn－1＝2n－1．‎ ‎(2)由(1)得bn＝an＋log2an＋1＝2n－1＋n，‎ 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn ‎＝(20＋21＋…＋2n－1)＋(1＋2＋…＋n)‎ ‎＝＋＝2n－1＋．‎ ‎[方法点拨]　本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和．分组转化法求和的常见类型主要有分段型(如an＝)，符号型(如an＝(－1)nn2)，周期型(如an＝sin)．‎ ‎2．已知{an}是等比数列，满足a2＝6，a3＝－18，数列{bn}满足b1＝2，且{2bn＋an}是公差为2的等差数列．‎ ‎(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎(2)求数列{bn}的前n项和．‎ ‎[解析]　(1)设数列{an}的公比为q，则 解得a1＝－2，q＝－3，‎ 所以，an＝－2×(－3)n－1，‎ 令cn＝2bn＋an，则c1＝2b1＋a1＝2，‎ cn＝2＋(n－1)×2＝2n，‎ bn＝＝n＋(－3)n－1．‎ ‎(2)Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝(1＋2＋…＋n)＋(1＋(－3)＋(－3)2＋…＋(－3)n－1)＝＋．‎ ‎3．已知数列{an}，满足a1＝1，an＋1＝，n∈N*．‎ ‎(1)求证：数列{}为等差数列；‎ ‎(2)设T2n＝－＋－＋…＋－，求T2n．‎ ‎[分析]　本题考查等差数列、数列求和的综合应用．‎ ‎(1)利用等差数列的定义证明；(2)利用等差数列的定义、求和公式求解．‎ ‎[解析]　(1)证明：由an＋1＝，‎ 得＝＝＋，‎ ‎∴－＝，且＝1，‎ ‎∴数列{}是首项为1，公差为的等差数列．‎ ‎(2)设bn＝－ ‎＝(－)，n∈N*，‎ 由(1)得数列{}是公差为的等差数列，‎ ‎∴－＝－，‎ 即bn＝(－)＝－·，n∈N*，‎ ‎∴bn＋1－bn＝－(－)＝－×＝－，‎ 且b1＝－×＝－×(＋)＝－，‎ ‎∴数列{bn}是首项为－，公差为－的等差数列，‎ ‎∴T2n＝b1＋b2＋…＋bn＝－n＋×(－)＝－(2n2＋3n)．‎ ‎4．已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn＝3an－1．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)求数列{}的前n项和Tn．‎ ‎[解析]　(1)当n＝1时，2S1＝3a1－1，得a1＝1．‎ 当n≥2时，2Sn－1＝3an－1－1，将2Sn＝3an－1与2Sn＝3an－1－1等式左右两边分别相减得2an＝3an－3an－1，‎ 即an＝3an－1，又因为a1＝1，所以{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，所以an＝3n－1．‎ ‎(2)由(1)得＝，‎ ‎∴Tn＝1＋＋＋…＋＋，①‎ ‎3Tn＝3＋3＋＋…＋＋，②‎ ‎②－①得2Tn＝3＋2＋＋＋…＋－ ‎＝3＋2×－＝6－，∴Tn＝3－．‎ ‎5．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2Sn＋1，其中Sn为{an}的前n项和，n∈N*．‎ ‎(1)求an；‎ ‎(2)若数列{bn}满足bn＝，{bn}的前n项和为Tn，且对任意的正整数n都有Tn0，且λ>0，所以an＋1－an＝．‎ 由①知，S2＋S1＝λa，即2a1＋a2＝λa，‎ 又因为a1＝，所以a2＝，‎ 所以a2－a1＝．‎ 故an＋1－an＝(n∈N*)，所以数列{an}是首项为，公差为的等差数列．‎ 所以an＝＋(n－1)·＝．‎ ‎(2)由(1)得an＝，所以bn＝n·λn－1，‎ 所以Tn＝1＋2λ＋3λ2＋……＋(n－1)λn－2＋nλn－1， ③‎ λTn＝λ＋2λ2＋3λ3＋…＋(n－1)λn－1＋nλn， ④‎ ‎③－④得(1－λ)Tn＝1＋λ＋λ2＋…＋λn－1－nλn，‎ 当λ>0且λ≠1时，(1－λ)Tn＝－nλn．‎ 解得Tn＝－；‎ 当λ＝1时，由③得Tn＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n＝＝；‎ 综上，数列{bn}的前n项和 Tn＝．‎