【数学】2020届一轮复习人教A版 柯西不等式与排序不等式 课时作业

【数学】2020届一轮复习人教A版 柯西不等式与排序不等式 课时作业

‎2020届一轮复习人教A版 柯西不等式与排序不等式 课时作业 ‎ 1、在平面内，已知向量，，，若非负实数满足，且，则（ ）‎ A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 ‎2、设a、b、c、x、y、z是正数，且，，，‎ 则＝(　　)‎ A. B. C. D. 3、若函数的图象上存在不同的两点，其中使得的最大值为0，则称函数是“柯西函数”.给出下列函数：‎ ‎①； ②；‎ ‎③； ④.‎ 其中是“柯西函数”的为__________（填上所有正确答案的序号）．‎ ‎4、若函数的图象上存在不同的两点，，其中使得的最大值为0，则称函数是“柯西函数”．给出下列函数：‎ ‎①； ②；‎ ‎③； ④.‎ 其中是“柯西函数”的为 ___．（填上所有正确答案的序号）‎ ‎5、设，，，则的最大值为 ．‎ ‎6、已知函数f（a，x）=sinx+=cosx随着a，x在定义域内变化时，该函数的最大值为______‎ ‎7、若函数的图象上存在不同的两点，，其中使得 的最大值为0，则称函数是“柯西函数”．给出下列函数：‎ ‎①； ②；‎ ‎③； ④.‎ 其中是“柯西函数”的为 ___．（填上所有正确答案的序号） 8、已知x，y，z均为正数，且，求证：.‎ ‎9、函数，其最小值为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）正实数满足，求证：.‎ ‎10、已知，，求证:.‎ ‎11、已知均为实数.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求的最小值.‎ ‎12、已知、、均为正实数.‎ ‎（Ⅰ）若，求证：‎ ‎（Ⅱ）若，求证：.‎ ‎13、已知，，且.‎ ‎(1)若恒成立，求的取值范围；‎ ‎(2)证明：.‎ ‎14、已知为正数，函数 ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若的最小值为，且，求证：‎ ‎15、已知正数x，y，z满足.‎ ‎(1)求的最大值；‎ ‎(2)若不等式对满足条件的恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎16、已知正数满足，求的最小值.‎ ‎17、已知函数．‎ ‎（1）求的值域；‎ ‎（2）若的最大值为，已知均为正实数，且，求证：．‎ ‎18、已知，，，函数的最小值为.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)证明：.‎ ‎19、已知函数,且的解集为.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若为正数,且,求证.‎ ‎20、已知都是正实数，且，求证:．‎ 参考答案 ‎1、答案：A 求出的坐标，表示，即：=，构造柯西不等式模型，利用柯西不等式即可求得其最小值，问题得解。‎ ‎【详解】‎ 因为，，，‎ 所以=，‎ 又非负实数满足，所以，‎ 所以=‎ ‎，‎ 当且仅当时，等号成立。‎ 即：当且仅当时，等号成立。‎ 所以的最小值为 ，‎ 故选：A.‎ 名师点评：‎ 本题主要考查了柯西不等式的应用，还考查了向量的模及坐标运算，考查构造能力，属于中档题。‎ ‎2、答案：C 由柯西不等式得,‎ 当且仅当时等号成立 ‎∵，，‎ ‎∴中等号成立，‎ ‎∴一定有：，‎ ‎∴‎ 则 故选C ‎3、答案：①④‎ 设，题意即为的最大值为0，因此共线，即三点共线，也即存在过原点的直线与函数的图象有两个不同的交点，从图象上看只有①④满足，故答案为①④．‎ 名师点评：本题考查新定义问题，新定义“柯西函数”，在我们引入点的坐标后，题意转化为的最大值为0，从而利用平面数量积的性质得共线，即三点共线，也即为过原点的直线与函数的图象有两个不同的交点，为从形上易得结论．‎ ‎4、答案：① ④‎ 设，由向量的数量积的可得，当且仅当向量共线（三点共线）时等号成立．故的最大值为0时，当且仅当三点共线时成立．‎ 所以函数是“柯西函数”等价于函数的图象上存在不同的两点，使得三点共线．‎ 对于①，函数图象上不存在满足题意的点；‎ 对于②，函数图象上存在满足题意的点；‎ 对于③，函数图象上存在满足题意的点；‎ 对于④，函数图象不存在满足题意的点．‎ 图① 图② 图③ 图④‎ 故函数① ④是“柯西函数”．‎ 答案：① ④‎ 名师点评：‎ ‎（1）本题属于新定义问题，读懂题意是解题的关键，因此在解题时得到“柯西函数”即为图象上存在两点A,B，使得O,A,B三点共线是至关重要的，也是解题的突破口．‎ ‎（2）数形结合是解答本题的工具，借助于图形可使得解答过程变得直观形象．‎ ‎5、答案：‎ 由题意根据柯西不等式得，所以，所以的最大值为．‎ 考点：不等式的应用求最值．‎ ‎6、答案：‎ 运用辅助角公式和正弦函数的值域可得f（a，x）≤，再由柯西不等式，计算可得所求最大值．‎ ‎【详解】‎ 解：函数f（a，x）==sinx+cosx ‎=sin（x+θ）（θ为辅助角），‎ 即有f（a，x）≤（sin（x+θ）=1取得等号），‎ 由柯西不等式可得（）2≤（1+1）（a+1-a）=2，‎ 当且仅当a=时，取得等号，‎ 即有≤，‎ 即f（a，x）的最大值为．‎ 故答案为：．‎ 名师点评：‎ 本题考查函数的最值求法，注意运用辅助角公式和正弦函数的值域，以及柯西不等式，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎7、答案：① ④‎ 设，由向量的数量积的可得，当且仅当向量共线（三点共线）时等号成立．故的最大值为0时，当且仅当三点共线时成立．‎ 所以函数是“柯西函数”等价于函数的图象上存在不同的两点，使得三点共线．‎ 对于①，函数图象上不存在满足题意的点；‎ 对于②，函数图象上存在满足题意的点；‎ 对于③，函数图象上存在满足题意的点；‎ 对于④，函数图象不存在满足题意的点．‎ 图① 图② 图③ 图④‎ 故函数① ④是“柯西函数”．‎ 答案：① ④‎ 名师点评：‎ ‎（1）本题属于新定义问题，读懂题意是解题的关键，因此在解题时得到“柯西函数”即为图象上存在两点A,B，使得O,A,B三点共线是至关重要的，也是解题的突破口．‎ ‎（2）数形结合是解答本题的工具，借助于图形可使得解答过程变得直观形象．‎ ‎8、答案：试题分析：利用柯西不等式即可证明结果.‎ ‎【详解】‎ 因为x，y，z均为正数，所以均为正数，‎ 由柯西不等式得 ‎，‎ 当且仅当时，等式成立.‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以.‎ 名师点评：‎ 本题考查柯西不等式的应用，考查转化思想，属于中档题. 9、答案：（1）;（2）见解析.‎ 试题分析：（1）由题意，利用绝对值三角不等式求得的最小值，即可求解的值；‎ ‎（2）根据柯西不等式，即可作出证明.‎ 试题 ‎（1），当且仅当取等，所以的最小值 ‎（2）根据柯西不等式，‎ ‎. 10、答案：试题分析：利用排序不等式进行证明.‎ 试题证明：，，不妨设，则，，由排序不等式得，所以. 11、答案：（1）见解析；（2）‎ 试题分析：（1）利用分组分解法将原不等式变形为从而得证.（2）因为，所以.‎ 试题 证明：（1）法一：‎ ‎，‎ 所以.‎ 法二：‎ ‎，‎ 所以.‎ ‎（2）证明：因为(由柯西不等式得）‎ 所以，‎ 当且仅当即时，有最小值. 12、答案：（I）证明见解析；（II）证明见解析.‎ 试题分析：（Ⅰ）先证明，再证明，从而可得结果；（Ⅱ）由，，∴，∴.‎ 试题（Ⅰ）∵，三式相加可得 ‎∴,‎ ‎.‎ 又均为正整数，∴成立．‎ ‎（Ⅱ）：，，∴，‎ ‎∴‎ ‎,‎ 当且仅当，即时，“=”成立. 13、答案：（1）；（2）见解析.‎ 试题分析：(1)由，可得，对分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得结果；(2)由柯西不等式，可得.‎ 试题(1)设，‎ 由，得.‎ 故.‎ 所以.‎ 当时，，得；‎ 当时，，解得，故；‎ 当时，，解得，故；‎ 综上，.‎ ‎(2)‎ ‎.‎ 另解：‎ 由柯西不等式，可得. 14、答案：（Ⅰ）.（Ⅱ）见解析.‎ 试题分析：（Ⅰ）对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得不等式的解集；（Ⅱ）利用基本不等式求出的最小值为，根据柯西不等式可得，从而可得结论.‎ 试题（Ⅰ）‎ 等价于或或，‎ 解得或或 所以不等式的解集为.‎ ‎（Ⅱ）因为，所以，即.‎ 法1：∵，，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴.当且仅当时等号成立 法2：由柯西不等式得：，‎ ‎∴‎ ‎∴，当且仅当时等号成立 15、答案：(1)6(2)‎ 试题分析：（Ⅰ）运用柯西不等式，，即可得到最大值；‎ ‎（Ⅱ）不等式对满足条件的x，y，z恒成立即为=6，对讨论，即可解得a的取值范围 试题 ‎(1)由柯西不等式，即有≤36.‎ 又x，y，z是正数，∴，‎ 即的最大值为6，‎ 当且仅当，即当x＝z＝1，y＝2时取得最大值．‎ ‎(2)由题意及(1)得，.解得，‎ 综上，实数a的取值范围为 16、答案：‎ 试题分析：【详解】‎ 由柯西不等式可得，‎ ‎，‎ 所以 ‎，①‎ 取等号的条件分别为 ‎，②‎ ‎③‎ 当时，有，结合②③得 又，所以，整理得 ‎，‎ 故 ‎④‎ 记，则 ‎，‎ 所以在上为增函数，故当时，‎ 于是，由④可得，从而 代入②③求得 代入①式，整理得，因此的最小值为. 17、答案：(1)的值域为；(2)见解析．‎ 试题分析：（1）分类讨论，得到的解析式（分段函数），可知的最大值为，则其值域为 ‎（2）由（1）可知，则由由柯西不等式易得，问题的证 试题（1）‎ ‎∴的最大值为，‎ ‎∴的值域为 证明：（2）由（1）可知，‎ ‎∴‎ ‎∴由柯西不等式得：‎ 即（当且仅当时取等号）． 18、答案：（1）（2）见解析 试题分析：（1）根据绝对值不等式的性质，结合函数，即可求得的值；（2）运用柯西不等式，结合（1），即可证明.‎ 试题（1），‎ 的最小值为 ‎(2)‎ ‎ 19、答案：(1)(2)见解析 试题分析：（1）将代入到，构造，再根据的解集为，即可求得 的值；（2）由（1）可得，再根据柯西不等式即可证明.‎ 试题(1),‎ 设,则当时,;‎ 当时,;‎ 当时,‎ 所以.‎ ‎(2)‎ 由柯西不等式,‎ 所以. 20、答案：试题分析：把不等式的左边写成形式，利用柯西不等式即证．‎ 试题证明：∵‎ ‎，‎ 又，‎ ‎∴‎ 考点：柯西不等式 ‎