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文档介绍
【数学】2021届一轮复习人教A版(文)第六章第二讲 等差数列及其前n项和作业
第二讲 等差数列及其前n项和 1.[2020唐山市摸底考试]已知Sn为等差数列{an}的前n项和,a5 =-2,S15 =150,则公差d =( ) A.6 B.5 C.4 D.3 2.[2020江西红色七校第一次联考]已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S8-S3 =45,则a6的值是( ) A.3 B.5 C.7 D.9 3.[2020湖北部分重点中学高三测试]已知等差数列{an}满足4a3 =3a2,则{an}中一定为零的项是( ) A.a6 B.a7 C.a8 D.a9 4.[2020大同市高三调研]若等差数列{an}的前n项和Sn有最大值,且a11a10<-1,则Sn取正值时项数n的最大值为( ) A.15 B.17 C.19 D.21 5.[2020安徽省示范高中名校联考][数学文化题]《周髀算经》中有这样一个问题:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列,冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为85.5尺,则芒种日影长为( ) A.1.5尺 B.2.5尺 C.3.5尺 D.4.5尺 6.[2019唐山市高三摸底考试]等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3+a11 =4,则S13 =( ) A.13 B.26 C.39 D.52 7.[2019广东百校联考]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1≠0,S2 =a4,则a5S3 =( ) A.1 B.23 C.53 D.79 8.[2019福建福州华侨中学期中]已知{an}是等差数列,Sn是其前n项和,且a1 =9,S5 =S9,那么使Sn最大的n是( ) A.6 B.7 C.8 D.9 9.[2020长春市第一次质量监测]已知数列{an}中,a1 =2,an+1 =2an+2n+1,设bn =an2n. (1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求数列{1bnbn+1}的前n项和Sn. 10.[2020唐山市摸底考试]已知等差数列{an}的公差不为0,其前n项和为Sn,若S3,S9,S27成等比数列,则S9S3 =( ) A.3 B.6 C.9 D.12 11.[2019江西红色七校第一次联考]已知数列{an}为等差数列,若a2+a6+a10 =π2,则tan(a3+a9)的值为( ) A.0 B.33 C.1 D.3 12.[2019山东三校联考][数学文化题]“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年,英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个求解同余式组的问题,现有这样一个问题:将1到2 018这2 018个数中,能被3除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{an},则此数列共有( ) A.98项 B.97项 C.96项 D.95项 13.[2020成都市测试]已知等差数列{an}前三项的和为-9,前三项的积为-15. (1)求等差数列{an}的通项公式; (2)若{an}为递增数列,求数列{|an|}的前n项和Sn. 14.[2019湖南永州三模]已知数列{an}是等差数列,其前n 项和为Sn,且满足a1+5a3 =S8 ,给出下列结论:①a10 =0;②S10最小;③S7 =S12;④S20 =0. 其中一定正确的结论是 ( ) A.①② B.①③④ C.①③ D.①②④ 15. [2020南昌市测试]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a2 =1,Sn+Sn-2 =2Sn-1+2(n≥3),则a3的值为 . 第二讲 等差数列及其前n项和 1.C 解法一 因为数列{an}是等差数列,首项为a1,公差为d,所以a5=a1+4d= - 2,S15=15a1+15×142d=150,解得a1= - 18,d=4,故选C. 解法二 因为数列{an}是等差数列,所以S15=15a8=150,所以 a8=10,所以3d=a8 - a5=10 - ( - 2)=12,所以d=4.故选C. 2.D 解法一 设等差数列{an}的公差为d,则S8 - S3=8a1+8×72×d - (3a1+3×22×d)=5a1+25d=45,即a1+5d=9,即a6=9,故选D. 解法二 因为S8 - S3=a4+a5+a6+a7+a8=5a6=45,所以a6=9,故选D. 3.A 解法一 设数列{an}的公差为d(d≠0),因为4a3=3a2,所以4(a1+2d)=3(a1+d),所以a1= - 5d,故an=a1+(n - 1)d=(n - 6)d.令(n - 6)d=0,得n=6,故选A. 解法二 设数列{an}的公差为d(d≠0),因为4a3=3a2,所以a3= - 3d.又a3=a1+2d,所以a1= - 5d,故an= - 5d+(n - 1)d.令an=0,得n=6,所以数列{an}中a6=0.故选A. 4.C 由等差数列{an}的前n项和Sn有最大值,且a11a10< - 1,可知等差数列{an}的公差d<0,a10>0,a11<0,且a11< - a10,则a10+a11<0.由a10>0,得2a10=a1+a19>0,所以S19>0,由a10+a11<0,得a1+a20=a10+a11<0,所以S20<0,所以Sn取正值时项数n的最大值为19,故选C. 【方法总结】 若等差数列{an}的前n项和为Sn,则有an=S2n - 12n - 1.因为Sn=(a1+an)n2,所以Sn与a1+an的符号相同,即a1+an>0⇔Sn>0,a1+an<0⇔Sn<0,a1+an=0⇔Sn=0. 5.B 设各节气日影长为等差数列{an},Sn是其前n项和,则S9=9(a1+a9)2=9a5=85.5,所以a5=9.5,由题意知a1+a4+a7=3a4=31.5,所以a4=10.5,所以公差d=a5 - a4= - 1,所以a12=a5+7d=2.5,即芒种日影长为2.5尺,故选B. 6.B 由等差数列的性质可知,a1+a13=a3+a11=4,∴S13=13(a1+a13)2=26,故选B. 【方法技巧】 利用等差数列的性质“若m+n=p+q,则am+an=ap+aq”可以有效简化运算. 7.B 设等差数列{an}的公差为d,由S2=a4,得2a1+d=a1+3d, 所以a1=2d,所以a5S3=a1+4d3a1+3d=6d9d=23.故选B. 8.B 因为a1>0,S5=S9,所以公差小于零,易知Sn=d2n2+(9 - d2)n(n∈N*),在坐标系中作出其图象(图略),可知其图象对应的抛物线开口向下且对称轴为直线n=7,故n=7时,Sn最大.故选B. 9.(1)当n≥2时,bn - bn - 1=an2n - an - 12n - 1=an - 2an - 12n=1, 又b1=1,所以{bn}是以1为首项,1为公差的等差数列. (2)由(1)可知,bn=n,所以1bnbn+1=1n - 1n+1, 所以Sn=1 - 12+12 - 13+…+1n - 1n+1=1 - 1n+1=nn+1. 10.C 解法一 设等差数列{an}的公差为d(d≠0),因为S3,S9,S27成等比数列,所以S92=S3S27,即(9a1+9×82d)2=(3a1+3×22d)(27a1+27×262d),即(a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d),化简得d2=2a1d.因为d≠0,所以d=2a1,则S9S3=9a1+9×82d3a1+3×22d=81a19a1=9,故选C. 解法二 设等差数列{an}的公差为d(d≠0),因为S3,S9,S27成等比数列,所以S92=S3S27,即[(a1+a9)×92]2=(a1+a3)×32×(a1+a27)×272,即(a1+a1+8d)2=(a1+a1+2d)(a1+a1+26d),化简得d2=2a1d.因为d≠0,所以d=2a1,则S9S3=(a1+a9)×92(a1+a3)×32=3(a1+a1+8d)a1+a1+2d=54a16a1=9,故选C. 解法三 设等差数列{an}的公差为d(d≠0),因为S3,S9,S27成等比数列,所以S92=S3S27,又S9=9a5,S3=3a2,S27=27a14,所以a52=a2a14,即(a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d),化简得d2=2a1d.因为d≠0,所以d=2a1,所以S9S3=9a53a2=3(a1+4d)a1+d=27a13a1=9,故选C. 11.D 因为数列{an}是等差数列,所以a2+a6+a10=3a6=π2,所以a6=π6,所以a3+a9=2a6=π3,所以tan(a3+a9)=tanπ3=3.故选D. 12.B 因为能被3除余1且被7除余1的数就是能被21除余1的数,所以an=21(n - 1)+1,由an=21(n - 1)+1≤2 018,得n≤2 03821,故此数列共有97项.故选B. 13.(1)设数列{an}的公差为d,则依题意得a2= - 3,则a1= - 3 - d,a3= - 3+d, ∴( - 3 - d)( - 3)( - 3+d)= - 15,解得d2=4,d=±2, ∴等差数列{an}的通项公式为an= - 2n+1或an=2n - 7. (2)由题意及(1)得an=2n - 7,∴|an|=7 - 2n,n≤3,2n - 7,n≥4, ①当n≤3时,Sn= - (a1+a2+…+an)=5+(7 - 2n)2n=6n - n2; ②当n≥4时,Sn= - a1 - a2 - a3+a4+…+an= - 2(a1+a2+a3)+(a1+a2+…+an)=18 - 6n+n2. 综上,数列{|an|}的前n项和Sn= - n2+6n,n≤3,n2 - 6n+18,n≥4. 14.C 设数列{an}的公差为d,因为a1+5a3=S8,所以a1+5a1+10d=8a1+28d,所以a1= - 9d. 所以an=a1+(n - 1)d=(n - 10)d,所以a10=0,故①一定正确. Sn=na1+n(n - 1)d2= - 9nd+n(n - 1)d2=d2(n2 - 19n),所以S7=S12,故③一定正确. 显然②与④不一定正确.故选C. 15.3 当n≥3时,由Sn+Sn - 2=2Sn - 1+2,得Sn - Sn - 1=Sn - 1 - Sn - 2+2,即an=an - 1+2,所以a3=a2+2=3.查看更多