【数学】2020届天津一轮复习通用版5-1平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示作业

【数学】2020届天津一轮复习通用版5-1平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示作业

专题五　平面向量 ‎【真题典例】‎ ‎5.1　平面向量的概念及线性运算、平面向量 基本定理及坐标表示 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 ‎1.平面向量的基本概念与线性运算 ‎1.了解向量的实际背景 ‎2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义 ‎3.理解向量的几何表示 ‎4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义 ‎2017天津,13‎ 向量的线性运算和几何意义 平面向量的数量积 ‎★★☆‎ ‎2009天津,15‎ 两个向量相等的含义 利用数量积求两向量的夹角 ‎2.向量共线问题 掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义 ‎2016课标Ⅱ,13‎ 向量平行 向量的坐标运算 ‎★☆☆‎ ‎3.平面向量基本定理 了解平面向量基本定理及其意义 ‎2014福建,8‎ 平面向量基本定理 平面向量的坐标表示 ‎★★☆‎ ‎4.平面向量的坐标运算 ‎1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 ‎2.会用坐标表示平面向量的加法、减法和数乘运算 ‎3.理解用坐标表示的平面向量共线的条件 ‎2012天津,8‎ 平面向量的坐标运算 利用坐标表示向量的模 ‎★★★‎ 分析解读　　高考对本节内容的考查以选择题和填空题为主,重点考查向量的概念、几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件和向量的坐标运算,此类问题一般难度不大.向量的有关概念、向量的线性运算、平面向量基本定理、向量的坐标运算等知识是平面向量的基础,高考主要考查基础运用,其中线性运算、坐标运算、平面向量基本定理是高考的重点与热点,要熟练掌握.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点一　平面向量的基本概念与线性运算 ‎1.向量a=(2,-9),b=(-3,3),则与a-b同向的单位向量为(　　)‎ A.‎5‎‎13‎‎,-‎‎12‎‎13‎　　　　B.‎-‎5‎‎13‎,‎‎12‎‎13‎　　　　C.‎12‎‎13‎‎,-‎‎5‎‎13‎　　　　D.‎‎-‎12‎‎13‎,‎‎5‎‎13‎ 答案　A　‎ ‎2.在△ABC中,G为重心,记a=AB,b=AC,则CG=(　　)‎ A.‎1‎‎3‎a-‎2‎‎3‎b　　　　B.‎1‎‎3‎a+‎2‎‎3‎b　　　　C.‎2‎‎3‎a-‎1‎‎3‎b　　　　D.‎2‎‎3‎a+‎1‎‎3‎b 答案　A　‎ ‎3.M是△ABC所在平面内一点,‎2‎‎3‎MB+MA+MC=0,D为AC中点,则‎|MD|‎‎|BM|‎的值为(　　)‎ A.‎1‎‎2‎　　　　B.‎1‎‎3‎　　　　 C.1　　　　D.2‎ 答案　B　‎ 考点二　向量共线问题 ‎4.已知向量a=(1,1),点A(3,0),点B在直线y=2x上,若AB∥a,则点B的坐标为　　　　. ‎ 答案　(-3,-6)‎ 考点三　平面向量基本定理 ‎5.D是△ABC所在平面内一点,AD=λAB+μAC(λ,μ∈R),则“0<λ<1,0<μ<1”是“点D在△ABC内部(不含边界)”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件　　　　C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B　‎ ‎6.已知△OAB,若点C满足AC=2CB,OC=λOA+μOB(λ,μ∈R),则‎1‎λ+‎1‎μ=(　　)‎ A.‎1‎‎3‎　　　　B.‎2‎‎3‎　　　　　　　　C.‎2‎‎9‎　　　　D.‎‎9‎‎2‎ 答案　D　‎ ‎7.如图所示,矩形ABCD的对角线相交于点O,E为AO的中点,若DE=λAB+μAD(λ,μ为实数),则λ2+μ2=(　　)‎ A.‎5‎‎8‎　　　　B.‎1‎‎4‎　　　　　　　　C.1　　　　D.‎‎5‎‎16‎ 答案　A　‎ 考点四　平面向量的坐标运算 ‎8.已知向量a=(2,m),b=(1,1),若a·b=|a-b|,则实数m=(　　)‎ A.‎1‎‎2‎　　　　B.-‎1‎‎2‎　　　　C.‎1‎‎3‎　　　　D.-‎‎1‎‎3‎ 答案　D　‎ ‎9.已知向量a=(1,t),b=(t,9),若a∥b,则t=　　　　. ‎ 答案　±3‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法1　平面向量的线性运算技巧 ‎1.在△ABC中,点D满足AD=2AB-AC,则(　　)‎ A.点D不在直线BC上　　　　B.点D在BC的延长线上　　　　‎ C.点D在线段BC上　　　 　D.点D在CB的延长线上 答案　D　‎ ‎2.(2013四川,12,5分)在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AB+AD=λAO,则λ=　　　　. ‎ 答案　2‎ 方法2　向量共线问题的解决方法 ‎3.已知向量a=(x,1),b=(3,-2),若a∥b,则x=(　　)‎ A.-3　　　　B.-‎3‎‎2‎　　　　C.‎2‎‎3‎　　　　D.‎‎3‎‎2‎ 答案　B　‎ ‎4.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若向量λa+b与c共线,则实数λ=(　　)‎ A.-2　　　　B.-1　　　　C.1　　　　D.2‎ 答案　D　‎ ‎5.在△ABC中,过中线AD的中点E作一条直线分别交AB,AC于M,N两点,若AM=xAB,AN=yAC(x>0,y>0),则4x+y的最小值为　　　　. ‎ 答案　‎‎9‎‎4‎ 方法3　平面向量的坐标运算的解题策略 ‎6.已知向量a=(1,2),b=(0,-2),c=(-1,λ),若(2a-b)∥c,则实数λ=(　　)‎ A.-3　　　　B.‎1‎‎3‎　　　　C.1　　　　D.3‎ 答案　A　‎ ‎7.已知O为坐标原点,向量OA=(2,3),OB=(4,-1),且AP=3PB,则|OP|=　　　　. ‎ 答案　‎‎7‎‎2‎ 过专题 ‎【五年高考】‎ A组　自主命题·天津卷题组 ‎1.(2017天津,13,5分)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若BD=2DC,AE=λAC-AB(λ∈R),且AD·AE=-4,则λ的值为　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎‎11‎ ‎2.(2012天津,8,5分)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|PA+3PB|的最小值为　　　　. ‎ 答案　5‎ ‎3.(2009天津,15,4分)在四边形ABCD中,AB=DC=(1,1),‎1‎‎|BA|‎BA+‎1‎‎|BC|‎BC=‎3‎‎|BD|‎BD,则四边形ABCD的面积为　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎ B组　统一命题、省(区、市)卷题组 考点一　平面向量的基本概念与线性运算 ‎1.(2018课标Ⅰ,6,5分)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB=(　　)‎ A.‎3‎‎4‎AB-‎1‎‎4‎AC　　　　B.‎1‎‎4‎AB-‎3‎‎4‎AC　　　　C.‎3‎‎4‎AB+‎1‎‎4‎AC　　　　D.‎1‎‎4‎AB+‎‎3‎‎4‎AC 答案　A　‎ ‎2.(2015课标Ⅰ,7,5分)设D为△ABC所在平面内一点,BC=3CD,则(　　)‎ A.AD=-‎1‎‎3‎AB+‎4‎‎3‎AC　　　　B.AD=‎1‎‎3‎AB-‎4‎‎3‎AC　　　　C.AD=‎4‎‎3‎AB+‎1‎‎3‎AC　　　　D.AD=‎4‎‎3‎AB-‎‎1‎‎3‎AC 答案　A　‎ ‎3.(2014课标Ⅰ,15,5分)已知A,B,C为圆O上的三点,若AO=‎1‎‎2‎(AB+AC),则AB与AC的夹角为　　　　. ‎ 答案　90°‎ 考点二　向量共线问题 ‎1.(2015四川,2,5分)设向量a=(2,4)与向量b=(x,6)共线,则实数x=(　　)‎ A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.6‎ 答案　B　‎ ‎2.(2017山东,11,5分)已知向量a=(2,6),b=(-1,λ).若a∥b,则λ=　　　　. ‎ 答案　-3‎ ‎3.(2016课标Ⅱ,13,5分)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m=　　　　. ‎ 答案　-6‎ 考点三　平面向量基本定理 ‎1.(2014福建,8,5分)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是(　　)‎ A.e1=(0,0),e2=(1,2)　　　　B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)　　　‎ C.e1=(3,5),e2=(6,10)　　　 D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)‎ 答案　B　‎ ‎2.(2015课标Ⅱ,13,5分)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎2‎ 考点四　平面向量的坐标运算 ‎1.(2017课标Ⅲ,12,5分)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=λAB+μAD,则λ+μ的最大值为(　　)‎ A.3　　　　B.2‎2‎　　　　C.‎5‎　　　　D.2‎ 答案　A　‎ ‎2.(2016课标Ⅱ,3,5分)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=(　　)‎ A.-8　　　　B.-6　　　　C.6　　　　D.8‎ 答案　D　‎ ‎3.(2014广东,3,5分)已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a=(　　)‎ A.(-2,1)　　　　B.(2,-1)　　　　C.(2,0)　　　　D.(4,3)‎ 答案　B　‎ ‎4.(2018课标Ⅲ,13,5分)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎2‎ ‎5.(2015江苏,6,5分)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为　　　　. ‎ 答案　-3‎ C组　教师专用题组 ‎1.(2015安徽,8,5分)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足AB=2a,AC=2a+b,则下列结论正确的是(　　)‎ A.|b|=1　　　　B.a⊥b　　　　C.a·b=1　　　　D.(4a+b)⊥‎BC 答案　D　‎ ‎2.(2015陕西,7,5分)对任意向量a,b,下列关系式中不恒成立‎····‎的是(　　)‎ A.|a·b|≤|a||b|　　　　B.|a-b|≤||a|-|b||　　　　C.(a+b)2=|a+b|2　　　　D.(a+b)·(a-b)=a2-b2‎ 答案　B　‎ ‎3.(2014课标Ⅰ,6,5分)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则EB+FC=(　　)‎ A.AD　　　　B.‎1‎‎2‎AD C.BC　　　　D.‎‎1‎‎2‎BC 答案　A　‎ ‎4.(2014福建文,10,5分)设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则OA+OB+OC+OD等于(　　)‎ A.OM　　　　B.2OM　　　　C.3OM　　　　D.4‎OM 答案　D　‎ ‎【三年模拟】‎ 一、选择题(每小题5分,共25分)‎ ‎1.(2019届天津耀华中学统练(2),2)已知A、B、C、D是平面内任意四点,现给出下列式子:‎ ‎①AB+CD=BC+DA;②AC+BD=BC+AD;③AC-BD=DC+AB.其中正确的有(　　)‎ A.0个　　　　B.1个　　　　C.2个　　　　D.3个 答案　C　‎ ‎2.(2017天津河北一模,7)若O为△ABC所在平面内的任一点,且满足(OB-OC)·(OB+OC-2OA)=0,则△ABC的形状为(　　)‎ A.直角三角形　　　　B.等腰三角形　　　　C.等腰直角三角形　　　　D.等边三角形 答案　B　‎ ‎3.(2018天津和平一模,7)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E为AD的中点,若CA=λCE+μDB(λ,μ∈R),则λ+μ的值为(　　)‎ A.‎6‎‎5‎　　　　B.‎8‎‎5‎　　　　C.2　　　　D.‎‎8‎‎3‎ 答案　B　‎ ‎4.(2018天津河东一模,7)设P是△ABC边BC上的任意一点,Q为AP的中点,若AQ=λAB+μAC(λ,μ∈R),则λ+μ=(　　)‎ A.‎1‎‎4‎　　　　B.‎1‎‎3‎　　　　C.‎1‎‎2‎　　　　D.1‎ 答案　C　‎ ‎5.(2018天津和平二模,7)如图,在平行四边形ABCD中,已知DE=‎1‎‎2‎EC,BF=2FC,G为线段EF上的一点,且EG=‎1‎‎2‎GF,AG=λAB+μAD(λ,μ∈R),则λμ的值为(　　)‎ A.‎2‎‎5‎　　　　B.‎1‎‎2‎　　　　C.‎4‎‎7‎　　　　D.‎‎5‎‎8‎ 答案　D　‎ 二、填空题(每小题5分,共45分)‎ ‎6.(2018天津河西二模,13)在△ABC中,∠A=60°,|AC|=2,点D在边AB上,点E在边BC上,AD=‎1‎‎2‎AB,BE=‎2‎‎3‎BC,若DE·BC=‎8‎‎3‎,则|AB|=　　　　. ‎ 答案　5‎ ‎7.(2019届天津第二十中学第三次月考,7)已知正方形ABCD的边长为2,E为BC的中点,DF=2FC,则AE·BF=　　　　. ‎ 答案　‎‎2‎‎3‎ ‎8.(2018天津部分区县二模,14)在△ABC中,AB=6‎2‎,AC=6,∠BAC=π‎4‎,点D满足BD=‎2‎‎3‎BC,点E在线段AD上运动(不包括端点),若AE=λAB+μAC(λ,μ∈R),则3λ+‎1‎‎3μ取得最小值时,AE的模为　　　　. ‎ 答案　2‎‎5‎ ‎9.(2018天津南开中学第六次月考,13)在平行四边形ABCD中,AB=3,AD=2,∠BAD=120°,P是平行四边形ABCD内的一点,且AP=1,若AP=xAB+yAD,则3x+2y的最大值为　　　　. ‎ 答案　2‎ ‎10.(2018天津耀华中学一模,13)如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=‎1‎‎2‎AB=1,F是BC的中点,点P在以A为圆心,AD为半径的圆弧DE上变动,E为圆弧DE与AB的交点,若AP=λED+μAF,其中λ,μ∈R,则2λ+μ的取值范围是　　　　. ‎ 答案　[0,2]‎ ‎11.(2017天津河东二模,14)如图,在△ABC中,点M在线段AC上,点P在线段BM上,且满足AMMC=MPPB=2,若|AB|=2,|AC|=3,∠BAC=120°,则AP·BC的值为　　　　. ‎ 答案　-2‎ ‎12.(2017天津实验中学热身训练,13)已知△ABC的外接圆圆心为P,若点P满足AP=‎2‎‎5‎(AB+AC),则cos∠BAC=　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎4‎ ‎13.(2017天津新华中学模拟,14)在平面内,定点A,B,C,D满足|DA|=|DB|=|DC|,DA·DB=DB·DC=DC·DA=-2,动点P,M满足|AP|=1,PM=MC,则|BM|2的最大值是　　　　. ‎ 答案　‎‎49‎‎4‎ ‎14.(2017天津耀华中学二模,14)已知函数f(x)=|MP-xMN|(x∈R),其中MN是半径为4的圆O的一条弦,O为原点,P为单位圆O上的点,设函数f(x)的最小值为t,当点P在单位圆上运动时,t的最大值为3,则线段MN的长度为　　　　. ‎ 答案　4‎‎3‎ 三、解答题(共10分)‎ ‎15.(2019届天津河西期中,19)设平面内的向量OA=(-1,-3),OB=(5,3),OM=(2,2),点P在直线OM上,且PA·PB=-16,其中O为坐标原点.‎ ‎(1)求OP的坐标;‎ ‎(2)求∠APB的余弦值;‎ ‎(3)设t∈R,求|OA+tOP|的最小值.‎ 解析　(1)设P(x,y),由点P在直线OM上,可知OP与OM共线,而OM=(2,2),‎ ‎∴2x-2y=0,即x=y,∴P(x,x).‎ ‎∴PA=OA-OP=(-1-x,-3-x),PB=OB-OP=(5-x,3-x),‎ ‎∴PA·PB=(-1-x)(5-x)+(-3-x)(3-x)‎ ‎=2x2-4x-14=-16⇒x=1,‎ ‎∴P(1,1),则OP=(1,1).‎ ‎(2)由(1)得P(1,1),PA=(-2,-4),PB=(4,2),‎ ‎∴|PA|=‎(-2‎)‎‎2‎+(-4‎‎)‎‎2‎=2‎5‎,‎ ‎|PB|=‎4‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎=2‎5‎,‎ ‎∴cos=PA‎·‎PB‎|PA||PB|‎=-‎4‎‎5‎.‎ ‎∴∠APB的余弦值为-‎4‎‎5‎.‎ ‎(3)OA+tOP=(-1,-3)+(t,t)=(t-1,t-3),‎ ‎∴|OA+tOP|=‎(t-1‎)‎‎2‎+(t-3‎‎)‎‎2‎=‎2t‎2‎-8t+10‎=‎2(t-2‎)‎‎2‎+2‎.‎ 当t=2时,|OA+tOP|min=‎2‎.‎