四川省南充市高中2020届高三第一次高考适应性考试数学（理）试题

四川省南充市高中2020届高三第一次高考适应性考试数学（理）试题

南充市高2020届第一次高考适应性考试 数学试题（理科）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合，按照并集定义，即可得出答案.‎ ‎【详解】，‎ ‎.‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.‎ ‎2.（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分母实数化，即可求得结果.‎ ‎【详解】.‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查复数的除法，属于基础题.‎ ‎3.“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.‎ ‎ 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据充分必要条件判断方法，即可得出结论.‎ ‎【详解】若，则成立；‎ 若，则，‎ 故不成立，‎ 所以“”是“”的充分不必要条件.‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查充分必要条件的判断，要注意三角函数值与角之间的关系，属于基础题.‎ ‎4.一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面积为，则球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：设球的半径为R，截面小圆半径为r，球的表面积 考点：圆的截面小圆性质及球的表面积 点评：球的半径为R，截面小圆半径为r，球心到截面的距离为d,则有，球的表面积 ‎5.函数的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二倍角化简，即可得答案.‎ ‎【详解】.‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查二倍角公式的应用以及三角函数的有界性，属于基础题.‎ ‎6.的展开式中的系数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二项展开式定理写出通项，即可求出结果.‎ ‎【详解】展开式的通项为 ‎，‎ 的系数是 故选:C ‎【点睛】本题考查展开式的系数，掌握通项公式是解题的关键，属于基础题.‎ ‎7.若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设直线方程为，即，直线与曲线有公共点，‎ 圆心到直线的距离小于等于半径，‎ 得，选择C 另外，数形结合画出图形也可以判断C正确．‎ ‎8.函数，若方程有且只有一个实数根，则实数满足（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出函数图像，数形结合，即可求出答案.‎ ‎【详解】做出函数图像，如下图所示：‎ 有且只有一个实数根.‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查函数零点的个数，考查数形结合思想，属于基础题.‎ ‎9.设点是线段的中点，点在直线外，若，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 两边平方，可得，即，利用直角三角形斜边中线与斜边长度的关系，即可求出.‎ ‎【详解】，两边平方得，‎ ‎，‎ ‎，‎ 是线段中点，.‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查向量的模长以及向量的数量积运算，属于基础题.‎ ‎10.的内角,,的对边分别为,,.若，则角（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理边化角，化切为弦，整理求出值，即可求出结果.‎ ‎【详解】，，‎ ‎，平方得，‎ 或，‎ 或，‎ 若则 ‎，‎ 若，则.‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查正弦定理边角互化，考查同角间的平方关系和三角函数值与角的关系，属于中档题.‎ ‎11.设是函数的导函数，且，（为自然对数的底数），则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数F（x）=，求出导数，判断F（x）在R上递增．原不等式等价为F（lnx）＜F（），运用单调性，可得lnx＜，运用对数不等式的解法，即可得到所求解集．‎ ‎【详解】可构造函数F（x）=，‎ F′（x）==，‎ 由f′（x）＞2f（x），可得F′（x）＞0，即有F（x）在R上递增．‎ 不等式f（lnx）＜x2即为＜1，（x＞0），即＜1，x＞0．‎ 即有F（）==1，即为F（lnx）＜F（），‎ 由F（x）在R上递增，可得lnx＜，解得0＜x＜．‎ 故不等式的解集为（0，），‎ 故选B．‎ ‎【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造， ‎ 构造， 构造， 构造等 ‎12.已知，，为曲线的左、右焦点，点为曲线与曲线在第一象限的交点，直线为曲线在点处的切线，若三角形的内心为点，直线与直线交于点，则点，横坐标之差为（ ）‎ A. B. C. D. 随的变化而变化 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出点坐标，得出切线方程，求出三角形的内切圆的半径、直线的方程，联立求出的横坐标，即可得出结论.‎ ‎【详解】联立消去，得，‎ 设，直线方程为 ①‎ 设三角形内切圆半径为，则由等面积可得 ‎ ②‎ 直线的方程为 ③‎ 联立①②③，化简可得，‎ 在中，内切圆圆心，各边的切点分别为，‎ 由圆的切线性质可得，‎ ‎，‎ ‎. ，‎ ‎.‎ 故选:A ‎ ‎【点睛】本题考查双曲线方程的性质以及焦点三角形的内切圆，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于综合题.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知，，，且，则__________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量平行的坐标关系，即可求解,‎ ‎【详解】，，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故答案为:3‎ ‎【点睛】本题考查向量的坐标表示、平行向量的坐标形式的充要条件，属于基础题.‎ ‎14.函数在区间上的最大值为_________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简函数，根据自变量的范围，即可求出结论.‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ 的最大值为2.‎ 故答案为:2‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的化简，以及三角函数最值，属于基础题.‎ ‎15.已知函数，则的值是________.‎ ‎【答案】11‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据所求值的自变量的关系，先求的值，即可求出结果.‎ ‎【详解】=‎ ‎，‎ ‎，， ‎ ‎=11‎ 故答案为:11‎ ‎【点睛】本题考查函数的对称性的应用，关键要转化为研究的值，属于中档题.‎ ‎16.过抛物线的焦点作斜率为的直线与该抛物线交于,两点，又过,两点作轴的垂线，垂足分别为,.若梯形的面积为，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设,联立直线与抛物线方程求出，代入，即可求出的值.‎ ‎【详解】设，抛物线的焦点，‎ 直线方程为，‎ 联立，消去，得，‎ 解得，‎ ‎，‎ 故答案为: ‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，以及梯形的面积公式，考查计算能力，属于中档题.‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎17. 从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：‎ ‎（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；‎ ‎（2）求频率分布直方图中的a，b的值；‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先频数分布表求出课外阅读时间不少于12小时的人数，再由对立事件的频率公式求出一名学生该周课外阅读时间少于12小时的频率；（Ⅱ）结合频数分布表、直方图确定课外阅读时间落在[4，6）、[8，10）的人数为17，求出对应的频率，分别由频率/组距求出a、b的值 试题解析：（1）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有 ‎6+2+2=10名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是．‎ 从该校随机选取一名学生，估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率为 ‎（2）课外阅读时间落在组的有17人，频率为，‎ 所以，‎ 课外阅读时间落在组的有25人，频率为，‎ 所以 考点：频率分布直方图 ‎18.在等比数列{an}中，an>0 (n∈N )，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2.‎ ‎ (1) 求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2) 设，数列{bn}的前n项和为Sn，当最大时，求n的值.‎ ‎【答案】(1) 25－n (2) 8或9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据等比数列的性质可知a1a5=a32，a2a8=a52化简a1a5+2a3a5+a2a8=25得到a3+a5=5，又因为a3与a5的等比中项为2，联立求得a3与a5的值，求出公比和首项即可得到数列的通项公式；（2）把an代入到bn=中得到bn的通项公式，即可得到前n项和的通项sn；把sn代入得到，讨论求出各项和的最大值时n的取值．‎ ‎【详解】解　(1)∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，‎ ‎∴a＋2a3a5＋a＝25，‎ 又an>0，∴a3＋a5＝5.‎ 又a3与a5的等比中项为2，‎ ‎∴a3a5＝4，而q∈(0,1)，‎ ‎∴a3>a5，∴a3＝4，a5＝1.‎ ‎∴q＝，a1＝16，∴an＝16×n－1＝25－n.‎ ‎(2)bn＝log2an＝5－n，‎ ‎∴bn＋1－bn＝－1，‎ ‎∴{bn}是以b1＝4为首项，－1为公差的等差数列，‎ ‎∴Sn＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴当n≤8时， >0；‎ 当n＝9时，＝0；‎ 当n>9时， <0.‎ ‎∴当n＝8或9时，＋＋＋…＋最大.‎ ‎【点睛】考查学生灵活运用等比数列等比中项性质的能力，掌握等比数列的通项公式，会进行数列的求和的公式.‎ ‎19.如图，在四棱锥中，底面是矩形，，,.‎ ‎（1）当为何值时，？证明你的结论；‎ ‎（2）当时，求面与面所成二面角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）只需，可推出为正方形，即可得到；‎ ‎（2）建立空间直角坐标系，求出各点坐标，再求出面与面的法向量，即可求出结论.‎ ‎【详解】（1）当时，为正方形，则.‎ 因为,,‎ 所以，又.‎ 所以.‎ 故当时，.‎ ‎（2）以为坐标原点，的方向为轴的正方向，‎ 的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向，‎ 建立空间直角坐标系，则 ‎，，，‎ ‎，，‎ 设是面的法向量，则 ‎，即可取,‎ 是平面的法向量，‎ 所以,‎ 所以，‎ 所以面与面所成二面角的正弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直的判定，以及用向量法求空间角，考查计算能力，属于中档题.‎ ‎20.已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在椭圆上.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）是否存在斜率为的直线与椭圆相交于,两点，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据椭圆定义求出，即可求出椭圆的标准方程；‎ ‎（2）假设满足条件的直线存在，与椭圆方程联立，求出直线满足的条件，根据已知条件在线段的垂直平分线上，结合直线的斜率公式，推导出直线不存在.‎ ‎【详解】（1）因为椭圆的左右焦点分别为，，‎ 所以.由椭圆定义可得,‎ 解得,所以 所以椭圆的标准方程为 ‎（2）假设存在满足条件的直线，设直线的方程为，‎ 由得，即 ‎，‎ ‎，‎ 解得 设，，则,,‎ 由于，设线段的中点为，则，‎ 所以又，‎ 所以，解得.‎ 当时，不满足.‎ 所以不存在满足条件的直线.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力.‎ ‎21.已知函数，‎ ‎（Ⅰ）若在函数的定义域内存在区间，使得该函数在区间上为减函数，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）当时，若曲线在点处的切线与曲线有且只有一个公共点，求实数的值或取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 分析：（Ⅰ）对函数求导，由函数在区间上为减函数，等价于在上有解，对进行分类讨论，从而可得实数的取值范围；（Ⅱ）根据导数的几何意义求得切线的方程，由切线与曲线有且只有一个公共点，等价于方程在上有且只有一解，从而设，则在上有且只有一个零点，求出函数有零点，然后讨论当时，时，利用导数研究函数的单调性，利用函数的零点，即可求出实数的值或取值范围．‎ 详解：（Ⅰ）因为.‎ 依题意知在上有解．‎ 当时显然成立；‎ 当时，由于函数的图象的对称轴，‎ 故需且只需，即，解得，故．‎ 综上所述，实数的取值范围为． ‎ ‎（Ⅱ）因为，，故切线方程为，即．‎ 从而方程在上有且只有一解．‎ 设，则上有且只有一个零点．‎ 又，故函数有零点．‎ ‎∵．‎ 当时，，又不是常数函数，故在上单调递增．‎ 所以函数有且只有一个零点，满足题意．‎ 当时，由，得或，且．‎ 由，得或；‎ 由，得．‎ 所以当在上变化时，，的变化情况如下表：‎ 增 极大值 减 极小值 增 根据上表知．‎ 而函数．‎ 所以，故在上，函数又存在一个零点，不满足题意．‎ 综上所述，． ‎ 点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义、转化思想、应用导数研究函数的零点问题以及分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题，解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出．本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等．‎ ‎22.在极坐标系中，已知曲线：和曲线：，以极点为坐标原点，极轴为轴非负半轴建立平面直角坐标系.‎ ‎（1）求曲线和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若点是曲线上一动点，过点作线段的垂线交曲线于点，求线段长度的最小值.‎ ‎【答案】(1)的直角坐标方程为，的直角坐标方程为.(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）极坐标方程化为直角坐标方程可得的直角坐标方程为，的直角坐标方程为.‎ ‎（2）由几何关系可得直线的参数方程为（为参数），据此可得，，结合均值不等式的结论可得当且仅当时，线段长度取得最小值为.‎ ‎【详解】（1）的极坐标方程即，则其直角坐标方程为，‎ 整理可得直角坐标方程为，‎ 的极坐标方程化为直角坐标方程可得其直角坐标方程为.‎ ‎（2）设曲线与轴异于原点的交点为，‎ ‎∵，∴过点，‎ 设直线的参数方程为（为参数），‎ 代入可得，解得或，‎ 可知，‎ 代入可得，解得，‎ 可知，‎ 所以，‎ 当且仅当时取等号，‎ 所以线段长度的最小值为.‎ ‎【点睛】直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生，,以便转化另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可以用一个参数来表示动点坐标，从而利用一元函数求与动点有关的最值问题.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）若恒成立，求实数的最大值；‎ ‎（2）在（1）成立的条件下，正数满足，证明：.‎ ‎【答案】(1)2；(2)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可得，则原问题等价于，据此可得实数的最大值.‎ ‎（2）证明：法一：由题意结合(1)的结论可知，结合均值不等式的结论有，据此由综合法即可证得.‎ 法二：利用分析法，原问题等价于，进一步，只需证明，分解因式后只需证，据此即可证得题中的结论.‎ ‎【详解】（1）由已知可得，‎ 所以，‎ 所以只需，解得，‎ ‎∴，所以实数的最大值.‎ ‎（2）证明：法一：综合法 ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，当且仅当时取等号，①‎ 又∵，∴，‎ ‎∴，当且仅当时取等号，②‎ 由①②得，∴，所以.‎ 法二：分析法 因为，，‎ 所以要证，只需证，‎ 即证，‎ ‎∵，所以只要证，‎ 即证，‎ 即证，因为，所以只需证，‎ 因为，所以成立，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查绝对值函数最值求解，不等式的证明方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎