- 2021-05-13 发布 |
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文档介绍
高考第一轮复习数学141导数的概念与运算
本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考 ※第十四章 导数 ●网络体系总览 ●考点目标位定位 要求:(1)了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等),掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念. (2)熟记基本求导公式〔C,xm(m为有理数),sinx,cosx,ex,ax,lnx,logax的导数〕,掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数. (3)了解可导函数的单调性与其导数的关系,了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号),会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值. ●复习方略指南 深入理解和正确运用极限的概念、法则是本章学习的基础,能对简单的初等函数进行求导是本章学习的重点,能把实际问题转化为求解最大(小)值的数学模型,应用导数知识去解决它是提高分析问题、解决问题能力,学好数学的关键. 1.熟练记忆基本求导公式和函数的求导法则,是正确进行导数运算的基础. 2.掌握导数运算在判断函数的单调性、求函数的极大(小)值中的应用,尤其要重视导数运算在解决实际问题中的最值问题时所起的作用. 14.1 导数的概念与运算 ●知识梳理 1.导数的概念:(1)如果当Δx→0时,有极限,我们就说函数y=f(x)在点x0处可导,并把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数,记作f′(x0),即f′(x0)==. (2)如果函数f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导,就说f(x)在开区间(a,b)内可导.这时对于开区间(a,b)内每一个确定的值x0,都对应着一个确定的导数f′(x0),这样就在开区间(a,b)内构成一个新的函数,这一新函数叫做f(x)在开区间(a,b)内的导函数,记作f′(x),即f′(x)=,导函数也简称导数. 2.导数的几何意义:函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率. 3.几种常见的导数: C′=0(C为常数);(xn)′=nxn-1;(sinx)′=cosx;(cosx)′=-sinx;(ex)′=ex;(ax)′=axlna;(lnx)′=;(logax)′=logae. 4.导数的四则运算法则: 设u、v是可导函数,则 (u±v)′=u′±v′;(uv)′=u′v+uv′;()′= (v≠0). 特别提示 f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的实质是“增量之比的极限”,但在计算中取它的应用含义:f′(x0)是函数f(x)的导函数f′(x)当x=x0时的函数值. ●点击双基 1.在曲线y=x2+1的图象上取一点(1,2)及邻近一点(1+Δx,2+Δy),则为 A.Δx++2 B.Δx--2 C.Δx+2D.2+Δx- 解析:==Δx+2. 答案:C 2.设函数f(x)在x=x0处可导,则 A.与x0,h都有关 B.仅与x0有关而与h无关 C.仅与h有关而与x0无关 D.与x0、h均无关 答案:B 3.设f(x)=ax3+3x2+2,若f′(-1)=4,则a的值等于 A. B. C. D. 解析:f′(x)=3ax2+6x,f′(-1)=3a-6=4,所以a=. 答案:D 4.函数y=x2的曲线上点A处的切线与直线3x-y+1=0的夹角为45°,则点A的坐标为___________. 解析:设点A的坐标为(x0,y0), 则y′|x=x=2x|x=x=2x=k1,又直线3x-y+1=0的斜率k2=3. ∴tan45°=1==||.解得x0=或x0=-1.∴y0=或y0=1,即A点坐标为(,)或(-1,1). 答案:(,)或(-1,1) ●典例剖析 【例1】 若f′(x0)=2,求. 剖析:根据导数的定义. 解:f′(x0)=(这时Δx=-k). ∴ =[-·] =-· =-f′(x0)=-1. 评述:注意f′(x0)=中Δx的形式的变化,在上述变化中可以看到Δx=-k,k→0-k→0, ∴f′(x0)=,还可以写成f′(x0)=或 f′(x0)=[f(x0+)-f(x0)]等. 【例2】 若f(x)在R上可导,(1)求f(-x)在x=a处的导数与f(x)在x=-a处的导数的关系;(2)证明:若f(x)为偶函数,则f′(x)为奇函数. 剖析:(1)需求f(-x)在x=a处的导数与f(x)在x=-a处的导数;(2)求f′(x),然后判断其奇偶性. (1)解:设f(-x)=g(x),则 g′(a)= = =- =-f′(-a). ∴f(-x)在x=a处的导数与f(x)在x=-a处的导数互为相反数. (2)证明:f′(-x)= = =- =-f′(x). ∴f′(x)为奇函数. 评述:用导数的定义求导数时,要注意Δy中自变量的变化量应与Δx一致. 深化拓展 (2)中若f(x)为奇函数,f′(x)的奇偶性如何? 【例3】 求下列函数的导数: (1)y=x2sinx; (2)y=ln(x+); (3)y=; (4)y=. 解:(1)y′=(x2)′sinx+x2(sinx)′=2xsinx+x2cosx. (2)y′=·(x+)′ =(1+) =. (3)y′= =. (4)y′= = =. 思考讨论 函数f(x)在点x0处是否可导与是否连续有什么关系? ●闯关训练 夯实基础 1.(2004年全国Ⅱ,文3)曲线y=x3-3x2+1在点(1,-1)处的切线方程为 A.y=3x-4 B.y=-3x+2 C.y=-4x+3 D.y=4x-5 解析:y′=3x2-6x,∴y′|x=1=-3. ∴在(1,-1)处的切线方程为y+1=-3(x-1). 答案:B 2.(2004年全国Ⅳ,文4)函数y=(x+1)2(x-1)在x=1处的导数等于 A.1 B.2 C.3 D.4 解析:y′|x=1=[(x2+2x+1)(x-1)]′|x=1=[x3+x2-x-1]′|xx=1=(3x2+2x-1)| x=1=4. 答案:D 3.(2004年湖北,文3)已知函数f(x)在x=1处的导数为3,则f(x)的解析式可能为 A.f(x)=(x-1)2+3(x-1) B.f(x)=2(x-1) C.f(x)=2(x-1)2 D.f(x)=x-1 答案:A 4.(2004年重庆,理14)曲线y=2-x2与y=x3-2在交点处的切线夹角是__________.(以弧度数作答) 解析:由得x3+2x2-16=0,(x-2)(x2+4x+8)=0,∴x=2. ∴两曲线只有一个交点. ∵y′=(2-x2)′=-x,∴y′|x=2=-2. 又y′=(-2)′=x2,∴当x=2时,y′=3. ∴两曲线在交点处的切线斜率分别为-2、3, ||=1.∴夹角为. 答案: 5.设f(x)在x=1处连续,且f(1)=0,=2,求f′(1). 解:∵f(1)=0, =2, ∴f′(1)= = ==2. 6.设函数y=ax3+bx2+cx+d的图象与y轴交点为P点,且曲线在P点处的切线方程为12x-y-4=0.若函数在x=2处取得极值0,试确定函数的解析式. 解:∵y=ax3+bx2+cx+d的图象与y轴的交点为P,∴P的坐标为P(0,d).又曲线在点P处的切线方程为y=12x-4,P点坐标适合方程,从而d=-4. 又切线斜率k=12,故在x=0处的导数y′|x=0=12,而y′=3ax2+2bx+c,y′|x=0=c,从而 c=12. 又函数在x=2处取得极值0,所以 y′|x=2=0, f(2)=0,即 12a+4b+12=0, 8a+4b+20=0. 解得a=2,b=-9. ∴所求函数解析式为y=2x3-9x2+12x-4. 培养能力 7.已知函数f(x)=e-x(cosx+sinx),将满足f′(x)=0的所有正数x从小到大排成数列{xn}. 求证:数列{f(xn)}为等比数列. 证明:f′(x)=-e-x(cosx+sinx)+e-x(-sinx+cosx)=-2e-xsinx, 由f′(x)=0,即-2e-xsinx=0, 解得x=nπ,n∈Z.从而xn=nπ(n=1,2,3…),f(xn)=(-1)ne-πn. 所以=-e-π. 所以数列{f(xn)}是公比q=-e-π的等比数列. 8.已知函数f(x)=ln(ex+a)(a>0). (1)求函数y=f(x)的反函数y=f-1(x)及f(x)的导数f′(x); (2)假设对任意x∈[ln(3a),ln(4a)],不等式|m-f-1(x)|+ln(f′(x))<0成立,求实数m的取值范围. 解:(1)由y=f(x)=ln(ex+a), 得x=ln(ey-a),所以 y=f-1(x)=ln(ex-a)(x>lna). f′(x)=[ln(ex+a)]′=. (2)由|m-f-1(x)|+ln(f′(x))<0,得 ln(ex-a)-ln(ex+a)+x<m<ln(ex-a)+ln(ex+a)-x. 设(x)=ln(ex-a)-ln(ex+a)+x,(x)=ln(ex-a)+ln(ex+a)-x,于是原不等式对于x∈[ln(3n),ln(4a)]恒成立.等价于(x)<m<(x).(*) 由′(x)=-+1, ′(x)=+-1,注意到0<ex-a<ex<ex+a. 故有′(x)>0,′(x)>0,从而(x)、(x)均在[ln(3a),ln(4a)]上单调递增,因此不等式(*)成立当且仅当(ln(4a))<m<(ln(3a)),即ln(a)<m<ln(a). 探究创新 9.利用导数求和: (1)Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1(x≠0,n∈N *). (2)Sn=C+2C+3C+…+nC (n∈N *). 解:(1)当x=1时,Sn=1+2+3+…+n= (n+1), 当x≠1时,∵x+x2+x3+…+xn=, 两边对x求导,得Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1=()=. (2)∵(1+x)n=1+Cx+C x2+…+C xn, 两边对x求导,得n(1+x)n-1=C+2Cx+3Cx2+…+nC x n-1. 令x=1,得n·2n-1=C +2C+3C+…+nC, 即Sn=C+2C +3C +…+nC=n·2n-1. ●思悟小结 1.求函数y=f(x)在点x0处的导数通常有以下两种方法: (1)导数的定义,即求的值. (2)利用导函数的函数值,即先求函数f(x)在开区间(a,b)内的导函数f′(x),再将x0(x0∈(a,b))代入导函数f(x),得函数值f′(x0). 2.求复合函数的导数的方法步骤: (1)分清复合函数的复合关系,选好中间变量. (2)运用复合函数求导法则求复合函数的导数,注意分清每次是哪个变量对哪个变量求导数. (3)根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数,并把中间变量换成自变量的函数. 3.本单元重点体现了极限思想、函数思想及等价转化的思想,在学习过程中应用心体会. ●教师下载中心 教学点睛 1.在该节教学中要重视对导数的概念、导数的几何意义的理解,注重对导数基本公式的熟练运用. 2.可补充导数的另一种定义形式:f′(x0)=. 拓展题例 【例题】 讨论函数f(x)=在x=0处的可导性. 解:函数f(x)在x=0处是否可导,即当Δx→0时的极限是否存在. ∵ = =1, = =0, 又∵≠, ∴当Δx→0时的极限不存在,因此f(x)在x=0处不可导.查看更多