浙江省丽水市四校2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

浙江省丽水市四校2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

2019 年 11 月高一四校期中联考数学学科试卷 一、选择题 1.已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ∵ ， ， ∴ 故选：B 2.函数 定义域为（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】 根据分母不为 0，被开方数大于等于 0 得到关于 x 的不等式，解出即可． 【详解】由题 且 故选：D 【点睛】本题考查了求函数的定义域问题，准确列出不等式是关键，是一道基础题． 3.下列各函数中，与 表示同一函数的是（ ） A. B. C. y=（ ）2 D. 【答案】D 【解析】 【详解】分析：确定函数的三要素是：定义域、对应法则和值域，据此可判断出答案． 详解：函数 y=x 的定义域为 R， 的 ={1,2}A ={2,3}B A B = {2} {1,2,3} {1,3} {2,3} { }A 1 2= ， { }2 3B = ， { }1,2,3A B∪ = ( ) 1 1 xf x x x = + + − { | 1}x x ≥ − { | 1}{ | 1}x x x x≤ − ≤ − R { | 1x x ≥ − 1}x ≠ 1 0 11 0 x xx + ≥ ⇒ ≥ − − ≠ 1x ≠ y x= 2xy x = 2y x= x 3 3y x= 对于 A：： ，定义域为{x∈R|x≠0}，它们定义域不相同，∴不是同一函数； 对于 B： =|x|，定义域为 R，但对应关系不相同，∴不是同一函数； 对于 C： ，定义域为{x|x≥0}，它们定义域不相同，∴不是同一函数； 对于 D： ，定义域为 R，对应关系也相同，∴是同一函数； 故选：D． 点睛：本题通过判断函数是否为同一函数主要考查函数的定义域、值域以及对应法则，属于 中档题.判断函数是否为同一函数，能综合考查学生对函数定义的理解，是单元测试卷经常出 现的题型，要解答这类问题，关键是看两个函数的三要素：定义域、值域、对应法则是否都 相同，三者有一个不同，两个函数就不是同一函数. 4.下列函数在区间 是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用基本初等函数的单调性逐项判断即可． 【详解】A 中， 在（-1，+∞）和（﹣∞，-1）上递减，故在（0，+∞）上单调 减，排除 A； B 中， 1 在 R 上单调递减，故排除 B； C 中，y＝x2﹣x-1 在（ ]上递减，[ ，+∞）上递增，故在（0，+∞）上不单调，排除 C； D 中，y＝ln（x+1）在（﹣1，+∞）上递增，故在（0，+∞）上也递增， 故选：D． 【点睛】本题考查函数的单调性的判断问题，属基础题，熟记常见基本初等函数的单调性问 题是解决问题的基础，要熟练掌握． 2xy x = 2y x= 2( )y x= 3 3y x x= = (0, )+∞ 1 1y x = + 1 12 x y  = −   2 1y x x= − − ln( 1)y x= + ( ) 1 1f x x = + 1( )2 xy = − 1 2 −∞， 1 2 5.设 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系为 　　 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 因 ，故 ，应选答案 A。 6.已知函数 ，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】 令 g（x）＝ax5+bx3+cx，得 g（x）为奇函数，再利用奇偶性求值即可 【详解】令 g（x）＝ax5+bx3+cx，则 g（5）＝7-3=4，又 g（x）为奇函数，故有 g（-5）＝ ﹣4，故 f（-5）＝g（-5）+3=-1． 故选：A 【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，求函数值，令 g（x）＝ax5+bx3+cx，求出 g（5）＝ 4，是解题的关键． 7.函数 的图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】首先由函数解析式可知函数 为奇函数，故排除 A,C，又当 时， 0.43a = 3log 0.4b = 30.4c = ( ) a c b> > a b c> > c a b> > c b a> > 3log 0.4 0, 1,0 1b a c= < < a c b> > 5 3( ) 3f x ax bx cx= + + + (5) 7f = ( 5)f − = 1− 4− 7− ln( ) x xf x x = ( ) lnx xf x x = 0x > ，在 上单调递增，故选 B 8.若函数 是 上的减函数，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意结合分段函数的解析式分类讨论即可求得实数 a 的取值范围. 【详解】当 时， 为减函数，则 ， 当 时，一次函数 为减函数，则 ，解得： ， 且在 处，有： ，解得： ， 综上可得，实数 的取值范围是 . 本题选择 C 选项. 【点睛】对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注 意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进 行直观的判断． 9.定义在 上的函数 满足 ，且 时， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由 可得函数 为奇函数，由 可得 ， 故函数的周期为 4。所以 ，因为 ，所以 ( ) lnx lnxf x xx = = ( )0, ∞+ ( ) ( ) , 1 2 3 1, 1 xa xf x a x x  >=  − + ≤ R a 2 ,13      3 ,14     2 3,3 4      2 ,3  +∞   1x > xa 0 1a< < 1x ≤ ( )2 3 1a x− + 2 3 0a− < 2 3a > 1x = ( ) 12 3 1 1a a− × + ≥ 3 4a ≤ a 2 3,3 4      R ( )f x ( ) ( ), ( 2) ( 2)f x f x f x f x− = − − = + ( 1,0)x∈ − 1( ) 2 5 xf x = + 2(log 20)f = 1− 4 5 − 1 4 5 ( ) ( )f x f x− = − ( )f x ( ) ( )2 2f x f x− = + ( 4) ( )f x f x+ = 2 2 5(log 20) (4 log )4f f= + 2 5(log )4f= 2 2 5 4( log ) (log )4 5f f= − − = − 2 41 log 05 − < < 2 4(log )5f 2 4log 5 12 5 = + 。故 ，选 A。 点睛：根据 得到函数 为奇函数和周期函数是解 题的关键，然后根据对数的运算性质将问题转化到区间 内解决。 10.已知 ，且 ，则使不等式 成立的 还应满足的条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 确定函数 的奇偶性及单调性即可判断 【详解】易知 为奇函数，且在 上单调递增 ，则 异号，不妨设 则 故选：C 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查数形结合思想，是中档题 11.已知函数 在 上是减函数，且对任意的 总有 则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由函数 在 上是减函数得 a≥2， 4 1 15 5 = + = 2(log 20) 1f = − ( ) ( ) ( ) ( ), 2 2f x f x f x f x− = − − = + ( )f x ( )1,0− 2 2 1 ,0 1( ) 1 , 1 0 x xf x x x  − < ≤=  − − − ≤ < 0 | | 1,0 | | 1, 0m n mn< < < < < ( ) ( ) 0f m f n+ > ,m n m n> m n< 0m n+ > 0m n+ < 2 2 1 ,0 1( ) 1 , 1 0 x xf x x x  − < ≤=  − − − ≤ < 2 2 1 ,0 1( ) 1 , 1 0 x xf x x x  − < ≤=  − − − ≤ < ( ) ( )0,1 , 1,0− 0 | | 1,0 | | 1, 0m n mn< < < < < ,m n 0m n< < ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0f m f n f m f n m n m n+ > ⇔ > − ⇔ > − ⇔ + > 2( ) 2 5f x x ax= − + ( ],2−∞ 1 2, [1, 1],x x a∈ + 1 2( ) ( ) 4,f x f x− ≤ a [1,4] [2,3] [2,5] [ )3,+∞ 2( ) 2 5f x x ax= − + ( ],2−∞ ( ) ( ) ( )max1 1 1 1 ,a a f x f− > + − ⇒ = 又 ， 由任意的 总有 所以 ，结合 a≥2， 得实数 的取值范围为 , 故选 B. 12.已知 ，函数 ，函数 与函数 的 图像相交于 ，则 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 确定 的对称中心，利用对称性求解即可 【详解】 ，故函数 关于（0,1）中 心对称 ，故函数 关于 （0,1）中心对称，又函数 与函数 的图像相交于 ，则 关于（0,1）对称，故 =2 故选：B 【点睛】本题考查函数的对称性，考查推理能力，准确判断两函数均关于（0,1）对称是关键， 是中档题 二、填空题 13.计算： ， ． ( ) ( )minf x f a= 1 2, [1, 1],x x a∈ + 1 2( ) ( ) 4,f x f x− ≤ ( ) ( )1 4f f a− ≤ a [ ]2,3 1a > 22( ) , ( ) log ( 1 )1 x ax af x g x a x axa = = + +− ( )f x ( )g x ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 1 2y y+ = 22( ) , ( ) log ( 1 )1 x ax af x g x a x axa = = + +− 2 2 2 2( ) ( ) 21 1 1 1 x x x x x x x a a af x f x a a a a − −+ − = + = + =− − − − ( )f x 2 2 2( ) ( ) log ( 1 ) log ( 1 ) log 2a a ag x g x a x ax a x ax a+ − = + + + + − = = ( )g x ( )f x ( )g x ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 1 2y y+ 2 2log 2 = 2 4log 3 log 32 + = 【答案】 【解析】 ； . 考点：对数运算 14.函数 （其中 ，且 ）图像上的定点 的坐标为_____________； 若幂函数 的图像经过点 ，则 _____________. 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 令 ，解得 即可求解定点 的坐标；将点代入幂函数 解析式可求 【详解】令 ，解得 =2, ,则 设幂函数 故答案为： ； 点睛】本题考查了指数函数过定点问题，幂函数的定义，是一道基础题． 15.若函数 ，则 _____________； 的表达式为_____________. 【答案】 (1). 3 (2). 【解析】 【分析】 利用换元法求解析式得 的表达式，并将 代入求解即可； 【详解】令 故 ，则 3 故答案为：3 ； 【 1 ,3 32 − 1 2 2 2 2 1log log 22 2 −= = − 2 4 2 4log 3 log 3 log 3 log 32 2 2 3 3 3 3+ = × = × = 2( ) 3xf x a −= + 0a > 1a ≠ A ( )g x A ( )g x = (2,4) 2x 2 0x − = x A ( )g x 2 0x − = x 2 2(2) 3 4f a −= + = ( )2,4A 2( ) 2 4 2 ( )g x x g x xα α α= ∴ = ⇒ = ∴ = (2,4) 2x 2(1 ) 1f x x x+ = + + (2)f = ( )f x 2( ) 1f x x x= − + ( )f x x ( ) ( )2 21 , 1 1 1 1 1x t x t f t t t t t+ = ∴ = − ⇒ = − + − + = − + 2( ) 1f x x x= − + (2)f = 2( ) 1f x x x= − + 【点睛】本题考查换元法求解析式，考查计算能力，是基础题 16.定义 ，设函数 ，则 _____________； 的最大值为_____________. 【答案】 (1). 4 (2). 5 【解析】 【分析】 画出 在同一坐标系的图像，即可求解 【详解】函数 表示 取小 画出 在同一坐标系的图像如图所示： 联立 得 则 的最大值为 5， 故答案为：4；5 【点睛】本题给出取最小值的函数 min{a，b}，着重考查了分段函数的单调性和函数的最值及 其几何意义等知识，属于中档题． 17.函数 的单调递增区间为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】 { } ,min , , a a ba b b a b <=  ≥ { }2( ) min 2 5, 3f x x x x= − + + + (1)f = ( )f x 2 2 5, 3y x x y x= − + + = + { }2( ) min 2 5, 3f x x x x= − + + + 2 2 5, 3y x x y x= − + + = + 2 2 5, 3y x x y x= − + + = + 2 2 5, 3y x x y x= − + + = + ( ) ( )1,2 , 2,5 ,A B− ( )f x ( )1 4f = ( )2 1 2 ( ) log 2 8f x x x= − − ( , 2)−∞ − 利用复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，求出 f（x）的单调递增区间． 【详解】 解得 或 则 在 单调递增， 单调递减， 又 为减函数，则 的单调递增区间为 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题． 18.函数 在区间 上的最大值的最小值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】 令 ， 求 其 值 域 ， 讨 论 的 大 小 关 系 得 函 数 的最大值，再利用单调性求最大值的最小值即可 【详解】 令 ，则函数为增函数，故 当 即 时 ，则 的最大值为 当 ，即 时， ，则 的最大 值为 当 ，即 时， 的最大值为 故①当 ，即 时， 的最大值为 2 2 8 0x x− − > 4,x > 2x < − 2t 2 8x x= − − ( )4,+∞ ( ), 2−∞ − 1 2 logy t= ( )2 1 2 ( ) log 2 8f x x x= − − ( ), 2−∞ − ( , 2)−∞ − 1 2 ( ) 2 logxf x x a= − − [1,2] 3 2 ( ) 22 logxg x x a= + − 2 ,5a a− − 1 2 ( ) 2 logxf x x a= − − 1 2 2 ( ) 2 log 2 logx xf x x a x a= − − = + − ( ) 22 logxg x x a= + − ( ) [ ]2 ,5g x a a∈ − − 2 0,a− ≥ 2a ≤ ( ) ( ) [ ]2 ,5f x g x a a= ∈ − − 1 2 ( ) 2 logxf x x a= − − 5 a− 5 0a− ≤ 5a ≥ ( ) ( )f x g x= − [ ]5, 2a a∈ − − 1 2 ( ) 2 logxf x x a= − − 2a − 2 0 5a a− < < − 2 5a< < 1 2 ( ) 2 logxf x x a= − − { }max 5 , 2a a− − 5 2a a− ≥ − 72 2a< ≤ 1 2 ( ) 2 logxf x x a= − − 5 a− ② ，即 时 的最大值为 综上：函数 在区间 上的最大值为 函数 先减后增，则 故答案为： 【点睛】本题考查分段函数的最值，考查函数单调性的应用，考查分类讨论思想，是中档题 19.已知函数 ，若对任意 恒成立，则实数 的取值范 围是___． 【答案】 【解析】 当 时，函数 ， ，不满足对任意 ， 恒 成立 当 时， ， ∴ 或 ∴ 当 时， ，不满足对任意 ， 恒成立 综上可得， 5 2a a− < − 7 52 a< < 1 2 ( ) 2 logxf x x a= − − 2a − 1 2 ( ) 2 logxf x x a= − − [1,2] ( ) 75 , 2 72, 2 a a h a a a  − ≤=   − > ( ) 75 , 2 72, 2 a a h a a a  − ≤=   − > ( )min 7 3 2 2h a h = =   3 2 ( ) 2 2 1f x ax x= + + ( ), 0x R f f x ∈ ≥  a 5 1 2a −≥ 0a = ( ) 2 1f x x= + [ ( )] 4 3f f x x= + x R∈ ( ) 0f f x  ≥  0a > 4 4 1( ) 14 af x a a −≥ = − 21 1 1 1[ ( )] (1 ) (1 ) 2(1 ) 1 1 0f f x f a aa a a a ≥ − = − + − + = − + ≥ 5 1 2a − −≤ 5 1 2a −≥ 5 1 2a −≥ 0a < 4 4 1( ) 14 af x a a −≤ = − x R∈ ( ) 0f f x  ≥  5 1 2a −≥ 故答案为 点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一 端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式 子满足的条件；二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；三是数形结合法，将不等式 转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 三、解答题 20.17.已知全集 ,集合 ， . (1)当 时，求集合 ; (2)若 ,求实数 的取值范围。 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）分别解出集合 A，B，再由集合交集的概念得到结果；（2）由补集的概念得到集合 B 的 补集，再由交集为空集列出不等式，即可得到结果. 【详解】（1）当 a=2 时， ， 。 （2） ，即 故实数 的取值范围是 . 【点睛】本题考查集合交，补的运算，以及由集合的关系求参数的范围．属于基础题. 21.已知 是 上的奇函数， （1）求 值； （2）求 的单调递增区间，并用定义加以证明. 的 5 1 2a −≥ U R= { }2 0A x x a= + > { }2 2 3 0B x x x= − − > 2a = A B∩ ( )RA C B∩ = ∅ a { }3x x > ( ], 6−∞ − { }1A x x= > − { }1 3B x x x= − 或 { }3A B x x∩ = > { }1 3RC B x x= − ≤ ≤  ( )RA C B∩ = ∅ ∴ 32 a− ≥ 6a ≤ − a ( ], 6−∞ − 2( ) 1 x af x x bx += + + R ,a b ( )f x 【答案】（1） , （2）函数 在 上是增函数,证明见解析 【解析】 【分析】 （1）利用 ，再利用奇函数定义求得 b （2）利用单调性定义证明即可 【详解】（1） 由 ， 则 ； （2） 上是增函数. 任取 ，且 ， 则 ， 时， ， 函数 在 上是增函数. 【点睛】本题考查奇偶性求参数，考查单调性判断，考查推理计算能力，是中档题 22.已知 （1）若函数 的定义域为 ，求实数 的取值范围； （2）若函数 在区间 上恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）转化为 的解集为 ，利用判别式小于 0 求解 0a = 0b = ( )f x ( 1,1)− (0) 0 0f a= ⇒ = (0) 0 0f a= ⇒ = 2 2( ) ( ) 0 01 1 x xf x f x x bx x bx −+ − = ⇒ + =+ + − + 0b = 2( ) ( )( 1,1)1 xf x x Rx = ∈ −+ 1 2, ( 1,1)x x ∈ − 1 2x x< ( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 1 1 21 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 x x x xx xf x f x x x x x − −− = − =+ + + + 2 2 1 2 2 11 0, 1 0, 0x x x x+ > + > − > 1 2, ( 1,1)x x ∈ − 1 2 1 0x x − < ( ) ( )1 2f x f x∴ < ∴ ( )f x ( 1,1)− ( )2 0.5( ) logf x x mx m= − − ( )f x R m ( ) 0f x > 1 1[ , ]2 2 − m ( 4,0)− 1 02 a− < < 2 0x mx m− − > R （2）分离参数求最值即可求解 【详解】（1）由函数 的定义域为 可得 不等式 的解集为 ， 所以 ，解得 ， 所以所求 的取值范围是 . （2）由函数 在区间 上恒成立， 转化为： 在 上恒成立 即当 时， 恒成立 ，当 时， 取得最大值为 ， . 当 时， 取得最小值为 0， ， 综上所述， 【点睛】本题考查对数函数定义域问题，考查不等式恒成立，考查转化化归能力，其中分离 参数是常见方法，是中档题 23.已知函数 . （1）当 时，求 的值域； （2）当 时，求函数 在区间 上的最小值. 【答案】（1） （2） . ( )2 0.5( ) logf x x mx m= − − R 2 0x mx m− − > R 2 4 0m m∆ = + < 4 0m− < < m ( 4,0)− ( ) 0f x > 1 1[ , ]2 2 − 20 1x mx m< − − < 1 1[ , ]2 2 − 1 1[ , ]2 2x∈ − 2 1 1 m x xm x > − < + 1 1,2 2x  ∈ −   1 2x = 1x − 1 2 − 1 2 > −∴m 0x = 2 11 21 1 xy xx x = = + + −+ + 0m∴ < 1 02 m− < <∴ 2( ) | |f x ax x a= − − 1a = ( )f x 0a > ( )f x [0, )+∞ 5[ , )4 − +∞ 2 min 4 1 2,04 4( ) 2, 4 a aaf x a a  − < <=  − ≥ 【解析】 【分析】 （1）将 代入分段，利用单调性求值域即可 （2）讨论二次函数对称轴与定义域关系求最小值 【详解】（1） 时， 在 上递减，在 上递增 值域为 （2） ①当 时， ，对称轴 在 单调递增， ②当 时， ，对称轴 （i）当 即 时， 单调递增 ， （ii）当 即 时， 在 单调递减，在 单调递增 若 即 时， 在 1a = 1a = 2 2 1, 1( ) 1, 1 x x xf x x x x  − + ≥=  + − < ( )f x 1( , )2 −∞ − 1( , )2 − +∞ 1 5( ) 2 4f x f  ≥ − = −  ∴ ( )f x∴ 5[ , )4 − +∞ 2 2 2 ,( ) , ax x a x af x ax x a ax x a x a  − + ≥= − − =  + − < x a< 2( )f x ax x a= + − 1 02x a = − < ( )f x∴ [0, ]a ( ) (0)f x f a∴ ≥ = − x a 2( )f x ax x a= − + 1 02x a = > 1 2 aa  2 2a ( )f x [ , )a +∞ 3( ) ( ) (0)f x f a a f a≥ = > = −∴ min( ) (0)f x f a= = −∴ 1 2 aa > 20 2a< < ( )f x 1[ , )2a a 1[ , )2a +∞ 21 4 1( ) 2 4 af x f a a − ≥ =  ∴ 24 1 4 a aa − ≥ − 2 2 4 2a≤ < min( ) (0)f x f a= = − 若 即 时， 综上 【点睛】本题考查分段函数应用，考查二次函数求值域，考查分类讨论思想，是中档题 24 1 4 a aa − < − 20 4a< < 2 min 1 4 1( ) 2 4 af x f a a − = =   2 min 4 1 2,04 4( ) 2, 4 a aaf x a a  − < <=  − ≥