【数学】2019届一轮复习北师大版 集合与常用逻辑用语 学案
第一章 集合与常用逻辑用语
第一节集__合
1．集合的相关概念
(1)集合元素的三个特性 确定性、无序性、互异性．
(2)元素与集合的两种关系 属于，记为；不属于，记为.
(3)集合的三种表示方法 列举法、描述法、图示法．
(4)五个特定的集合
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
或N＋
2．集合间的基本关系
表示
关系
文字语言
符号语言
记法
基本关系
子集
集合A的元素都是集合B的元素
x∈A⇒
x∈B
A⊆B或B⊇A
真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A
A⊆B，且
∃x0∈B，
x0∉A
AB或
BA
相等
集合A，B的元素完全相同
A⊆B，
B⊆A
A＝B
空集
不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集
∀x，x∉∅，∅⊆A，∅B(B≠∅)
∅
3．集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号
A∪B
A∩B
若全集为U，则集合A
表示
的补集为∁UA
图形
表示
意义
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈U，且x∉A}
4．集合的运算性质
(1)并集的性质 A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔BA.
(2)交集的性质 A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.
(3)补集的性质 A∪(∁UA)＝；A∩(∁UA)＝；
∁U(∁UA)＝；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.( )
(2){x|x≤1}＝{t|t≤1}．( )
(3){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( )
(4)任何一个集合都至少有两个子集．( )
(5)若AB，则A⊆B且A≠B.( )
(6)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．( )
(7)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√ (6)√ (7)×
2．(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A∪B＝( )
A．{1,2,3,4} B．{1,2,3}
C．{2,3,4} D．{1,3,4}
解析 选A 由题意得A∪B＝{1,2,3,4}．
3．(2017·北京高考)若集合A＝{x|－2
3}，则A∩B＝( )
A．{x|－20}，则集合A与B的关系是( )
A．B⊆A B．B⊇A
C．B∈A D．A∈B
解析 选A 因为A＝{x|－x2－x＋2<0}＝{x|x>1或x<－2}，B＝{x|2x－5>0}＝.
在数轴上标出集合A与集合B，如图所示，
可知，B⊆A.
[题型技法]
判断集合间关系的3种方法
列举法
根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系．(如第1题)
结构法
从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断．(如第2题)
数轴法
在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系．(如第3题)
(二)迁移考——利用集合间关系求参数
4．(2018·云南师大附中模拟)集合A＝{x|x2－a≤0}，B＝{x|x<2}，若A⊆B，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，4] B．(－∞，4)
C．[0,4] D．(0,4)
解析 选B 集合A就是不等式x2－a≤0，即x2≤a的解集．①当a<0时，不等式无解，故A＝∅.此时显然满足A⊆B.②当a＝0时，不等式为x2≤0，解得x＝0，所以A＝{0}．显然{0}⊆{x|x<2}，即满足A⊆B.③当a>0时，解不等式x2≤a，得－≤x≤.所以A＝[－， ]．由A⊆B可得，<2，解得00，解得x>2，故B＝(2，＋∞)．把两个集合A，B在数轴上表示出来，如图，可知A∩B＝(2,5]．
2．(2018·湖南湘潭模拟)已知全集U＝R，集合M＝{x||x|<1}，N＝{y|y＝2x，x∈R}，则集合∁U(M∪N)＝( )
A．(－∞，－1] B．(－1,2)
C．(－∞，－1]∪[2，＋∞) D．[2，＋∞)
解析 选A 解|x|<1，得－10}，B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )
A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤2或x≥4}
C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤2}
解析 选D 依题意得A＝{x|x<－1或x>4}，因此∁RA＝{x|－1≤x≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁RA)∩B＝{x|－1≤x≤2}，选D.
[解题师说]
1．掌握“4种技巧”
(1)先“简”后“算” 进行集合的基本运算之前要先对其进行化简，化简时要准确把握元素的性质特征，区分数集与点集等．如求集合P＝的补集，要先进行化简，若直接否定集合P中元素的性质特征，就会误以为∁RP＝，导致漏解．
(2)遵“规”守“矩” 定义是进行集合基本运算的依据，交集的运算要抓住“公共元素”，补集的运算要关注“你有我无”的元素．
(3)活“性”减“量” 灵活利用交集与并集以及补集的运算性质，特别是摩根定律，即∁U(M∩N)＝(∁UM)∪(∁UN)，∁U(M∪N)＝(∁UM)∩(∁UN)等简化运算，减少运算量．
(4)借“形”助“数” 在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化，用数轴表示时要注意端点值的取舍．(如典题领悟第1题)
2．谨防“2种失误”
(1)进行集合基本运算时要注意对应不等式端点值的处理，尤其是求解集合补集的运算，一定要注意端点值的取舍．(如典题领悟第2题)
(2)求集合的补集时，既要注意全集是什么，又要注意求补集的步骤，一般先求出原来的集合，然后求其补集，否则容易漏解．(如典题领悟第3题、冲关演练第3题)
[冲关演练]
1．(2017·天津高考)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝( )
A．{2} B．{1,2,4}
C．{1,2,4,6} D．{x∈R|－1≤x≤5}
解析 选B A∪B＝{1,2,4,6}，又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝{1,2,4}．
2．(2018·合肥质量检测)已知集合A＝[1，＋∞)，B＝，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B.
C. D．(1，＋∞)
解析 选A 因为A∩B≠∅，所以解得a≥1.
3．(2018·皖北协作区联考)已知集合A＝{y|y＝}，B＝{x|y＝lg(x－2x2)}，则∁R(A∩B)＝( )
A. B．(－∞，0)∪
C. D．(－∞，0]∪
解析 选D 因为A＝{y|y＝}＝[0，＋∞)，B＝{x|y＝lg(x－2x2)}＝，所以A∩B＝，所以∁R(A∩B)＝(－∞，0]∪.
以集合为载体的新定义问题，是高考命制创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新性质、新法则等，一般以选择题或填空题形式出现，难度中等或偏上.
[典题领悟]
1．设集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{－1,1,2,3}，定义A B＝，则A B中元素的个数是( )
A．5 B．7
C．10 D．15
解析 选B 因为x∈A，所以x可取－1,0,1；
因为y∈B，所以y可取－1,1,2,3.
则 ＝的结果如下表所示
y
x
－1
1
2
3
－1
1
－1
－
－
0
0
0
0
0
1
－1
1
故A B中元素有－1，－，－，0，，，1，共7个，故选B.
2．已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若对于任意实数对(x1，y1)∈M，都存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合
①M＝；
②M＝{(x，y)|y＝log2x}；
③M＝{(x，y)|y＝ex－2}；
④M＝{(x，y)|y＝sin ＋1}．
其中是“垂直对点集”的序号是( )
A．①④ B．②③
C．③④ D．②④
解析 选C 记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由x1x2＋y1y2＝0得OA⊥OB.对于①，对任意A∈M，不存在B∈M，使得OA⊥OB.对于②，当A为点(1,0)时，不存在B∈M满足题意．对于③④，对任意A∈M，过原点O可作直线OB⊥OA，它们都与函数y＝ex－2及y＝sin ＋1的图象相交，即③④满足题意，故选C.
3．设集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，定义A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素的个数是( )
A．7 B．10
C．25 D．52
解析 选B 因为A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，
所以A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}．
由x∈A∩B，可知x可取0,1；
由y∈A∪B，可知y可取－1,0,1,2,3.
所以元素(x，y)的所有结果如下表所示
y
x
－1
0
1
2
3
0
(0，－1)
(0,0)
(0,1)
(0,2)
(0,3)
1
(1，－1)
(1,0)
(1,1)
(1,2)
(1,3)
所以A*B中的元素共有10个．
[解题师说]
与集合相关的新定义问题的解题思路
(1)紧扣“新”定义 分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在．
(2)把握“新”性质 集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．
(3)遵守“新”法则 准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可．
[冲关演练]
1．定义集合的商集运算为＝，已知集合A＝{2,4,6}，B＝，则集合∪B中的元素个数为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析 选B 由题意知，B＝{0,1,2}，＝0，，，，1，，则∪B＝，共有7个元素，故选B.
2．(2018·武昌调研)设A，B是两个非空集合，定义集合A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，若A＝{x∈N|0≤x≤5}，B＝{x|x2－7x＋10<0}，则A－B＝( )
A．{0,1} B．{1,2}
C．{0,1,2} D．{0,1,2,5}
解析 选D 因为A＝{x∈N|0≤x≤5}，所以A＝{0,1,2,3,4,5}．解不等式x2－7x＋10<0，即(x－2)(x－5)<0，得20时，∵A＝{x|－10}，Q＝{x|x2＋ax＋b≤0}．若P∪Q＝R，且P∩Q＝(2,3]，则a＋b＝( )
A．－5 B．5
C．－1 D．1
解析 选A P＝{y|y2－y－2>0}＝{y|y>2或y<－1}．由P∪Q＝R及P∩Q＝(2,3]，得Q＝[－1,3]，所以－a＝－1＋3，b＝－1×3，即a＝－2，b＝－3，a＋b＝－5，故选A.
6．设集合A＝{x|(x－a)2＜1}，且2∈A,3∉A，则实数a的取值范围是________．
解析 由题意得
即所以1＜a≤2.
答案 (1,2]
7．设集合A＝{x|x2－x－2≤0}，B＝{x|x<1，且x∈ }，则A∩B＝________.
解析 依题意得A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}＝{x|－1≤x≤2}，因此A∩B＝{x|－1≤x<1，x∈ }＝{－1,0}．
答案 {－1,0}
8.设全集为R，集合A＝{x|x2－9＜0}，B＝{x|－1＜x≤5}，则A∩(∁RB)＝______________.
解析 由题意知，A＝{x|x2－9＜0}＝{x|－3＜x＜3}，
∵B＝{x|－1＜x≤5}，∴∁RB＝{x|x≤－1或x＞5}．
∴A∩(∁RB)＝{x|－3＜x＜3}∩{x|x≤－1或x＞5}＝{x|－3＜x≤－1}．
答案 {x|－3＜x≤－1}
9.(2018·江西玉山一中月考)已知集合A＝{x|3≤3x≤27}，B＝{x|log2x>1}．
(1)分别求A∩B，(∁RB)∪A；
(2)已知集合C＝{x|11，即log2x>log22，
∴x>2，∴B＝{x|x>2}．∴A∩B＝{x|2m＋2}，
因为A⊆∁RB，
所以m－2>3或m＋2<－1，
即m>5或m<－3.
因此实数m的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)．
6.若集合M＝{x|－3≤x≤4}，集合P＝{x|2m－1≤x≤m＋1}．
(1)证明M与P不可能相等；
(2)若集合M与P中有一个集合是另一个集合的真子集，求实数m的取值范围．
解 (1)证明 若M＝P，则－3＝2m－1且4＝m＋1，
解得m＝－1且m＝3，不成立．
故M与P不可能相等．
(2)若PM，当P≠∅时，有
或解得－1≤m≤2；
当P＝∅时，有2m－1>m＋1，解得m>2，即m≥－1；
若MP，则或无解．
综上可知，当有一个集合是另一个集合的真子集时，只能是PM，此时必有m≥－1，
即实数m的取值范围为[－1，＋∞)．
第二节命题及其关系、充分条件与必要条件
1．命题的概念
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及其关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
3．充要条件
充分条件与必要条件的定义
从集合角度理解
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p成立的对象的集合为A，q成立的对象的集合为B
p是q的充分不必要条件
p⇒q且qp
A是B的真子集
集合与充要条件
的关系
p是q的必要不充分条件
p q且q⇒p
B是A的真子集
p是q的充要条件
p⇔q
AB
p是q的既不充分也不必要条件
p q且qp
A，B互不包含
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“x2＋2x－8<0”是命题．( )
(2)一个命题非真即假．( )
(3)四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.( )
(4)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．( )
(5)若p是q成立的充分条件，则q是p成立的必要条件．( )
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√
2．命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是( )
A．若a≤b，则a＋c≤b＋c
B．若a＋c≤b＋c，则a≤b
C．若a＋c>b＋c，则a>b
D．若a>b，则a＋c≤b＋c
解析 选A 命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若a≤b，则a＋c≤b＋c”．
3．在△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 选C 由正弦定理知＝＝2R(R为△ABC外接圆半径)．若sin A>sin B，则>，即a>b，所以A>B；若A>B，则a>b，所以2Rsin A>2Rsin B，即sin A>sin B，所以“A>B”是“sin A>sin B”成立的充要条件．
4．(2018·唐山一模)若x∈R，则“x>1”是“<1”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 选A 当x>1时，<1成立，而当<1时，x>1或x<0，所以“x>1”是“<1”的充分不必要条件，选A.
5．“若a0，所以两边同除以c2，得a1，若x>0，则ax>1”的否命题为( )
A．已知00，则ax>1
B．已知a>1，若x≤0，则ax>1
C．已知a>1，若x≤0，则ax≤1
D．已知01”是大前提，在四种命题中不能改变；“x>0”是条件，“ax>1”是结论．由于命题“若p，则q”的否命题为“若綈p，则綈q”，故该命题的否命题为“已知a>1，若x≤0，则ax≤1”．故选C.
[怎样快解·准解]
1．判断命题真假的2种方法
(1)直接判断 判断一个命题是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．(如第2题逆命题的真假判断)
(2)间接判断(等价转化) 由于原命题与其逆否命题为等价命题，如果原命题的真假不易直接判断，那么可以利用这种等价性间接地判断命题的真假．(如第2题原命题的真假判断)
2．谨防3类失误
(1)如果原命题是“若p，则q”，则否命题是“若綈p，则綈q”，而命题的否定是“若p，则綈q”，即否命题是对原命题的条件和结论同时否定，命题的否定仅仅否定原命题的结论(条件不变)．
(2)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写．(如第1题)
(3)当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提．(如第3题)
充分条件、必要条件以其独特的表达形式成为高考命题的热点.高考主要考查充分条件、必要条件的判断，常以选择题的形式出现，难度不大，属于基础题.,充分条件、必要条件作为一个重要载体，考查的数学知识面较广，几乎涉及数学知识各个方面.
[典题领悟]
1．(2017·北京高考)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 选A ∵m＝λn，∴m·n＝λn·n＝λ|n|2.
∴当λ<0，n≠0时，m·n<0.
反之，由m·n＝|m||n|cos〈m，n〉<0⇔cos〈m，n〉<0⇔〈m，n〉∈，当〈m，n〉∈时，m，n不共线．
故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件．
2．(2017·天津高考)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 选B 由2－x≥0，得x≤2，
由|x－1|≤1，得0≤x≤2.
∵0≤x≤2⇒x≤2，x≤2⇒/ 0≤x≤2，
故“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件．
3．已知条件p x＋y≠－2，条件q x，y不都是－1，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 选A 因为p x＋y≠－2，q x≠－1，或y≠－1，
所以綈p x＋y＝－2，綈q x＝－1，且y＝－1，
因为綈q⇒綈p但綈p綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．
4．(2018·江西鹰潭中学月考)设f(x)＝x2－4x(x∈R)，则f(x)>0的一个必要不充分条件是( )
A．x<0 B．x<0或x>4
C．|x－1|>1 D．|x－2|>3
解析 选C 依题意，f(x)>0⇔x2－4x>0⇔x<0或x>4.又|x－1|>1⇔x－1<－1或x－1>1，即x<0或x>2，而{x|x<0或x>4}{x|x<0或x>2}，因此选C.
[解题师说]
1．熟记判断充分、必要条件的3种方法
方法
解读
适合题型
定义法
第一步，分清条件和结论 分清谁是条件，谁是结论；第二步，找推式 判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假；第三步，下结论 根据推式及定义下结论
定义法是判断充分、必要条件最根本、最适用的方法．(如典题领悟第1题)
等价法
利用p⇒q与綈q⇒綈p；q⇒p与綈p⇒綈q；p⇔q与綈q⇔綈p的等价关系
适用于“直接正面判断不方便”的情况，可将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题，再去判断．常用的是逆否等价法．(如典题领悟第3题)
集合法
记条件p，q对应的集合分别为A，B.若AB，则p是q的充分不必要条件；若AB，则p是q的必要不充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件
适用于“当所要判断的命题与方程的根、不等式的解集以及集合有关，或所描述的对象可以用集合表示时”的情况．(如典题领悟第2题及第4题)
2．把握探求某结论成立的充分、必要条件的3个方面
(1)准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件；
(2)注意问题的形式，看清“p是q的……”还是“p的……是q”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断；
(3)灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“⇒”来进行，即转化为两个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断．
[冲关演练]
1．(2018·安徽两校阶段性测试)设a∈R，则“a＝4”是“直线l1 ax＋8y－8＝0与直线l2 2x＋ay－a＝0平行”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 选D ∵当a≠0时，＝＝⇒直线l1与直线l2重合，∴无论a取何值，直线l1与直线l2均不可能平行，当a＝4时，l1与l2重合．故选D.
2．对于直线m，n和平面α，β，m⊥α成立的一个充分条件是( )
A．m⊥n，n∥α B．m∥β，β⊥α
C．m⊥β，n⊥β，n⊥α D．m⊥n，n⊥β，β⊥α
解析 选C 对于选项C，因为m⊥β，n⊥β，所以m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，故选C.
3．(2018·湖南湘中名校联考)“log2(2x－3)<1”是“4x>8”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 选A 由log2(2x－3)<1⇒0<2x－3<2⇒8⇒2x>3⇒x>，所以“log2(2x－3)<
1”是“4x>8”的充分不必要条件，故选A.
根据充分条件、必要条件求参数的范围是对充分条件、必要条件与集合之间关系的深层次考查.关键是合理转化条件，熟练掌握函数的有关性质、不等式的解法等知识，在近几年的高考题中出现频率较低，但也要引起关注.
[典题领悟]
1．(2018·保定模拟)已知集合A＝，x∈，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数m的取值范围是________．
解析 y＝x2－x＋1＝2＋，
∵x∈，∴≤y≤2，∴A＝.
由x＋m2≥1，得x≥1－m2，
∴B＝{x|x≥1－m2}．
∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，
∴A⊆B，∴1－m2≤，解得m≥或m≤－，
故实数m的取值范围是∪.
答案 ∪
2．(2018·石家庄模拟)已知p ≤2，q x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且綈p是綈q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．
解析 法一 由≤2，得－2≤x≤10，
∴綈p对应的集合为{x|x>10或x<－2}，
设A＝{x|x>10或x<－2}．
由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，得1－m≤x≤1＋m(m>0)，
∴綈q对应的集合为{x|x>1＋m或x<1－m，m>0}，
设B＝{x|x>1＋m或x<1－m，m>0}．
∵綈p是綈q的必要不充分条件，
∴BA，∴或解得m≥9，
∴实数m的取值范围为[9，＋∞)．
法二 ∵綈p是綈q的必要不充分条件，
∴q是p的必要不充分条件．
即p是q的充分不必要条件，
由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，得1－m≤x≤1＋m(m>0)．
∴q对应的集合为{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}，
设M＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}，
又由≤2，得－2≤x≤10，
∴p对应的集合为{x|－2≤x≤10}，
设N＝{x|－2≤x≤10}．
由p是q的充分不必要条件知，NM，
∴或解得m≥9.
∴实数m的取值范围为[9，＋∞)．
答案 [9，＋∞)
[解题师说]
1．解题“2关键”
(1)把充分、必要条件转化为集合之间关系．
(2)根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．
2．解题“1注意”
求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．(如典题领悟第2题)
[冲关演练]
1．(2017·湖北新联考四模)若x>2m2－3是－12m2－3是－10，q x>a2－2a－2，若綈p是綈q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是( )
A．[－1，＋∞) B．[3，＋∞)
C．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．[－1,3]
解析 选C 由p (x＋3)(x－1)>0，解得x<－3或x>1，要使得綈p是綈q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，即q⇒p，p⇒/ q．所以a2－2a－2≥1，解得a≤－1或a≥3，故选C.
(一)普通高中适用
A级——基础小题练熟练快
1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )
A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
解析 选B 依题意得，原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”．
2．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 选A 当四边形ABCD为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC⊥BD；当四边形ABCD中AC⊥BD时，四边形ABCD不一定是菱形，还需要AC与BD互相平分．综上知，“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．
3．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为( )
A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为真命题
B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题
C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题
D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题
解析 选C 根据逆否命题的定义可以排除A、D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝－4或1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．
4．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C，使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 选C 依题意，若A⊆C，则∁U C⊆∁UA，若B⊆∁UC，可得A∩B＝∅；若A∩B＝∅，不妨令C＝A，显然满足A⊆C，B⊆∁UC，故满足条件的集合C是存在的．
5．命题p “若x2<1，则x<1”的逆命题为q，则p与q的真假性为( )
A．p真q真 B．p真q假
C．p假q真 D．p假q假
解析 选B q 若x<1，则x2<1.
∵p x2<1，则－10”是“S4＋S6>2S5”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 选C 因为{an}为等差数列，所以S4＋S6＝4a1＋6d＋6a1＋15d＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d，S4＋S6－2S5＝d，所以d>0⇔S4＋S6>2S5.
7．在△ABC中，“A＝B”是“tan A＝tan B”的________条件．
解析 由A＝B，得tan A＝tan B，反之，若tan A＝tan B，则A＝B＋ π， ∈ .∵0＜A＜π，00，若p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为________．
解析 因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3.
又p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8.
故实数m的取值范围是[3,8)．
答案 [3,8)
9．下列命题
①“a>b”是“a2>b2”的必要条件；
②“|a|>|b|”是“a2>b2”的充要条件；
③“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要条件．
其中真命题的是________(填序号)．
解析 ①a>b⇒/ a2>b2，且a2>b2⇒/ a>b，故①不正确；
②a2>b2⇔|a|>|b|，故②正确；
③a>b⇒a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c⇒a>b，故③正确．
答案 ②③
10．(2018·德州模拟)下列命题中为真命题的序号是________．
①若x≠0，则x＋≥2；
②命题 若x2＝1，则x＝1或x＝－1的逆否命题为 若x≠1且x≠－1，则x2≠1；
③“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件；
④命题“若x<－1，则x2－2x－3>0”的否命题为“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”．
解析 当x<0时，x＋≤－2，故①错误；根据逆否命题的定义可知，②正确；“a＝±1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件，故③错误；根据否命题的定义知④正确．故填②④.
答案 ②④
B级——中档题目练通抓牢
1．(2018·河南开封二十五中月考)下列命题中为真命题的是( )
A．命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题
B．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题
C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
D．命题“若＞1，则x＞1”的逆否命题
解析 选B 对于A，命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4＞1，故为假命题；对于B，命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”，分析可知为真命题；对于C，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故为假命题；对于D，命题“若＞1，则x＞1”的逆否命题为“若x≤1，则≤1”，易知为假命题，故选B.
2．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos ≠cos y”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析 选C 设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cos ≠cos y}，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cos ＝cos y}，显然CD，所以BA.于是“x≠y”是“cos ≠cos y”的必要不充分条件．
3．若x>5是x>a的充分条件，则实数a的取值范围为( )
A．(5，＋∞) B．[5，＋∞)
C．(－∞，5) D．(－∞，5]
解析 选D 由x>5是x>a的充分条件知，{x|x>5}⊆{x|x>a}，∴a≤5，故选D.
4．在命题“若m＞－n，则m2＞n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．
解析 若m＝2，n＝3，则2>－3，但22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m＝－3，n＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.
答案 3
5．(2018·武汉调研)已知“命题p (x－m)2＞3(x－m)”是“命题q x2＋3x－4＜0”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________________．
解析 命题p x＞m＋3或x＜m，
命题q －4＜x＜1.
因为p是q成立的必要不充分条件，
所以m＋3≤－4或m≥1，
故m≤－7或m≥1.
答案 (－∞，－7]∪[1，＋∞)
6．写出命题“已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
解 (1)逆命题 已知a，b∈R，若a2≥4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，为真命题．
(2)否命题 已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2<4b，为真命题．
(3)逆否命题 已知a，b∈R，若a2<4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，为真命题．
7．已知集合A＝{x|x2－6x＋8<0}，B＝{x|(x－a)(x－3a)<0}．
(1)若x∈A是x∈B的充分条件，求a的取值范围；
(2)若A∩B＝∅，求a的取值范围．
解 A＝{x|x2－6x＋8<0}＝{x|20时，B＝{x|a0时，B＝{x|a－3，但22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m＝－3，n＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.
答案 3
7．有下列几个命题
①“若a＞b，则a2＞b2”的否命题；
②“若集合A是集合B的子集，则集合A是集合B的真子集”的逆命题；
③“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．
其中真命题的序号是________．
解析 ①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，是假命题，如－1＜0，但是(－1)2＞0；②原命题的逆命题为“若集合A是集合B的真子集，则集合A是集合B的子集”是真命题；③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，是真命题．
答案 ②③
8．已知p(x) x2＋2x－m>0，若p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为________．
解析 因为p(1)是假命题，
所以1＋2－m≤0，解得m≥3.
又p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8.
故实数m的取值范围是[3,8)．
答案 [3,8)
9．写出命题“已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
解 (1)逆命题 已知a，b∈R，若a2≥4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，为真命题．
(2)否命题 已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2<4b，为真命题．
(3)逆否命题 已知a，b∈R，若a2<4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，为真命题．
10．(2018·安徽黄山调研)已知条件p 2x2－3x＋1≤0，条件q x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
解 由2x2－3x＋1≤0，得≤x≤1，
∴条件p对应的集合P＝.
由x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，得a≤x≤a＋1，
∴条件q对应的集合为Q＝{x|a≤x≤a＋1}．
∵綈p是綈q的必要不充分条件，
∴根据原命题与逆否命题等价，得p是q的充分不必要条件．
∴p⇒q，即PQ⇔或
解得0≤a≤.
∴实数a的取值范围为.
B级——拔高题目稳做准做
1．已知命题p x2＋2x－3>0；命题q x>a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．(－∞，1]
C．[－1，＋∞) D．(－∞，－3]
解析 选A 由x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．故a≥1.
2．(2017·天津高考)设θ∈R，则“<”是“sin θ<”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 选A 法一 由<，得0<θ<，
故sin θ<.由sin θ<，得－＋2 π<θ<＋2 π， ∈ ，推不出“<”．
故“<”是“sin θ<”的充分而不必要条件．
法二 <⇒0<θ<⇒sin θ<，而当sin θ<时，取θ＝－，＝>.
故“<”是“sin θ<”的充分而不必要条件．
3．设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则“|q|＝1”是“S4＝2S2”的________条件．
解析 ∵等比数列{an}的前n项和为Sn，又S4＝2S2，
∴a1＋a2＋a3＋a4＝2(a1＋a2)，
∴a3＋a4＝a1＋a2，
∴q2＝1⇔|q|＝1，
∴“|q|＝1”是“S4＝2S2”的充要条件．
答案 充要
4．(2018·武汉调研)已知“命题p (x－m)2＞3(x－m)”是“命题q x2＋3x－4＜0”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________________．
解析 命题p x＞m＋3或x＜m，
命题q －4＜x＜1.
因为p是q成立的必要不充分条件，
所以m＋3≤－4或m≥1，
故m≤－7或m≥1.
答案 (－∞，－7]∪[1，＋∞)
5．已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若命题“A∩B＝∅”是假命题，求实数m的取值范围．
解 因为“A∩B＝∅”是假命题，所以A∩B≠∅.
设全集U＝{m|Δ＝(－4m)2－4(2m＋6)≥0}，
则U＝.
假设方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根x1，x2均非负，则有即解得m≥.
又集合关于全集U的补集是{m|m≤－1}，
所以实数m的取值范围是(－∞，－1]．
6．已知集合A＝{x|x2－6x＋8<0}，B＝{x|(x－a)(x－3a)<0}．
(1)若x∈A是x∈B的充分条件，求a的取值范围；
(2)若A∩B＝∅，求a的取值范围．
解 已知A＝{x|x2－6x＋8<0}＝{x|20时，B＝{x|a0时，B＝{x|ay，则－x<－y；命题q 若>，则x0 B．∀x∈R，x2－x＋1≤0
C．∀x∈R，x2－x＋1>0 D．∃x0∈R，x－x0＋1<0
答案 C
4．下列四个命题中的真命题为( )
A．∃x0∈ ,1<4x0<3 B．∃x0∈ ,5x0＋1＝0
C．∀x∈R，x2－1＝0 D．∀x∈R，x2＋x＋2>0
解析 选D 选项A中，0，ln(x＋1)>0；命题q 若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．p∧綈q
C．綈p∧q D．綈p∧綈q
解析 选B 当x>0时，x＋1>1，因此ln(x＋1)>0，即p为真命题；取a＝1，b＝－2，这时满足a>b，显然a2>b2不成立，因此q为假命题．由复合命题的真假性，知p∧綈q为真命题．
2．(2018·安徽安庆模拟)设命题p ∃x0∈(0，＋∞)，x0＋>3；命题q ∀x∈(2，＋∞)，x2>2x，则下列命题为真的是( )
A．p∧(綈q) B．(綈p)∧q
C．p∧q D．(綈p)∨q
解析 选A 对于命题p，当x0＝4时，x0＋＝>3，故命题p为真命题；对于命题q，当x＝4时，24＝42＝16，即∃x0∈(2，＋∞)，使得2x0＝x成立，故命题q为假命题，所以p∧(綈q)为真命题，故选A.
[题型技法]
1．判断含有逻辑联结词命题真假的步骤
2．含逻辑联结词命题真假的5种等价关系
(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(綈p)∧(綈q)假．
(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(綈p)∧(綈q)真．
(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(綈p)∨(綈q)假．
(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(綈p)∨(綈q)真．
(5)綈p真⇔p假；綈p假⇔p真．
(二)迁移考——根据含有逻辑联结词命题真假求参数
3．已知p ∃x0∈R，mx＋1≤0，q ∀x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．(－∞，－2]
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．[－2,2]
解析 选A 依题意知，p，q均为假命题．
当p是假命题时，mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；
当q是假命题时，则有Δ＝m2－4≥0，解得m≤－2或m≥2.
因此由p，q均为假命题得即m≥2.
4．命题p 关于x的不等式x2＋2ax＋4>0，对一切x∈R恒成立；命题q 函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，若p或q为真，p且q为假，则实数a的取值范围为________．
解析 p为真 Δ＝4a2－16<0，解得－21，解得a<1.
∵p或q为真，p且q为假，∴p，q一真一假．
当p真q假时，⇒1≤a<2；
当p假q真时，⇒a≤－2.
∴实数a的取值范围为(－∞，－2]∪[1,2)．
答案 (－∞，－2]∪[1,2)
[题型技法]
根据命题的真假求参数的取值范围的步骤
(1)求出当命题p，q为真命题时所含参数的取值范围；
(2)根据复合命题的真假判断命题p，q的真假性；
(3)根据命题p，q的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围．
含有一个量词的命题的否定及真假判断是高考命题的热点，而全称命题、特称命题的真假判断常与不等式、方程等相结合，涉及知识面较广，难度不大，是中低档题.一般以选择题、填空题的形式出现.
[典题领悟]
1．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是( )
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n>x2
B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n>x2
C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n>x2
D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n>x2
解析 选D ∀改写为∃，∃改写为∀，n≤x2的否定是n>x2，则该命题的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n>x2”．故选D.
2．下列命题中，为真命题的是( )
A．∀x∈(0，＋∞)，x2>1
B．∃x0∈(1，＋∞)，lg 0＝－x0
C．∀a∈(0，＋∞)，a2>a
D．∃a0∈(0，＋∞)，x2＋a0>1对x∈R恒成立
解析 选D 对于A，当x＝1时不成立；
对于B，当x∈(1，＋∞)时，lg >0，而－x<0，不成立；
对于C，当a＝1时不成立；
对于D，∃a0＝2∈(0，＋∞)，x2＋a0＝x2＋2>1对x∈R恒成立，正确．故选D.
3．已知命题“∃x0∈R，使2x＋(a－1)x0＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
解析 原命题的否定为“∀x∈R,2x2＋(a－1)x＋>0”，由题意知，其为真命题，则Δ＝(a－1)2－4×2×<0，
即－2sin B．∃x0∈R，sin 0＋cos 0＝2
C．∀x∈R,3x>0 D．∃x0∈R，lg 0＝0
解析 选B 因为对∀x∈R，sin ＋cos ＝sin≤，所以“∃x0∈R，sin 0＋cos 0＝2”为假命题．
2．(2017·郑州三模)设命题p ∀x>0，log2x<2x＋3，则綈p为( )
A．∀x>0，log2x≥2x＋3 B．∃x0>0，log2x0≥2x0＋3
C．∃x0>0，log2x0<2x0＋3 D．∀x>0，log2x>2x＋3
解析 选B 该命题含有量词“∀”，故该命题是一个全称命题，其否定是一个特称命题，故綈p为 ∃x0>0，log2x0≥2x0＋3.
3．(2017·临沂二模)若“∀x∈，tan ≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
解析 因为“∀x∈，tan ≤m”是真命题，所以m≥(tan )max.当x∈时，函数y＝tan 是单调递增函数，故(tan )max＝tan ＝1，所以m≥1，m的最小值为1.
答案 1
(一)普通高中适用
A级——基础小题练熟练快
1．命题“函数y＝f(x)(x∈M)是偶函数”的否定可表示为( )
A．∃x0∈M，f(－x0)≠f(x0)
B．∀x∈M，f(－x)≠f(x)
C．∀x∈M，f(－x)＝f(x)
D．∃x0∈M，f(－x0)＝f(x0)
解析 选A 命题“函数y＝f(x)(x∈M)是偶函数”即“∀x∈M，f(－x)＝f(x)”，该命题是一个全称命题，其否定是一个特称命题，即“∃x0∈M，f(－x0)≠f(x0)”．
2．(2018·合肥质检)已知命题q ∀x∈R，x2＞0，则( )
A．命题綈q ∀x∈R，x2≤0为假命题
B．命题綈q ∀x∈R，x2≤0为真命题
C．命题綈q ∃x0∈R，x≤0为假命题
D．命题綈q ∃x0∈R，x≤0为真命题
解析 选D 全称命题的否定是将“任意”改为“存在”，然后再否定结论．又当x＝0时，x2≤0成立，所以綈q为真命题，故选D.
3．已知命题p 所有有理数都是实数，命题q 正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )
A．(綈p)∨q B．p∧q
C．(綈p)∧(綈q) D．(綈p)∨(綈q)
解析 选D 因为有理数集合是实数集合的真子集，所以命题p是真命题，綈p是假命题．因为lg 10＝1＞0，所以命题q是假命题，綈q是真命题，所以D项(綈p)∨(綈q)是真命题，A、B、C都是假命题．
4．已知命题p 对任意x∈R，总有|x|≥0；
q x＝1是方程x＋2＝0的根．
则下列命题为真命题的是( )
A．p∧(綈q) B．(綈p)∧q
C．(綈p)∧(綈q) D．p∧q
解析 选A 由题意知命题p是真命题，命题q是假命题，故綈p是假命题，綈q是真命题，由含有逻辑联结词的命题的真值表可知p∧(綈q)是真命题．
5．若∃x0∈，使得2x－λx0＋1<0成立是假命题，则实数λ的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．(2，3]
C. D．{3}
解析 选A 因为∃x0∈，使得2x－λx0＋1<0成立是假命题，所以∀x∈，使得2x2－λx＋1≥0恒成立是真命题，即∀x∈，使得λ≤2x＋恒成立是真命题，令f(x)＝2x＋，则f′(x)＝2－，当x∈时，f′(x)<0，当x∈时，f′(x)>0，所以f(x)≥f＝2，则λ≤2.
6．下列四种说法中，正确的是( )
A．集合A＝{－1,0}的子集有3个
B．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真
C．“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的必要不充分条件
D．命题“∀x∈R，x2－3x－2≥0”的否定是“∃x0∈R，使得x－3x0－2≥0”
解析 选C 对于选项A，A＝{－1,0}的子集有∅，{－1}，{0}，{－1,0}，共4个，A错；对于选项B，“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为“若a＜b，则am2＜bm2”，当m＝0时为假命题，B错；对于选项C，“命题p∨q为真”，表示命题p与q至少有一个为真，而“命题p∧q为真”，表示命题p与q全为真，C正确；对于选项D，命题“∀x∈R，x2－3x－2≥0”的否定是“∃x0∈R，使得x－3x0－2＜0”，D错．综上，选C.
7．命题p的否定是“对所有正数x，＞x＋1”，则命题p可写为_______________．
解析 因为p是綈p的否定，所以只需将全称量词变为特称量词，再对结论否定即可．
答案 ∃x0∈(0，＋∞)，≤x0＋1
8．若命题“对∀x∈R， x2－ x－1<0”是真命题，则 的取值范围是________．
解析 “对∀x∈R， x2－ x－1<0”是真命题，当 ＝0时，则有－1<0；当 ≠0时，则有 <0且Δ＝(－ )2－4× ×(－1)＝ 2＋4 <0，解得－4< <0，综上所述，实数 的取值范围是(－4,0]．
答案 (－4,0]
9．已知命题p x2＋4x＋3≥0，q x∈ ，且“p∧q”与“綈q”同时为假命题，则x＝________.
解析 若p为真，则x≥－1或x≤－3，
因为“綈q”为假，则q为真，即x∈ ，
又因为“p∧q”为假，所以p为假，故－3＜x＜－1，
由题意，得x＝－2.
答案 －2
10．已知命题p ∃x0∈R，x0－2＞lg 0；命题q ∀x∈R，－x2＋x－1＜0.给出下列结论
①命题“p∧q”是真命题；
②命题“p∧(綈q)”是假命题；
③命题“(綈p)∨q”是真命题；
④命题“p∨(綈q)”是假命题．
其中所有正确结论的序号为________．
解析 对于命题p，取x＝10，则有10－2＞lg 10成立，故命题p为真命题；对于命题q，由－x2＋x－1<0，得x2－x＋1>0，由Δ＝－3<0，知命题q为真命题．综上“p∧q”是真命题，“p∧(綈q)”是假命题，“(綈p)∨q”是真命题，“p∨(綈q)”是真命题，即正确的结论为①②③.
答案 ①②③
B级——中档题目练通抓牢
1．若命题p 函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q 函数y＝x－的单调递增区间是[1，＋∞)，则( )
A．p∧q是真命题 B．p∨q是假命题
C．綈p是真命题 D．綈q是真命题
解析 选D 因为函数y＝x2－2x在[1，＋∞)上是增函数，所以其单调递增区间是[1，＋∞)，所以p是真命题；因为函数y＝x－的单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，所以q是假命题．所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为假命题，綈q为真命题．故选D.
2．(2018·贵州适应性考试)已知命题p ∀x∈R，log2(x2＋4)≥2，命题q y＝x是定义域上的减函数，则下列命题中为真命题的是( )
A．p∨(綈q) B．p∧q
C．(綈p)∨q D．(綈p)∧(綈q)
解析 选A 命题p 函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，x2＋4≥4，所以log2(x2＋4)≥log24＝2，即命题p是真命题，因此綈p为假命题；命题q y＝x在定义域上是增函数，故命题q是假命题，綈q是真命题．因此选项A是真命题，选项B、C、D都是假命题，故选A.
3．下列说法错误的是( )
A．命题“若x2－5x＋6＝0，则x＝2”的逆否命题是“若x≠2，则x2－5x＋6≠0”
B．若命题p 存在x0∈R，x＋x0＋1<0，则綈p 对任意x∈R，x2＋x＋1≥0
C．若x，y∈R，则“x＝y”是“xy≥2”的充要条件
D．已知命题p和q，若“p或q”为假命题，则命题p与q中必一真一假
解析 选D 由原命题与逆否命题的关系，知A正确；由特称命题的否定知B正确；由xy≥2⇔4xy≥(x＋y)2⇔4xy≥x2＋y2＋2xy⇔(x－y)2≤0⇔x＝y，知C正确；对于D，命题“p或q”为假命题，则命题p与q均为假命题，所以D不正确．
4．已知命题“∃x0∈R，x＋ax0－4a＜0”为真命题，则实数a的取值范围为______________．
解析 “∃x0∈R，x＋ax0－4a＜0”为真命题的充要条件是Δ＝a2＋16a＞0，解得a＜－16或a＞0.
答案 (－∞，－16)∪(0，＋∞)
5．已知命题p a2≥0(a∈R)，命题q 函数f(x)＝x2－x在区间[0，＋∞)上单调递增，则下列命题
①p∨q；②p∧q；③(綈p)∧(綈q)；④(綈p)∨q.
其中为假命题的序号为________．
解析 显然命题p为真命题，綈p为假命题．
∵f(x)＝x2－x＝2－，
∴函数f(x)在区间上单调递增．
∴命题q为假命题，綈q为真命题．
∴p∨q为真命题，p∧q为假命题，(綈p)∧(綈q)为假命题，(綈p)∨q为假命题．
答案 ②③④
6．设t∈R，已知命题p 函数f(x)＝x2－2tx＋1有零点；命题q ∀x∈[1，＋∞)，－x≤4t2－1.
(1)当t＝1时，判断命题q的真假；
(2)若p∨q为假命题，求t的取值范围．
解 (1)当t＝1时，max＝0，－x≤3在[1，＋∞)上恒成立，故命题q为真命题．
(2)若p∨q为假命题，则p，q都是假命题．
当p为假命题时，Δ＝(－2t)2－4<0，解得－10，使函数f(x)＝ax2－4x在(－∞，2]上单调递减”，命题q “存在a∈R，使∀x∈R，16x2－16(a－1)x＋1≠0”．若命题“p∧q”为真命题，求实数a的取值范围．
解 若p为真，则对称轴x＝－＝在区间(－∞，2]的右侧，即≥2，∴0a>0，c>b>0.若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论中正确的个数是( )
①对于∀x∈(－∞，1)，都有f(x)>0；
②存在x>0，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三边长；
③若△ABC为钝角三角形，则存在x∈(1,2)，使f(x)＝0.
A．3 B．2
C．1 D．0
解析 选A ①因为a，b，c是△ABC的三条边长，所以a＋b>c，因为c>a>0，c>b>0，所以0<<1,0<<1，当x∈(－∞，1)时，f(x)＝ax＋bx－cx＝cxx＋x－1>cx＝cx·>0，故①正确；
②令a＝2，b＝3，c＝4，则a，b，c可以构成三角形，但a2＝4，b2＝9，c2＝16却不能构成三角形，所以②正确；
③已知c>a>0，c>b>0，若△ABC为钝角三角形，则a2＋b2－c2<0，因为f(1)＝a＋b－c>0，f(2)＝a2＋b2－c2<0，根据零点的存在性定理可知在区间(1,2)上存在零点，所以存在x∈(1,2)，使f(x)＝0，故③正确．
(二)重点高中适用
A级——保分题目巧做快做
1．命题“函数y＝f(x)(x∈M)是偶函数”的否定可表示为( )
A．∃x0∈M，f(－x0)≠f(x0)
B．∀x∈M，f(－x)≠f(x)
C．∀x∈M，f(－x)＝f(x)
D．∃x0∈M，f(－x0)＝f(x0)
解析 选A 命题“函数y＝f(x)(x∈M)是偶函数”即“∀x∈M，f(－x)＝f(x)”，该命题是一个全称命题，其否定是一个特称命题，即“∃x0∈M，f(－x0)≠f(x0)”．
2．(2018·合肥质检)已知命题q ∀x∈R，x2＞0，则( )
A．命题綈q ∀x∈R，x2≤0为假命题
B．命题綈q ∀x∈R，x2≤0为真命题
C．命题綈q ∃x0∈R，x≤0为假命题
D．命题綈q ∃x0∈R，x≤0为真命题
解析 选D 全称命题的否定是将“任意”改为“存在”，然后再否定结论．又当x＝0时，x2≤0成立，所以綈q为真命题，故选D.
3.已知命题p 对任意x∈(0，＋∞)，log4x＜log8x，命题q 存在x∈R，使得tan ＝1－3x.则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．(綈p)∧(綈q)
C．p∧(綈q) D．(綈p)∧q
解析 选D 当x＝64时，log4x＝log464＝3＞log8x＝log864＝2，故命题p是假命题；当x＝0时，tan ＝tan 0＝1－30＝1－3x，故命题q是真命题；故綈p是真命题，綈q是假命题．故p∧q是假命题，(綈p)∧(綈q)是假命题，p∧(綈q)是假命题，(綈p)∧q是真命题．故选D.
4．下列说法错误的是( )
A．命题“若x2－5x＋6＝0，则x＝2”的逆否命题是“若x≠2，则x2－5x＋6≠0”
B．若命题p 存在x0∈R，x＋x0＋1<0，则綈p 对任意x∈R，x2＋x＋1≥0
C．若x，y∈R，则“x＝y”是“xy≥2”的充要条件
D．已知命题p和q，若“p或q”为假命题，则命题p与q中必一真一假
解析 选D 由原命题与逆否命题的关系，知A正确；由特称命题的否定，知B正确；由xy≥2⇔4xy≥(x＋y)2⇔4xy≥x2＋y2＋2xy⇔(x－y)2≤0⇔x＝y，知C正确；对于D，命题“p或q”为假命题，则命题p与q均为假命题，所以D不正确．
5.已知命题p ∃x0∈R，ex0－mx0＝0，q ∀x∈R，x2＋mx＋1≥0，若p∨(綈q)为假命题，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．[0,2]
C．R D．∅
解析 选B 若p∨(綈q)为假命题，则p假q真．命题p为假命题时，有0≤m＜e；命题q为真命题时，有Δ＝m2－4≤0，即－2≤m≤2.所以当p∨(綈q)为假命题时，m的取值范围是[0,2]．
6．命题p的否定是“对所有正数x，＞x＋1”，则命题p可写为_______________．
解析 因为p是綈p的否定，所以只需将全称量词变为特称量词，再对结论否定即可．
答案 ∃x0∈(0，＋∞)，≤x0＋1
7．已知命题p x2＋4x＋3≥0，q x∈ ，且“p∧q”与“綈q”同时为假命题，则x＝________.
解析 若p为真，则x≥－1或x≤－3，
因为“綈q”为假，则q为真，即x∈ ，
又因为“p∧q”为假，所以p为假，故－3＜x＜－1，
由题意，得x＝－2.
答案 －2
8．若命题p 存在x∈R，ax2＋4x＋a<－2x2＋1是假命题，则实数a
的取值范围是________．
解析 若命题p 存在x∈R，ax2＋4x＋a<－2x2＋1是假命题，则綈p 任意x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，即(2＋a)x2＋4x＋a－1≥0恒成立，当a＝－2时不成立，舍去，则有解得a≥2.
答案 [2，＋∞)
9.已知命题p f(x)＝在区间(0，＋∞)上是减函数；命题q 不等式(x－1)2＞m的解集为R.若命题“p∨q”为真，求实数m的取值范围．
解 因为p f(x)＝在区间(0，＋∞)上是减函数，所以1－2m＞0⇒m＜.因为q 不等式(x－1)2＞m的解集为R，所以m＜0.要保证命题“p∨q”为真，则p，q至少有一个为真，当p真q真时，m<0；当p真q假时，0≤m<；当p假q真时，m∈∅.所以实数m的取值范围为.
10.已知c＞0，设命题p 函数y＝cx为减函数．命题q 当x∈时，函数f(x)＝x＋＞恒成立．如果“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求c的取值范围．
解 若命题p为真，则0＜c＜1；若命题q为真，则2≤x＋≤，要使此式恒成立，需＜2，即c＞，若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则p，q中必有一真一假，当p真q假时，⇒00”的否定为假命题，则实数a的取值范围是______________．
解析 由“∀x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x2－5x＋a>0对任意实数x恒成立．
设f(x)＝x2－5x＋a，则其图象恒在x轴的上方．
故Δ＝25－4×a<0，解得a>，
即实数a的取值范围为.
答案
4.(2017·云南玉溪一中模拟)已知p x2＋2x－3＞0，q ＞1，若“(綈q)∧p”为真，则x的取值范围是________________．
解析 p为真命题时，解x2＋2x－3＞0，得x＞1或x＜－3，q为真命题时，＞1，即＜0，解得20，使函数f(x)＝ax2－4x在(－∞，2]上单调递减”，命题q “存在a∈R，使∀x∈R，16x2－16(a－1)x＋1≠0”．若命题“p∧q”为真命题，求实数a的取值范围．
解 若p为真，则对称轴x＝－＝在区间(－∞，2]的右侧，即≥2，∴00)，q 实数x满足20，∴A＝(a,4a)，
又B＝(2,5]，则a≤2且4a>5，解得
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