成都外国语学校 2016-2017 学年上期高 2015 级（高二）期末考试 数学试题（理科）

成都外国语学校 2016-2017 学年上期高 2015 级（高二）期末考试 数学试题（理科）

成都外国语学校 2016-2017 学年上期高 2015 级（高二）期末考试 数学试题（理科） 满分 150 分，时间：120 分钟. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1．已知命题 :p x R ，sin 1x  ，则（ ） A． :p x  R ，sin 1x  B． :p x  R ，sin 1x  C． :p x  R ，sin 1x  D． :p x  R ， sin 1x  2.若 10 件产品中有 7 件正品，3 件次品，从中任取 2 件，则恰好取到 1 件次品的概率是（ ） A. 3 7 B. 7 15 C. 8 15 D. 4 7 3. “ 3 5m   ”是“方程 2 2 15 3 x y m m    表示椭圆”的（ ） A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.执行如图所示的程序框图，若输出的 88S  ，则判断框内应填入的 条件是( )A． 7?k  B． 6?k  C． 5?k  D． 4?k  5.过抛物线 2 ( 0)y ax a  的焦点 F 作一直线交抛物线于 ,P Q 两点，若线段 PF 和线段 FQ 的长分别是 ,p q ，则 1 1 p q  等于（ ） A． 1 4a B． 1 2a C． 2a D． 4a 6.如图，一竖立在地面上的圆锥形物 体的母线长为 4，一只小虫从圆锥的底面 圆上的点 P 出发，绕圆锥爬行一周后回到点 P 处，若该小虫爬行的最短路程为 4 3 ，则这个圆锥的体积为（ ） A. 15 3 B. 32 35 27  C.128 2 81  D. 8 3 3 7.已知 aR ，若方程 2 2 2( 2) 4 8 5 0a x a y x y a      表示圆，则此圆心坐标（ ） A. ( 2, 4)  B. 1( , 1)2   C. ( 2, 4)  或 1( , 1)2   D. 不确定 8.样本（ 1 2, , , nx x x ）的平均数为 x ，样本（ 1 2, , my y y ）的平均数为 ( )y x y ，若样本 （ 1 2, , , nx x x ， 1 2, , my y y ）的平均数 (1 )z a x ay   ，其中 10 2a  ，则 ,m n 的大小关系为 （ ） A． n m B． n m C． n m D．不能确定 9.某农户计划种植黄瓜和冬瓜，种植面积不超过 50 亩，投入资金不超过 54 万元，假设种植黄瓜与 冬瓜的产量、成本和售价如下表： 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 4 吨 1.2 万元 0.55 万元 冬瓜 6 吨 0.9 万元 0.3 万元 为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入  总种植成本）最大，那么黄瓜与冬瓜的种植面积（单 位：亩）分别为（ ） A. 50，0 B. 30，20 C. 20，30 D. 0， 50 10．已知椭圆 2 2 1 22 2 1( 0),x y a b F Fa b     、 为椭圆的左.右焦点, M 是椭圆上任一点,若 1 2MF MF  的取值范围为[ 3,3] ,则椭圆方程为（ ） A． 2 2 19 3 x y  B． 2 2 16 3 x y  C． 2 2 112 4 x y  D． 2 2 14 x y  11.在等腰直角三角形 ABC 中, = 4AB AC  ，点 P 是边 AB 上异于 ,A B 的一 点,光线从点 P 出发,经 ,BC CA 发射后又回到原点 P (如图11).若光线QR 经 过 ABC 的重心,则 BP 等于（ ） A． 2 B．1 C． 8 3 D． 4 3 12.如图 12，F1,F2 分别是双曲线 C： 2 2 2 2 1x y a b   （ , 0a b  ）的左、右 焦点，B 是虚轴的端点，直线 F1B 与 C 的两条渐近线分别交于 P,Q 两点， 线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M，若|MF2|=|F1F2|,则双曲线 C 的 渐近线方程是( ) A. y x  B. 3y x  C. 1 2y x  D. 2 2y x  二、填空题（本大概题共 4 小题，每小题 5 分.） 13.根据下列算法语句, 当输入 x 为 60 时, 输出 y 的值为 ________. 14.若 ,x y 满足约束条件 1 0 2 0 2 2 0 x y x y x y           则 z x y  的最 小值为_____________. 15.如果双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的一个焦点到渐近线的距离为 3，且离心率为 2 则此双曲线的方程___________. 16.设点 0 0( ,2 )M x x ，设在圆 2 2: 1O x y  上存在点 N ,使得 030OMN  ，则实数 0x 的取值 范围为_______. 三、解答题（应写出文字说明过程或演算步骤） 17. （本小题满分 10 分）某校高二某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同 程度的破坏，其可见部分如下：据此解答如下问题： （Ⅰ）计算频率分布直方图中[80,90) 间的矩形的高； （Ⅱ）根据频率分布直方图估计这次测试的平均分. 输入 x If x≤50 Then y=0.5 * x Else y=25+0.6*(x-50) End If 输出 y 18. （本小题满分 12 分）命题 p ：“关于 x 的不等式 2 2( 1) 0,( 0)x a x a a     的解集为”， 命题 q ：“在区间[ 2,4] 上随机地取一个数 x ，若 x 满足| | ( 0)x a a  的概率 5 6P  ”，当" "p q  与" "p q  一真一假时，求实数 a 的取值范围. 19．（本小题 满分 12 分）在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为矩形，平面 ABEF  平面 ABCD， EF//AB， 90BAF   ,AD=2,AB= AF=2EF=l，点 P 在棱 DF 上． （Ⅰ）若 P 为 DF 的中点，求证：BF//平面 ACP （Ⅱ）若直线 PC 与平面 FAD 所成角的正弦值为 2 3 ， 求 PF 的长度． 20. （本小题满分 12 分）某农场所对冬季昼夜温差大小与某反季大豆新品种发芽多少之间的关系进 行分析研究，他们分别记录了 2016 年12 月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 颗 种子中的发芽数，得到如下表： 日期 12 月 1 日 12 月 2 日 12 月 3 日 12 月 4 日 12 月 5 日 温差 0( )x C 10 11 13 12 8 发芽数 y（颗） 23 25 30 26 16 该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取 2 组，用剩下的 3 组数据求线性回归方程，再 对被选取的两组数据进行检验。 （Ⅰ）求选取的 2 组数据恰好是不相邻的 2 天数据的概率； （Ⅱ）若选取的是 12 月 1 日至 12 月 5 日的两组数据，请根据 12 月 2 日至 12 月 4 日的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程  y bx a  ；并预报当温差为 09 C 时，种子发芽数. 附：回归直线方程：  y bx a  ，其中 1 22 1 n i i i n i i x y nxy b x nx         ； a y bx   21. （本小题满分 12 分）已知动圆过定点A(4,0), 且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为 8. (Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 已知点 B(-3,0), 设不垂直于 x 轴的直线l 与轨迹 C 交于不同的两点 P, Q, 若 x 轴是 PBQ 的 角平分线, 证明直线l 过定点. 22. （本小题满分 12 分）已知椭圆   2 2 1 2 2: 1 0x yC a ba b     的离心率为 2 2 ，其短轴的下端点 在抛物线 2 4x y 的准线上. （Ⅰ）求椭圆 1C 的方程； （Ⅱ）设O 为坐标原点， M 是直线 : 2l x  上的动点， F 为椭圆的右焦点，过点 F 作OM 的垂线 与以OM 为直径的圆 2C 相交于 ,P Q 两点，与椭圆 1C 相交于 ,A B 两点，如图所示. ①若 6PQ  ，求圆 2C 的方程； ②设 2C 与四边形OAMB 的面积分别为 1 2,S S ，若 1 2S S ，求  的取值范围. 成都外国语学校高 2015 级（高二上期）期末考试 数学试题（理科） 参考答案 一、选择题：CBBCD CABBA CD 二、填空题：13. 31 14. 1 15. 2 2 13 9 x y  16. [0,2] 三、解答题： 17.解：（Ⅰ）设该班的数学测试成绩的人数为 m ，则由频率分布直方图第一个矩形框知道： 2 0.008 10m   得到 25m  ，所以频率分布直方图中[80,90) 间的矩形的高为 25 21 1 0.01625 10    （Ⅱ） 55 0.08 65 0.28 75 0.4 85 0.16 95 0.08 73.8x            所以：根据频率分布直方图估计这次测试的平均分为 73.8分. 18.解：命题 p ：因为关于 x 的不等式 2 2( 1) 0x a x a    的解集为 所以： 2 2( 1) 0x a x a    对应的 0  即： 23 2 1 0a a   即： 1a   或者 1 3a  ， 又 0a  ，所以： 1 3a  命题 q ：“在区间[ 2,4] 上随机地取一个数 x ，若 x 满足| | ( 0)x a a  的概率 5 6P  ” 因为| | ( 0)x a a  ，所以 a x a   当 2a  时，则 2 3P  不满足条件， 当 2a  时，则 ( 2) 5 6 6 aP    ，所以 3a  当" "p q  与" "p q  一真一假时，则 p q 与 一真一假时 则 p q与 一真一假时，得到实数 a 的取值范围： 1[ ,3)3 19.解：（Ⅰ）证明：连接 BD，交 AC 于点 O，连接 OP． 因为 P 是 DF 中点，O 为矩形 ABCD 对角线的交点， 所以 OP 为三角形 BDF 中位线， …………3 分 所以 BF // OP， 因为 BF  平面 ACP，OP  平面 ACP， 所以 BF // 平面 ACP． ……………………5 分 (II)因为∠BAF=90º，所以 AF⊥AB， 又因为 平面 ABEF⊥平面 ABCD， 且平面 ABEF ∩平面 ABCD= AB， 所以 AF⊥平面 ABCD， …………7 分 所以 AF⊥CD 因为四边形 ABCD 为矩形 所以 AD⊥CD …………9 分 所以 CD⊥平面 FAD 所以  CPD 就是直线 PC 与平面 FAD 所成角………10 分 因为 sin CPD= 2 3 ,CD=1,得 PF= 5 2 ………12 分 20.解：(Ⅰ)设这五组数据分别记为：1,2,3,4,5 则从中任取两组共有 10 个结果：分别为 (1,2),(1,3),(1,4),(1,5) ，(2,3),(2,4),(2,5) ，(3,4),(3,5) ， (4,5) ；不相邻的结果有： (1,3),(1,4),(1,5) ， (2,4),(2,5) ， (3,5) 则 6 3 10 5P   (Ⅱ)由数据得： 12, 27x y  ，由公式： 1 22 1 5 2 n i i i n i i x y nxy b x nx          ，  3a y bx    所以线性回归方程：  5 32y x  所以：当 9x  时，  19.5y  ，即种 子发芽数为 19 或 20. 21.解：(Ⅰ)设动圆圆心 ( , )P x y ，则 2 2 2 2| | | | 4PM PA x   即： 2 2 2 2( 4) 4x y x    即动圆圆心的轨迹方程为： 2 8y x (Ⅱ) 设两点 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y 设不垂直于 x 轴的直线： :l x ty m  （ 0t  ），则 2 8 x ty m y x     有： 2 8 8 0y ty m   ，所以： 1 2 1 28 , 8y y t y y m    因为 x 轴是 PBQ 的角平分线, 所以： 0BP BQk k  即： 1 2 1 2 03 3 y y x x    即： 1 2 1 22 ( 3)( ) 0ty y m y y    则： 16 (3 )8 0tm m t    ，所以： 3m  : 3l x ty  所以直线l 过定点 (3,0) 。 22.（Ⅰ） 椭圆短轴下端点在抛物线 2 4x y 的准线上， 1b  2 2 2 2 2 c a be a a    ， 2a  所以椭圆 1C 的方程为 2 2 12 x y  （Ⅱ）①由（1），知  1,0F ，设  2,M t ，则 2C 的圆心坐标为 1, 2 t     2C 的方程为  2 2 21 12 4 t tx y        ，当 0t  时， PQ 所在直线方程为 1x  ，此时 2PQ  ， 与题意不符，不成立， 0t  . 可设直线 PQ 所在直线方程为   2 1 0y x tt     ，即  2 2 0 0x ty t    又圆 2C 的半径 2 211 44 2 tr t    由 2 2 2 2 PQ d r        ，得   2 22 2 2 6 1 1 42 4 44 t t t               解得 2 4 2t t    圆 2C 的方程为   2 21 1 2x y    或   2 21 1 2x y    ②当 0t  ，由①，知 PQ 的方程为 2 2 0x ty   由 2 2 12 2 2 0 x y x ty        消去 y ，得 2 2 28 16 8 2 0t x x t     则       2 2 2 4 216 4 8 8 2 8 4 0t t t t         2 1 2 1 22 2 16 8 2,8 8 tx x x xt t             2 2 22 2 2 2 1 2 1 2 22 22 16 4 8 8 22 4 41 4 2 2 88 t tt tAB x x x xt t tt                             2 22 2 2 2 2 2 4 41 1 44 2 22 2 8 8 t ttS OM AB t t t              2 2 1 1 24 ,4S r t S S         2 2 21 2 2 2 2 2 2 4 2 8 2 4 2 24 4 48 8 8 22 4 4 4 4 8 tS t tS t t t t t                        当 且仅当 2 2 44 4 t t    ，即 0t  时取等号 又 20, 2t     ，当 0t  时，直线 PQ 的方程为 1x  2, 2AB OM  ， 2 1 22S OM AB    2 1 1 2S OM       ， 1 2 2 22 S S      综上， 2 2   ， 所以实数  的取值范围为 2 ,2     .