内蒙古赤峰市2020届高三四月模拟考试文科数学试题附答案

内蒙古赤峰市2020届高三四月模拟考试文科数学试题附答案

文科数学试卷 第 1 页 共 8 页 绝密★启用前 赤峰市高三 4·20 模拟考试试题 文科数学 2020.4 本试卷共 23 题，共 150 分，共 8 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码粘贴在条形码区 域内. 2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米的黑色字迹的签字笔 书写，字体工整，笔迹清楚. 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无 效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须黑色字迹的签字笔描黑. 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合  022  xxxA ，  xyxB  1 ，则 BA = A. 2, B. 1, C. 1,1 D. 2,1 2. 设复数 z 在复平面上的对应点为  1,1  ， z 为 z 的共轭复数，则 A. z z 是纯虚数 B. z z 是实数 C. z z 是纯虚数 D. z z 是纯虚数 3. “ 0x y  ”是“ lg( +1) lg( 1)x y  ”成立的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 文科数学试卷 第 2 页 共 8 页 4. 随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加.抽样发现赤峰市某家庭 2019 年全年的收入与 2015 年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番.同时该家庭的消费结 构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比 例，得到了如下折线图: 则下列结论中正确的是 A.该家庭 2019 年食品的消费额是 2015 年食品的消费额的一半 B.该家庭 2019 年教育医疗的消费额是 2015 年教育医疗的消费额的 1.5 倍 C.该家庭 2019 年休闲旅游的消费额是 2015 年休闲旅游的消费额的六倍 D.该家庭 2019 年生活用品的消费额与 2015 年生活用品的消费额相当 5．已知 1 22a  ， 1 55b  ， 3log 2c  ，则 a ， b ， c 的大小关系为 A. a b c  B. c b a  C. c a b  D. b a c  6. 设双曲线 C : 2 2 1x ym   的一条渐近线方程为3 2 0x y  ，则 m 的值为 A. 4 9 B. 9 4 C. 3 2 D. 2 3 7．孪生素数猜想是希尔伯特在 1900 年提出的 23 个问题之一，2013 年华人数学家张益唐 证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，问题可以描述为：存在无穷多个素数 p ，使得 +2p 是素数，素数对 +2p p（ ， ）称为孪生素数对.问：如果从 30 以内的素数组成的孪 生素数对中随机抽取一对，这对孪生素数的积不超过 20 的概率是 A. 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 5 文科数学试卷 第 3 页 共 8 页 8．设等比数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，若 1 1a  ，且 2 3 4,2 ,4a a a 成等差数列，则 8 =S A.510 B. 255 C.512 D. 256 9. 将函数 2 1sin cos cos 2y x x x   的图像向右平移 8  个单位长度得到函数 ( )g x 的 图像，下列结论正确的是 A. ( )g x 是最小正周期为 2 的偶函数 B. ( )g x 是最小正周期为 4 的奇函数 C. ( )g x 在 ,2  上单调递减 D. ( )g x 在 0, 2      上的最大值为 2 2 10．已知椭圆C : 19 2 2 2 2  a y a x ， 21 FF、 是其左右焦点，若对椭圆C 上的任意一点 P ， 都有 021  PFPF 恒成立，则实数 a 的取值范围为 A. 3 0 (0,3) （ ，） B.   3,0 0,3  C. ( , 3) (3, )   D. ( , 3] [3, )   11. 已知三棱锥 P ABC 中， 3PA PB PC   ，当三棱锥 P ABC 体积最大值时， 三棱锥 P ABC 的外接球的体积为 A. 9 2  B.36 C. 32 71  D. 2 9  12. 已知函数           eexxy ,1ln21 的图象上存在点 M ，函数 axy  2 的图象上 存在点 N ，且点 NM , 关于原点对称，则实数 a 的取值范围是 A.      2 11,0 e B. 30 2 e， C.      311 2 2 ee ， D.       ,11 2e 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 设 )(xf 在 R 上是奇函数,且 (1 ) (1 )f x f x   ,当 (0,1)x 时, 3)( xxf = ,则 =)2 7(f . 文科数学试卷 第 4 页 共 8 页 14. 已知非零向量 ,a b   满足 =2b a   ，且 b a a    ，则 a  与b  的夹角为 . 15．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广 三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体的粮仓， 宽 3 丈，长 4 丈 5 尺，可装粟一万斛．已知 1 斛粟的体积为 2.7 立方尺，1 丈为 10 尺，则该粮仓的高是________尺．若将这些粟装入一个圆柱形粮仓内,若使这个圆柱 形粮仓的表面积(含上下两底)最小,那么它的底面半径是___________ 尺. 16．设数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，且满足 2 1n na S  ，则使 2 2 2 1 1 2 5+ + + 23 n na a a   成立 的 n 的最大值为 . 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必 考题，每个试题考生都必须作答，第 22～23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分 17．（12 分） 如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形， AB AD =45ADC  ， / /AD BC ， 2 2AD AB  ， ADP 为等边三角形，平面 PAD  底面 ABCD ，E 为 AD 的中点. （1）求证：平面 PBC  平面 PCE ； （2）点 F 在线段CD 上，且 3= 2 CF FD ， 求三棱锥 F ABP 的体积. 文科数学试卷 第 5 页 共 8 页 18．（12 分） 在 ABC 中，内角 A ， B ，C 所对的边分别是 cba ,, ，且 cos 3 sinb c a B a B   （1）求角 A ； （2）若 2 3a  ，求 ABC 的面积的最大值. 文科数学试卷 第 6 页 共 8 页 19．（12 分） 3 月 3 日，武汉大学人民医院的团队在预印本平台 SSRN 上发布了一项研究：在新冠肺 炎病例的统计数据中，男性患者往往比女性患者多。研究者分析了 1 月 1 日～29 日的 6013 份病例数据，发现 55.9%的患者为男性；进入重症监护病房的患者中，则有 58.8% 为男性。随后，他们分析了武汉大学人民医院的数据。他们按照症状程度的不同进行 分析，结果发现，男性患者有 11.8%为危重，而女性患者危重情况的为 7%。也就是说， 男性的发病情况似乎普遍更严重。研究者总结道：“男性在新冠肺炎的传播中扮演着 重要的角色。” 那么，病毒真的偏爱男性吗？ 有一个中学生学习小组，在自己封闭的社区进行无接触抽样问卷调查，收集到男、女 患者各 50 个数据，统计如下： 轻-中度感染 重度（包括危重） 总计 男性患者 20 女性患者 30 总计 50 50 100 （1）求 2 2 列联表中的数据 , , ,m n x y 的值； （2）能否有99.9%把握认为，新冠肺炎的感染程度和性别有关？（3）该学生实验小 组打算从“轻-中度感染”的患者中按男女比例再抽取 5 人，追踪某种中药制剂 的效果。然后从这 5 人中随机抽取 3 人进行每日的健康记录，求至少抽到 2 名 女性患者的概率. 附表及公式： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      ， n a b c d    . 2 0( )P K k 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 文科数学试卷 第 7 页 共 8 页 20.（12 分） 已知曲线C 上的任意一点 M 到点 )1,0(F 的距离比到直线 2: yl 的距离少 1，动 点 P 在直线 1: ys 上，过点 P 作曲线C 的两条切线 ,PA PB ，其中 ,A B 为切点． （1）求曲线C 的方程； （2）判断直线 AB 是否能恒过定点？若能，求定点坐标；若不能，说明理由. 21．（12 分） 已知函数     xxaxaxf ln12 2  （1）当 0a 时，求函数  xf 的极值； （2）当 0a 时，求函数  xf 在     14 1， 上的最小值. 文科数学试卷 第 8 页 共 8 页 （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 二题中任选一题做答，如果多做，则按所做 的第一题计分. 做答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22. （10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为 2x a t y t      （t 为参数），以坐标原 点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2 2 12 3 sin    . （1）若 2a   ，求曲线C 与l 的交点坐标； （2）过曲线C 上任意一点 P 作与l 夹角为 45o 的直线，交l 于点 A ，且 PA 的最大值 为 10 ，求 a 的值. 23.（10 分）选修 4—5：不等式选讲 已知函数 ( ) 1 2f x x x    . （1）解不等式 1)( xf ； （2）记函数 )(xf 的最大值为 s ，若 ( , , 0)a b c s a b c    ， 证明： 2 2 2 2 2 2 3a b b c c a abc   . 文科数学答案 第 1 页 共 1 页 赤峰市高三 4·20 模拟考试试题 文科数学参考答案 2020.4 说明： 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据 试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 二、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 三、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 1. C； 2.D； 3. A ； 4. C ； 5. B； 6. A； 7. C； 8.B ； 9. D ； 10. C； 11.A ； 12.B． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13． 1 8 ；14. 3  （或写成 60 ）；15. 20 ， 3 30 2 （或写成 3 13500  ）；16．3 . 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(12 分) （1）证明： PAD 为等边三角形， E 为 AD 的中点， PE AD∴ 平面 PAD 底面 ABCD，平面 PAD 底面 =ABCD AD PE ∴ 底面 ， BC 平面 ， PE BC∴ „„„„„3 分 由又题意可知 ABCE 为正方形， CE BC ，又 PE EC E ，  BC  平面 PCE „„„„„„„„„„„„„„„„„„5 分 平面 PBC ， 平面 PBC 平面 PCE „„„„„„„„„„6 分 （2）解：过 F 作 FG AB ，垂足为G „„„„„„„„„„„„„„„„„„8 分 1 1 1 1 1 8 4 3133 3 2 3 2 5 15F ABP P ABF ABFV V S PE AB FG PE                „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12 分 文科数学答案 第 2 页 共 2 页 18.(12 分) 解：（1） 由题设及正弦定理得 sin sin sin cos 3sin sinB C A B A B   A B C    sin sin( )C A B   sin sin( ) sin cos 3 sin sinB A B A B A B    „„„„„„„„„„„2 分 化简得 sin ( 3 sin cos 1) 0B A A   „„„„„„„„„„„„„4 分 sin 0B  ， 3sin cos 1AA， 1sin 62A  0 A  ， 3A  „„„„„„„„„„„„„„„„„„6 分 （2）由已知 23a  （1），根据余弦定理得 2212cos 2 bcA bc  ，即 221 12 22 bc bc  ， 22= 12bc b c „„„„„„„„„„„„8 分 222 , 12b c bc bc    （当且仅当 =bc时取号） „„„„„„„„„10 分 1 1 3 1 3sin 12 3 32 2 2 2 2ABCS bc A bc        „„„„„„„„12 分 （当且仅当 时取号） 19. (12 分) 解：（1） =30 =20, =50, =50m n x y, „„„„„„„„„„„„3 分 （2） 2 2 50 100(20 20 30 30) 50 =4 1050 .82850K      ，没有99.9% 把握认为新冠肺炎的 感染程度和性别有关. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7 分 文科数学答案 第 3 页 共 3 页 （3）由于在“轻-中度感染”的患者中，按男女比例为 2:3，设抽取的 5 人中 3 名 女性患者用 ,,abc表示，2 名男性患者用 ,DE表示，则所有组合为( , , )D E a ， ( , , )D E b ，( , , )D E c ，( , , )D a b ，( , , )D a c ，( , , )D b c ，( , , )E a b ，( , , )E a c ，( , , )E b c ， ( , , )abc ，可能的情况共有 10 种.其中至少抽到 2 名女性患者的情况有 7 种，设 至少抽到 2 名女性患者的事件为 A ，则 7()10PA= .„„„„„„„„„„12 分 20.(12 分) 解：（1）由已知得动点 M 到点 )1,0(F 的距离与到直线 1: yl 的距离相等„2 分 又由抛物线的定义可知，曲线 C 为抛物线，焦点为 ，准线为 曲线C 的方程为 2 4xy „„„„„„„„„„„„„„„5 分 （2）设点 11( , )A x y , 22( , )B x y ， )1,( tP „„„„„„„„„„„„„„6 分 由 2 4xy ,即 21 4yx, 得 y  1 2 x ． ∴抛物线C 在点 A 处的切线 PA 的方程为 )(2 1 1 1 xxxyy  即 2 11 1 2 1 2 xyxxy  ． „„„„„„„„„„„„„„„„„8 分 ∵ 2 11 4 1 xy  ， ∴ 1 1 2 yxxy  ，∵点 在切线 PA 上, ∴ 1 1 21 ytx  ①，同理 2 2 21 ytx  ② „„„„„„„„„„„10 分 综合①、②得，点 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 的坐标都满足方程 ytx  21 即直线 :AB 12  xty 恒过抛物线焦点 F )1,0( „„„„„„„„„12 分 文科数学答案 第 4 页 共 4 页 21.（12 分） 解：（1）函数 ()fx的定义域为(0 + )， . 1 ( 1)( 1)( ) (1 ) = x axf x ax a xx      „„„„„„„„„„„„„„„2 分 0, 0ax ， 012  x ax ，   100'  xxf ，函数  xf 在(0,1) 上为减函数；   10'  xxf ，函数 在(1, ) 上为增函数 所以，     211 afxf 极小值 ，无极大值 „„„„„„„„„„„„5 分 （2）由（1）可得      011'  xx xaxxf 0a ，由   0' xf ，可得 1,1 21  xax „„„„„„„„„„„„6 分 当 11- a ，即 01-  a 时，   0' xf 在     1,4 1x 成立，  xf 在此区间     1,4 1 上 为减函数，所以，     211min afxf  „„„„„„„„„„„„„„7 分 当 11-4 1  a ，即 14  a 时，     0,1,1;0,1,4 1 ''        xfaxxfax 所以，  xf 在      a 1,4 1 为减函数，在    1,1 a 为增函数 所以，        aaafxf 1ln2 111 min „„„„„„„„„„„„„9 分 当 4 11-0  a ，即 4a 时，   0,1,4 1 '     xfx ，  xf 在     1,4 1x 为增 函数   2ln232 7 4 1 4 1 min      afxf „„„„„„„„„„„„„11 分 文科数学答案 第 5 页 共 5 页 综上所述，                    01,21 14,1ln2 11 4,2ln232 7-4 1 min aa aaa aa xf „„„„„„„„„„12 分 22.（10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程 解：（1） 2 2 2 2 2 12 , 3 sin 12.3 sin       由 cos sin x y      得 223 4 12,xy  曲线C 的直角坐标方程为 22 143 xy. 当 2a  时，直线l 的普通方程为 2 2 0xy   „„„„„„„„„„3 分 由 22 2 2 0 143 xy xy     解得 2 0 x y    或 1 3 2 x y   . 从而 与 的交点坐标为  32,0 , 1, 2  .„„„„„„„„„„„„„„5 分 （2）由题意知直线 的普通方程为 20x y a   ， 的参数方程为 2cos 3 sin x y     （ 为参数） 故 上任意一点  2cos , 3 sinP 到 的距离为 4sin2cos 2 3sin 6 55 aa d  „„„„„„„„„„8 分 则 2 4sin 62sin 45 5 adPA d    . 文科数学答案 第 6 页 共 6 页 当 0a  时， PA 的最大值为 24 10 5 a  ，所以 1a  ； 当 0a  时， 的最大值为 24 10 5 a  ，所以 1a  . 综上所述， 或 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10 分 23.（10 分）选修 4－5：不等式选讲 （1）解： 3, 1 ( ) 2 1, 1 2 3, 2 x f x x x x           „„„„„„„„„„„„„„„„„„3 分 当 1x  时， 31恒成立，所 ； 当 12x   时， 2 1 1x即 1x  ，所 11x   ； 当 2x  时，31 显然不成立，所以不合题意； 综上所述，不等式的解集为 ( ,1] „„„„„„„„„„„„„„„„5 分 （2）证明：由(1)知 max( ) 3f x s，于是 3abc   由基本不等式可得 2 2 2 2 2 4 2 222a b b c a b c ab c   （当且仅当 ac 时取等号） 2 2 2 2 2 2 4 222b c c a a b c abc   （当且仅当ba 时取等号） 2 2 2 2 4 2 2 222c a a b a b c a bc   （当且仅当cb 时取等号）„„„„„„8 分 上述三式相加可得 2 2 2 2 2 22( ) 2 ( )a b b c c a abc a b c     （当且仅当 abc时取等号） 3abc   ， 2 2 2 2 2 2 3a b b c c a abc    ，故得证„„„„„„„„10 分