高考第一轮复习数学141导数的概念与运算

高考第一轮复习数学141导数的概念与运算

本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考 ‎※第十四章 导数 ‎●网络体系总览 ‎●考点目标位定位 要求：（1）了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.‎ ‎（2）熟记基本求导公式〔C，xm（m为有理数），sinx,cosx,ex,ax,lnx,logax的导数〕，掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.‎ ‎（3）了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值.‎ ‎●复习方略指南 深入理解和正确运用极限的概念、法则是本章学习的基础,能对简单的初等函数进行求导是本章学习的重点,能把实际问题转化为求解最大（小）值的数学模型,应用导数知识去解决它是提高分析问题、解决问题能力,学好数学的关键.‎ ‎1.熟练记忆基本求导公式和函数的求导法则,是正确进行导数运算的基础.‎ ‎2.掌握导数运算在判断函数的单调性、求函数的极大（小）值中的应用,尤其要重视导数运算在解决实际问题中的最值问题时所起的作用.‎ ‎14.1 导数的概念与运算 ‎●知识梳理 ‎1.导数的概念：（1）如果当Δx→0时，有极限，我们就说函数y=f（x）在点x0处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x0处的导数，记作f′（x0），即f′（x0）==.‎ ‎（2）如果函数f（x）在开区间（a,b）内每一点都可导，就说f（x）在开区间（a,b）内可导.这时对于开区间（a,b）内每一个确定的值x0,都对应着一个确定的导数f′（x0）,这样就在开区间（a,b）内构成一个新的函数，这一新函数叫做f（x）在开区间（a,b）内的导函数，记作f′（x）,即f′（x）=，导函数也简称导数.‎ ‎2.导数的几何意义：函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f（x）在点P（x0,f（x0））处的切线的斜率.‎ ‎3.几种常见的导数：‎ C′=0（C为常数）;（xn）′=nxn－1;（sinx）′=cosx;（cosx）′=－sinx;（ex）′=ex;（ax）′=axlna;（lnx）′=;（logax）′=logae.‎ ‎4.导数的四则运算法则：‎ 设u、v是可导函数，则 ‎（u±v）′=u′±v′;（uv）′=u′v+uv′;（）′= （v≠0）.‎ 特别提示 f（x）在x=x0处的导数f′（x0）的实质是“增量之比的极限”，但在计算中取它的应用含义：f′（x0）是函数f（x）的导函数f′（x）当x=x0时的函数值.‎ ‎●点击双基 ‎1.在曲线y=x2+1的图象上取一点（1,2）及邻近一点（1+Δx,2+Δy）,则为 A.Δx++2 B.Δx－－2‎ C.Δx+2D.2+Δx－ 解析:==Δx+2.‎ 答案:C ‎2.设函数f（x）在x=x0处可导,则 A.与x0,h都有关 B.仅与x0有关而与h无关 C.仅与h有关而与x0无关 D.与x0、h均无关 答案:B ‎3.设f（x）=ax3+3x2+2,若f′（－1）=4,则a的值等于 A. B. C. D. 解析:f′（x）=3ax2+6x,f′（－1）=‎3a－6=4,所以a=.‎ 答案:D ‎4.函数y=x2的曲线上点A处的切线与直线3x－y+1=0的夹角为45°,则点A的坐标为___________.‎ 解析:设点A的坐标为（x0,y0）,‎ 则y′|x=x=2x|x=x=2x=k1,又直线3x－y+1=0的斜率k2=3.‎ ‎∴tan45°=1==||.解得x0=或x0=－1.∴y0=或y0=1,即A点坐标为（，）或（－1，1）.‎ 答案:（，）或（－1，1）‎ ‎●典例剖析 ‎【例1】 若f′（x0）=2,求.‎ 剖析:根据导数的定义.‎ 解:f′（x0）=（这时Δx=－k）.‎ ‎∴ ‎=［－·］‎ ‎=－· ‎=－f′（x0）=－1.‎ 评述:注意f′（x0）=中Δx的形式的变化,在上述变化中可以看到Δx=－k,k→0－k→0,‎ ‎∴f′（x0）=,还可以写成f′（x0）=或 f′（x0）=［f（x0+）－f（x0）］等.‎ ‎【例2】 若f（x）在R上可导，（1）求f（－x）在x=a处的导数与f（x）在x=－a处的导数的关系；（2）证明：若f（x）为偶函数，则f′（x）为奇函数.‎ 剖析:（1）需求f（－x）在x=a处的导数与f（x）在x=－a处的导数；（2）求f′（x），然后判断其奇偶性.‎ ‎（1）解:设f（－x）=g（x）,则 g′（a）= ‎= ‎=－ ‎=－f′（－a）.‎ ‎∴f（－x）在x=a处的导数与f（x）在x=－a处的导数互为相反数.‎ ‎（2）证明:f′（－x）= ‎= ‎=－ ‎=－f′（x）.‎ ‎∴f′（x）为奇函数.‎ 评述:用导数的定义求导数时，要注意Δy中自变量的变化量应与Δx一致.‎ 深化拓展 ‎（2）中若f（x）为奇函数，f′（x）的奇偶性如何？‎ ‎【例3】 求下列函数的导数：‎ ‎（1）y=x2sinx;‎ ‎（2）y=ln（x＋）;‎ ‎（３）y=;‎ ‎（４）y=.‎ 解:（1）y′=（x2）′sinx＋x2（sinx）′=2xsinx＋x2cosx.‎ ‎（2）y′=·（x＋）′‎ ‎=（1＋）‎ ‎=.‎ ‎（３）y′= ‎=.‎ ‎（4）y′= ‎= ‎=.‎ 思考讨论 函数f（x）在点x0处是否可导与是否连续有什么关系？‎ ‎●闯关训练 夯实基础 ‎1.（2004年全国Ⅱ,文3）曲线y=x3－3x2+1在点（1，－1）处的切线方程为 A.y=3x－4 B.y=－3x+2‎ C.y=－4x+3 D.y=4x－5‎ 解析:y′=3x2－6x,∴y′|x=1=－3.‎ ‎∴在（1,－1）处的切线方程为y+1=－3（x－1）.‎ 答案:B ‎2.（2004年全国Ⅳ,文4）函数y=（x+1）2（x－1）在x=1处的导数等于 A.1 B‎.2 C.3 D.4‎ 解析:y′|x=1=［（x2+2x+1）（x－1）］′|x=1=［x3+x2－x－1］′|xx=1=（3x2+2x－1）| x=1=4.‎ 答案:D ‎3.（2004年湖北,文3）已知函数f（x）在x=1处的导数为3,则f（x）的解析式可能为 A.f（x）=（x－1）2+3（x－1）‎ B.f（x）=2（x－1）‎ C.f（x）=2（x－1）2‎ D.f（x）=x－1‎ 答案:A ‎4.（2004年重庆,理14）曲线y=2－x2与y=x3－2在交点处的切线夹角是__________.（以弧度数作答）‎ 解析:由得x3+2x2－16=0,（x－2）（x2+4x+8）=0,∴x=2.‎ ‎∴两曲线只有一个交点.‎ ‎∵y′=（2－x2）′=－x,∴y′|x=2=－2.‎ 又y′=（－2）′=x2,∴当x=2时,y′=3.‎ ‎∴两曲线在交点处的切线斜率分别为－2、3,‎ ‎||=1.∴夹角为.‎ 答案: ‎5.设f（x）在x=1处连续，且f（1）=0,=2,求f′（1）.‎ 解:∵f（1）=0, =2,‎ ‎∴f′（1）= ‎= ==2.‎ ‎6.设函数y=ax３＋bx2＋cx＋d的图象与y轴交点为P点，且曲线在P点处的切线方程为12x－y－４=0.若函数在x=2处取得极值0，试确定函数的解析式.‎ 解:∵y=ax3+bx2+cx+d的图象与y轴的交点为P，∴P的坐标为P（0,d）.又曲线在点P处的切线方程为y=12x－４，P点坐标适合方程，从而d=－４.‎ 又切线斜率k=12，故在x=0处的导数y′｜x=0=12,而y′=３ax2＋2bx＋c，y′｜x=0=ｃ，从而 c=12.‎ 又函数在x=2处取得极值0，所以 y′｜x=2=0,‎ f（2）=0,即 ‎12a‎＋４b＋12=0,‎ ‎８a‎＋４b＋20=0.‎ 解得a=2，b=－9.‎ ‎∴所求函数解析式为y=2x3－9x2＋12x－４.‎ 培养能力 ‎7.已知函数f（x）=e－x（cosx+sinx）,将满足f′（x）=0的所有正数x从小到大排成数列｛xn｝.‎ 求证：数列｛f（xn）｝为等比数列.‎ 证明:f′（x）=－e－x（cosx+sinx）+e－x（－sinx+cosx）=－2e－xsinx,‎ 由f′（x）=0,即－2e－xsinx=0,‎ 解得x=nπ,n∈Z.从而xn=nπ（n=1,2,3…）,f（xn）=（－1）ne－πn.‎ 所以=－e－π.‎ 所以数列｛f（xn）｝是公比q=－e－π的等比数列.‎ ‎8.已知函数f（x）=ln（ex+a）（a＞0）.‎ ‎（1）求函数y=f（x）的反函数y=f－1（x）及f（x）的导数f′（x）;‎ ‎（2）假设对任意x∈［ln（‎3a）,ln（‎4a）］，不等式|m－f－1（x）|+ln（f′（x））＜0成立，求实数m的取值范围.‎ 解:（1）由y=f（x）=ln（ex+a），‎ 得x=ln（ey－a），所以 y=f－1（x）=ln（ex－a）（x＞lna）.‎ f′（x）=［ln（ex+a）］′=.‎ ‎（2）由|m－f－1（x）|+ln（f′（x））＜0,得 ln（ex－a）－ln（ex+a）+x＜m＜ln（ex－a）+ln（ex+a）－x.‎ 设（x）=ln（ex－a）－ln（ex+a）+x,（x）=ln（ex－a）+ln（ex+a）－x,于是原不等式对于x∈［ln（3n）,ln（‎4a）］恒成立.等价于（x）＜m＜（x）.（*）‎ 由′（x）=－+1,‎ ′（x）=+－1,注意到0＜ex－a＜ex＜ex+a.‎ 故有′（x）＞0,′（x）＞0,从而（x）、（x）均在［ln（‎3a）,ln（‎4a）］上单调递增,因此不等式（*）成立当且仅当（ln（‎4a））＜m＜（ln（‎3a））,即ln（a）＜m＜ln（a）.‎ 探究创新 ‎9.利用导数求和：‎ ‎（1）Sn=1+2x+3x2+…+nxn－1（x≠0,n∈N *）.‎ ‎（2）Sn=C+‎2C+‎3C+…+nC （n∈N *）.‎ 解:（1）当x=1时，Sn=1+2+3+…+n= （n+1）,‎ 当x≠1时，∵x+x2+x3+…+xn=,‎ 两边对x求导，得Sn=1+2x+3x2+…+nxn－1=()=.‎ ‎（2）∵（1+x）n=1+Cx+C x2+…+C xn,‎ 两边对x求导，得n（1+x）n－1=C+‎2Cx+‎3Cx2+…+nC x n－1.‎ 令x=1,得n·2n－1=C +‎2C+‎3C+…+nC,‎ 即Sn=C+‎2C +‎3C +…+nC=n·2n－1.‎ ‎●思悟小结 ‎1.求函数y=f（x）在点x0处的导数通常有以下两种方法：‎ ‎（1）导数的定义，即求的值.‎ ‎（2）利用导函数的函数值,即先求函数f（x）在开区间（a,b）内的导函数f′（x）,再将x0（x0∈（a,b））代入导函数f（x）,得函数值f′（x0）.‎ ‎2.求复合函数的导数的方法步骤：‎ ‎（1）分清复合函数的复合关系，选好中间变量.‎ ‎（2）运用复合函数求导法则求复合函数的导数，注意分清每次是哪个变量对哪个变量求导数.‎ ‎（3）根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数.‎ ‎3.本单元重点体现了极限思想、函数思想及等价转化的思想，在学习过程中应用心体会.‎ ‎●教师下载中心 教学点睛 ‎1.在该节教学中要重视对导数的概念、导数的几何意义的理解，注重对导数基本公式的熟练运用.‎ ‎2.可补充导数的另一种定义形式：f′（x0）=.‎ 拓展题例 ‎【例题】 讨论函数f（x）=在x=0处的可导性.‎ 解:函数f（x）在x=0处是否可导，即当Δx→0时的极限是否存在.‎ ‎∵ ‎= =1,‎ ‎= =0,‎ 又∵≠,‎ ‎∴当Δx→0时的极限不存在，因此f（x）在x=0处不可导.‎