上海市浦东新区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析

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www.ks5u.com 浦东新区高一上期末数学试卷 一、填空题 ‎1.已知集合，用列举法可表示为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解方程得或，用列举法表示，即可.‎ ‎【详解】方程的解为：或 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查集合的表示方法，属于容易题.‎ ‎2.函数的定义域是____________.‎ ‎【答案】(2,+∞)‎ ‎【解析】‎ 详解】∵，∴．‎ ‎3.命题“若，则”的逆否命题是________.‎ ‎【答案】若，则 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，写出即可.‎ - 18 -‎ ‎【详解】命题“若，则”的逆否命题是“若，则”‎ 故答案为：若，则 ‎【点睛】本题考查命题的四种形式，属于容易题.‎ ‎4.若函数，则________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求解，再求，即可.‎ ‎【详解】当时，则.‎ 当时，则.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查分段函数求值，属于较易题.‎ ‎5.已知集合，且，则实数值为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可知，，根据元素的互异性可知，求解即可.‎ ‎【详解】若使得成立，则需，即或 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查集合之间的关系，属于容易题.‎ - 18 -‎ ‎6.已知集合，若，则方程的解为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 由题意可知，是方程的根，解得.方程等价变形为，解得，即可.‎ ‎【详解】‎ 是方程的根，即，解得.‎ 又方程 ‎，解得.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查元素与集合的关系以及实数指数幂的运算，属于较易题.‎ ‎7.函数零点个数为_________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数的零点个数，等价于方程根的个数，等价于函数与交点的个数，在同一坐标系下，画出函数图象，确定交点个数即可.‎ ‎【详解】由题意可知，在同一坐标系下，画出与的函数图象，如图所示 - 18 -‎ 由图可知，函数与有一个交点，则函数有一个零点.‎ 故答案为：1‎ ‎【点睛】本题考查函数的零点个数，属于较易题.‎ ‎8.设函数的反函数为，则_________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据原函数与反函数的关系，解方程，即可.‎ ‎【详解】令解得 函数的反函数为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查反函数，属于较易题.‎ ‎9.若函数是定义域为的偶函数，则_________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 18 -‎ 根据函数为偶函数，则定义域关于原点的对称，且，列方程组得，解方程组即可.‎ ‎【详解】函数是定义域为的偶函数 ‎，解得，‎ 即 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性，定义域关于原点对称是解决本题的关键，属于较易题.‎ ‎10.方程的解为_________.‎ ‎【答案】10或100‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，则方程变形为，解得或，即或，解方程即可.‎ ‎【详解】令，则方程变形为.‎ 解得或，即或，‎ 解得或 故答案为：或 ‎【点睛】本题考查解对数方程，属于较易题.‎ ‎11.己知函数在区间上的最大值是2,则实数______.‎ - 18 -‎ ‎【答案】或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数对称轴与区间关系，分类讨论求出最大值且等于2，解关于的方程，即可求解.‎ ‎【详解】函数，‎ 对称轴方程为为；‎ 当时，；‎ 当，‎ 即（舍去），或（舍去）；‎ 当时，，‎ 综上或.‎ 故答案为:或.‎ ‎【点睛】本题考查二次函数的图像与最值，考查分类讨论思想，属于中档题.‎ ‎12.已知为奇函数，且在上是减函数，若不等式在上都成立，则实数的取值范围是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据为奇函数，且在上是减函数，可知，即，令，根据函数在上单调递增，求解的取值范围，即可.‎ - 18 -‎ ‎【详解】为奇函数，且在上是减函数 在上是减函数.‎ ‎∴，即.‎ 令，则在上单调递增.‎ 若使得不等式在上都成立.‎ 则需.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，属于中档题.‎ 二、选择题 ‎13.下列四组函数中，表示同一函数的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的两要素，定义域与对应法则，判断两个函数是否为同一函数，即可.‎ ‎【详解】选项A，的定义为，的定义为不相同，不是同一函数.‎ 选项B，的定义为，的定义为不相同，不是同一函数.‎ - 18 -‎ 选项C，的定义为，的定义为相同，，是同一函数.‎ 选项D，的定义为，的定义为不相同，不是同一函数.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查函数的两要素，属于较易题.‎ ‎14.已知集合，，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式，得，即，与集合，求交集，即可.‎ ‎【详解】，‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查集合的运算，属于容易题.‎ ‎15.设命题甲为“0＜x＜3”，命题乙为“|x1|＜2“，那么甲是乙的（ ）‎ A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ - 18 -‎ ‎【分析】‎ 化简命题乙，再利用充分必要条件判断出命题甲和乙的关系．‎ ‎【详解】命题乙为“|x1|＜2，‎ 解得1＜x＜3．‎ 又命题甲为“0＜x＜3”，‎ 因为 ‎ 那么甲是乙的充分不必要条件．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.‎ ‎16.下列函数中，值域是的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求解四个选项对应函数的定义域，再根据定义域求解值域，即可.‎ ‎【详解】因为函数的定义域为，值域为，不是 所以选项A不符合题意.‎ 因为函数的定义域为或 所以值域为，不是，选项B不符合题意.‎ - 18 -‎ 因为函数的定义域为关于原点对称，‎ 所以函数为偶函数.‎ 当时，单调递增 当时，单调递减 所以 即函数值域为，不是，所以选项C不符合题意.‎ 因为函数的定义域为关于原点对称， ‎ 所以函数为偶函数.‎ 当时，单调递减 当时，单调递减 即函数值域为，所以选项D符合题意.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查求函数的值域，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17.已知函数在区间上的最大值比最小值大，求实数的值.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知，函数在单调递增，则，解方程，即可.‎ - 18 -‎ ‎【详解】函数 函数在单调递增 即，‎ 又函数在区间上的最大值比最小值大.‎ ‎，解得或（舍去）‎ 综上所述：‎ ‎【点睛】本题考查指数函数的单调性，属于较易题.‎ ‎18.已知函数 求：(1)函数的定义域；‎ ‎(2)判断函数的奇偶性，并加以证明.‎ ‎【答案】(1)；(2)偶函数，证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据分式分母不为0，开偶次方的根式，被开方式大于或者等于0，列不等式组，求解即可.‎ ‎(2)根据函数奇偶性的定义，证明即可.‎ ‎【详解】(1)若使得函数有意义 则需解得或.‎ - 18 -‎ 所以函数的定义域为.‎ ‎(2)由(1)可知，函数的定义域为关于原点对称 函数为偶函数.‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性，属于较易题.‎ ‎19.甲乙两地的高速公路全长166千米，汽车从甲地进入该高速公路后匀速行驶到乙地，车速（千米/时）.已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分为，固定部分为220元.‎ ‎(1)把全程运输成本（元）表示为速度（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；‎ ‎(2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本为多少元？（结果保留整数）‎ ‎【答案】(1)；(2)当时，最小运输成本为696元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意可知，汽车的行驶时间为（小时），汽车每小时的运输成本为，从而确定全程运输成本（元）表示为速度（千米/时）的函数关系，即可.‎ ‎(2)由(1)可知，，根据对号函数，求解即可.‎ ‎【详解】(1)因为汽车从甲地进入该高速公路后匀速行驶到乙地，车速（千米/时）.‎ - 18 -‎ 所以汽车的行驶时间为（小时）‎ 又汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分为，固定部分为220元 所以汽车每小时的运输成本为（元）‎ 则全程运输成本 ‎(2) 由(1)可知，‎ 当时，函数单调递减 当时，函数单调递增 所以，当时，全程运输成本取得最小值 即最小运输成本为元.‎ ‎【点睛】本题考查函数的实际应用，属于中档题.‎ ‎20.已知是整数，幂函数在上是单调递增函数.‎ - 18 -‎ ‎(1)求幂函数的解析式；‎ ‎(2)作出函数的大致图象；‎ ‎(3)写出的单调区间，并用定义法证明在区间上的单调性.‎ ‎【答案】(1)；(2)图象见解析；(3)减区间为；增区间为，证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据幂函数在上是单调递增函数，可知，解不等式即可.‎ ‎(2)由(1)可知，则，先画出的图象，再将该图象轴下方的部分翻折到轴上方，即可.‎ ‎(3)根据(2)图象写出单调区间，再根据定义法证明函数单调性，即可.‎ ‎【详解】(1)由题意可知，，即 因为是整数，所以或 当时，‎ 当时，‎ 综上所述，幂函数的解析式为.‎ ‎(2) 由(1)可知，则 函数的图象，如图所示：‎ - 18 -‎ ‎(3)由(2)可知，减区间为；增区间为 当时，‎ 设任意的，且 则 又，且 即在区间上单调递增.‎ ‎【点睛】本题考查求幂函数的解析式以及画函数图象，单调性的定义法证明.属于中档题.‎ ‎21.已知函数的反函数的图象经过点，函数为奇函数.‎ ‎(1)求函数的解析式；‎ ‎(2)求函数的零点；‎ ‎(3)设的反函数为，若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围.‎ - 18 -‎ ‎【答案】(1)；(2)；(3).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据原函数与反函数的关系可知，函数过点，代入求解值，即可.‎ ‎(2)由题意可知，解得，从而确定，令，即，即，解方程，即可.‎ ‎(3)由题意可知，，则不等式变形为，令，则，令，根据函数的单调性，可知，从而求解正实数的取值范围.‎ ‎【详解】(1)由题意，过点，即，解得 所以.‎ ‎(2)为上的奇函数 ‎∴，解得，即 则 令，即 则 即，解得.‎ - 18 -‎ ‎(3)由(2)可知 即 令，则 令，‎ 在单调递减 ‎∴‎ 若关于的不等式在区间上恒成立,则 又为正实数 ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查求函数的解析式，函数的零点，以及恒成立问题求参数取值范围，属于较难的题.‎ - 18 -‎ ‎ ‎ - 18 -‎