惠州市2020届高三第二次调研考试 文科数学参考答案与评分细则

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数学试题（文科）答案 第1页，共11页 惠州市 2020 届高三第二次调研考试 文科数学参考答案与评分细则 一、选择题： 1．【解析】  1Q x x=，所以 ( 12PQ= ， ，故选 C． 2．【解析】 ( 1 )z 2ii− = + ， 2(2)(1)13z 1(1)(1)2 iiii iii ++++===−−+ ， 13 22zi=− ， z 的共轭复数为 ，故选 D． 3．【解析】由题意，根据诱导公式得 ( ) 1sinsin 3−== ， 又因为sin 0  ，所以 2  ，所以 22cos 3 =− ， 所以 12 24 2sin 22sincos2 339 == −= −  ，故选 A． 4．【解析】5 部中任意选取 2 部的所有事件共有 10 种，所选的 2 部专著都不是汉、魏、晋、南北 朝时期专著的情况只有 1 种，根据对立事件的概率公式可知选 B． 5．【解析】样本数据 1x ， 2x ，  ， 10x 的方差为 8 ，所以数据 121x − ， 221x − ， ， 1021x − 的方差为 22832= ，故选 D． 6.【解析】不等式 2 320xx−+ ，解得 2x  或 1x  ，所以 2x  ， 2 3 2 0xx− +   2x  ，“ ”是“ ”的充分不必要条件. ①正确；若 pq 为假命题，则 ,pq至少有一个为假，故②错误；命题 :pxR 使得 2 10xx++ 的否定 p 为 xR ，均有 2 10xx+ +  .③正确，故答案选 B. 7．【解析】该几何体是一个半球上面有一个三棱锥，体积为： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D A B D B C D D B B D 数学试题（文科）答案 第2页，共11页 3 11142211113223266V =+=+  ，故选 C． 8．【解析】双曲线 2 2 1 14 xCy−=： 的离心率为 5 2 ，设 2 ( ,0 )Fc ，双曲线 2C 一条渐近线方程为 byxa= ， 可得 2 22 | |= bcFM ab+ =b，即有 22||OM c b a= − = ，由 2 16OMFS = ，可得 1 162 ab = ，即 32ab = ，又 222+a b c = 且 5= 2 c a ，解得 =8445abc ==， ， ，即有双曲线的实轴长为 16．故 选 D． 9．【解析】由题意可得： 2 ( )32k k Z + = +  ，据此可得： ()6kkZ =− ，令 k=0 可得： 6  =− ，选项 A 错误；函数的解析式为： ()2sin2 6fxx =− ，若 0, 2x   ，则 52,666x  −−  ，函数不具有单调性； 由 ()fx的图象向左平移 6  个单位可得到 2sin 22sin2666yxx =+−=+  的函数图 象，选项 C 错误；由 的图象向左平移 12  个单位可得到 2sin 2 2sin 212 6y x x= + − = 的图象，选项 D 正确． 10.【解析】设 ()ln1gxxx=−− ， ( 1 ) 0g = ， ' 1()1gx x=− ，当 (1,)x+ ， ' ()0gx ， ()gx 单 调增，当 (0 ,1 )x  ， ' ()0gx ， 单调减，则 ()(1)0gxg =． 故 1() ln 1fx xx= −− 的定义域为 (0,1) (1, )x + ，且 ()fx 在 上单调增， 上单调减， ()0fx ，故选 B． （另解） 定义域为 ，故排除 A； 当 0x → 时，( ) 1ln 1 , 0ln 1xx xx− − → +  −− ，排除 D； 当 x → +时， 1ln 1 0, 0ln 1xx xx− −   −− ，排除 C；故选 B． 11. 【解析】由题意得 22 1 4nnaa+ −=， 2 1 4a = ，所以数列 2 na 是以 4 为首项 4 为公差的等差数 数学试题（文科）答案 第3页，共11页 列，则 2 4(1)44nann=+−= ，数列 }{ na 的各项均为正数，所以 2nan= ． 则 1 111 (1)2212nn nnaa nn+ ==+−+ ++ ，故数列       ++ nn aa 1 1 的前 n 项和 1111(21)(32)(1)(11)52222 nnn−+−+++−=+−= ，所以 120n = ．故选 B． 12．【解析】由已知得 22b = ，故 1b = ；∵ 1F A B△ 的面积为 23 2 − ， ∴ ( )123 22acb −−= ，∴ 23ac− = − ，又 ( )( )222 1acacacb−=−+== ， ∴ 2a = ， 3c = ，∴ ( ) 12 2 1212 11 11 1124 4 4 PFPF a PFPFPFPF PFPF PFPF ++=== − −+ ， 又 12323 PF−+ ，∴ 2 11144 PFPF−+ ，∴ 12 1114PFPF+ ． 即 12 11 PFPF+ 的取值范围为  14， ．故选 D． 二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空3分，第二空2分。 13． 12 13− 14．0 15.75 （或 5 12  ） 16． 5 :1 （3 分）， 5:1 （2 分） 【16 题注】结果也可以写成比值 5 和 5 。 13.【解析】由题意12(2)140kk++= ，得 12 13k =− ． 14.【解析】 (4)164210f −=−−= ， (10)1lg100f =−= ． 15.【解析】由 3( cos cos )a C c A b−=，根据正弦定理得 3(sin cossin cos ) sinACCAB−=， 即 33sin( ) 2AC−= ， 1sin( ) 2AC−=， 120 120AC−   −   ，所以 30AC−= ，又 180120ACB+=−= ， 2150A= ， 75A = ． 数学试题（文科）答案 第4页，共11页 16.【解析】设球 1O ，球 2O 的半径分别为 R, r ，由于正三棱柱的六个顶点都在同一个球面上，所以 球心在上下底面中心的连线的中点上，如图， ,,ABaOAROEr===， 在 O E A 中， 233133 ,323326AEaa OEraa===== 由于 222O A O E A E=+所以： 2222 51,1212Rara==，则球 与球 的半 径比为 5 ：1，所以球 与球 的表面积之比等于 2 22 22 2 5 4 12 514 12 aRR rr a   === ， 所以答案应填： 5 :1 ， 5:1 三．解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每 个考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 17．（本小题满分 12 分） 【解析】（1）设等差数列 {}na 公差为 d ，依题意 451 61 2720 65648 2 aaad Sad ，……2 分 解得 1 3 2 a d ……………………………………4 分【注】每算对 1 个给 1 分。 由 1 (1)naand …………………………………………………5 分 21nan， *nN …………………………………………6 分 （2） 1 11111 212322123n nn b a annnn ……………………8 分 1 1 1 1 1 1 1 2 3 5 5 7 2 1 2 3nT nn ……………………………………9 分 1 1 1 2 3 2 3n …………………………………………………………………10 分 因为 ，…………………………………11 分【注】无写出此步骤，本得分点不给分。 数学试题（文科）答案 第5页，共11页 所以 1 6nT ………………………………………………………………………12 分 18．（本小题满分 12 分） 【解析】（1）图中 16 个数据的中位数为 8 7 8 9 882 + = ，……………………1 分 所以平均数为 887355679925578703807906 16 a++++++++++++++++++ 88= ， 得1404 8816 a+ = ，………………………………………………………………………3 分 解得 4a = ；……………………………………………………………………………4 分 （2）依题意，记“满意”的 4 人为 a ，b ， c ， d ，“很满意”的 人为 1 ， 2 ， 3 ， .………5 分 从“满意”和“很满意”这 8 人中随机抽取 人的所有可能结果组成的基本事件有： ( , )ab ， ( , )ac ， ( , )ad ， ( ,1)a ， ( ,2 )a ， ( ,3)a ， ( ,4 )a ， ( , )bc ， ( , )bd ， ( ,1)b ， ( ,2 )b ， ( ,3 )b ， ( ,4 )b ， ( , )cd ， ( ,1)c ， ( ,2 )c ， ( ,3 )c ， ( ,4 )c ， ( ,1)d ， ( ,2 )d ，( ,3)d ， ( ,4 )d ， (1,2 ) ， (1,3 ) ， (1,4 ) ， (2 ,3 ) ， (2 ,4 ) ， ( 3 ,4 ) ，…7 分【注】列举不全，可得 1 分；不列举不得分。 共有 28 个.………………………………………………………………………………………8 分 用事件 A 表示“8 人中至少有 人是很满意”这一事件，则事件 包含的基本事件有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，…9 分【注】列举不全或不列举，本得分点不得分。 共有 22 个. ……………………………………………………………………………………10 分 所以事件 发生的概率 2211() 2814PA== ……………………………………………12 分 数学试题（文科）答案 第6页，共11页 19．（本小题满分 12 分） 【解析】（1）解法一：如图，∵平面 A B C D ⊥ 平面 ABEF ，矩形 A B C D 中， C B A B⊥ ， 平面 A B C D  平面 A B E F A B= ，CB 平面 A B C D …………..1 分【注】 此步骤缺少任意一个条件，本得分点不给分。 ∴CB ⊥ 平面 ，…………………………………………………..2 分 ∵ AF  平面 ，∴ A F C B⊥ .…………………………………..3 分 又∵ AB 为圆 O 的直径，∴ A F B F⊥ ， ∵ C B B F B=， CB  平面 C B F ， BF  平面 ，……..4 分【注】此步骤缺少任意一个条 件，本得分点不给分。 ∴ AF ⊥ 平面 ，………………………………………………..5 分 ∵ 平面 A D F ，∴平面 D A F ⊥ 平面 .………………..6 分 解法二：如图，∵平面 平面 ，矩形 中， D A A B⊥ ， 平面 平面 ， DA  平面 …………..1 分【注】 此步骤缺少任意一个条件，本得分点不给分。 ∴ DA ⊥ 平面 ，…………………………………………………..2 分 ∵ BF  平面 ，∴ DA BF⊥ .…………………………………..3 分 又∵ 为圆 的直径，∴ ， ∵ DAAFA=， DA  平面 D A F ， AF  平面 ，……..4 分【注】此步骤缺少任意一个 条件，本得分点不给分。 ∴ BF ⊥ 平面 D A F ，…………………………………………………..5 分 ∵ BF  面 ，∴平面 平面 .…….. ………………6 分 （2）解法一：记四棱锥 FABCD− 的体积为 1V ，记三棱锥 FBCE− 的体积为 2V ， 过点 F 作 FH AB⊥ ，交 于 H .………………..7 分 ∵平面 平面 ，且 FH  平面 ABEF ∴ FH ⊥平面 .……………………………………..8 分 设 AD a= ，由 //ABEF 知 1 2OH = ，又 3 2OF = 由勾股定理得 2FH = …………………………………….9 分 则 ( )1 1 3V AB BC FH=    ( )1 3 2 23 aa=    = ，…….10 分 数学试题（文科）答案 第7页，共11页 2 1 32 EFHFVBC =  1122 326 aa== ……….11 分 ∴ 1 2 2 6 2 6 V a V a ==………………………………………..12 分 （2）解法二：记四棱锥 F A B C D− 的体积为 1V ，记三棱锥 F B C E− 的体积为 2V ， 过点 F 作 F H A B⊥ ，交 AB 于 H .………………..7 分 ∵平面 A B C D ⊥ 平面 ABEF ，且 FH  平面 ABEF ∴ FH ⊥平面 A B C D .……………………………………..8 分 则 ( )1 1 3V AB BC FH=    ，………………………….9 分 …………………………….10 分 ∴ 1 2 2 6V AB VEF==………………………………………..12 分 20．（本小题满分 12 分） 【解析】（1）抛物线焦点为 ( )40， ，所以 4a = ，……….1 分 1 2 ce a==， 2c= ………………………………2 分 又 222abc=+，所以 2 12b = ．……………………3 分 所以椭圆 C 的方程为 22 11612 xy+=．…………………4 分 （2）由题意，当 APQBPQ=  时，知 AP 与 BP 斜率存在且斜率之和为 0 ．……5 分 设直线 PA 的斜率为 k ，则直线 BP 的斜率为 k− ，记 11( , y )A x ， 22(, y)B x ， 直线 2x = 与椭圆C 的两个交点 (2,3)P 、 (2,3)Q − ， 设 PA 的方程为 ( )32y k x− = − ，联立 ( ) 22 32 116 12 y k x xy − = − +=   ，…………………6 分 消 y 得( ) ( )2 2 2 23 4 8 3 48 122 16 0k x k k x kk −−+ + − + = ，…………………7 分 数学试题（文科）答案 第8页，共11页 由已知知 0 恒成立，所以 ( ) 1 2 8232 34 kkx k −+= + ，…………………………8 分 同理可得 ( ) 2 2 8232 34 kkx k ++= + ．……………………………………………9 分 所以 2 12 2 1612 34 kxx k −+= + ， 12 2 48 34 kxx k −−=+ …………………10 分 所以 ( )12 121 2 2 1 4 1 2AB kxxkyyk xxxx +−−=== −− ．…………………11 分 所以 AB 的斜率为定值 1 2 ．……………………………………12 分 21．（本小题满分 12 分） 【解析】（1）由 (1)10exeye−++−= 得该切线斜率为 1e e −− 且 ( )10f −=， 所以 ( ) 1(1)10fba e −=−+−=  ，……………………………………………1 分 解得 1a e= 或 1b = …………………………………………………………………2 分 又 ( )()1 xfxxbea =++− ，所以 1( 1) befaee − − = − = − ，……………… 3 分 若 ，则 20be=− ，与 0b  矛盾，……………………………………4 分 故 1a = ， .……………………………………………………………………5 分 （2）解法一：由（1）可知 ( )( )( ) 1 1xf x x e= + − ，由 0m  ，可得 2xmxx+， 令 ( )( )( ) 1 1xg x x e x= + − − ， ( )( )22 xgxxe =+− ，…….……………………6 分 当 2x − 时， ( )( ) 2 2 2 0xg x x e = + −  −  ， 当 2x − 时，设 ( )( ) ( ) 2 2xh x g x x e= = + − ，…….……………………………7 分 ( )( )30 xhxxe =+ ，故函数 ()gx 在( )2,− + 上单调递增，………………8 分 又 (0) 0g = ， 数学试题（文科）答案 第9页，共11页 所以当 ( ),0x  −  时， ( ) 0gx  ，即函数 ()gx 在区间 ( ),0− 上单调递减， 当 ( )0,x  +  时， ( ) 0gx  ，即函数 在区间 ( )0, + 上单调递增， ……9 分 min()(0)0gxg ==……………………………………………………………………10 分 所以 ( )( ) 2()(0)011 xgxgxexmxx=+−+ ，….………….……11 分 即 2()f x mx x+.………….………….………….………….………….……12 分 解法二：（2）由（1）可知 ( ) ( )()11 xfxxe =+− ，由 0m  ，可得 2x m x x+， 令 ( ) ( )()11 xgxxex=+−− ， ( )()22 xgxxe =+− ，…………………………6 分 令 ( ) ( )t x g x = ， ' ( ) ( 3 ) xt x x e =+ ……………………………………………………7 分 当 3x − 时， ' ( ) 0tx ， ()gx 单调递减，且 ( ) 0gx  ； 当 3x − 时， ' ( ) 0tx ， ()gx 单调递增，…………………………………………8 分 又 (0)0g  = ，  当 ( )3,0x− 时， ()0gx  ，当 时， 所以 ()gx 在 ( ,0 )− 上单调递减，在 (0 , )+ 上单调递增，……………………9 分 且 ，………………………………………………………………10 分 所以 ，…………………………11 分 故 .……………………………………………………………………12 分 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。 22．（本小题满分 10 分） 【解析】（1）由 1 xcos ysin   =  =+ 1 x cos y sin   =  −= ……1 分【注】无写出此步骤，本得分点不给分。 平方相加可得 ( )22 11xy+−=  圆 C 的普通方程为： …………………………2 分 又 cos , sinxy   == ………………3 分【注】无写出此步骤，本得分点不给分。 数学试题（文科）答案 第10页，共11页  ( ) ( )22cossin11 +−= ……………………………………4 分 化简得圆 C 的极坐标方程为： 2 s i n= . …………………………5 分 （2）解法一：把 6  = 代入圆的极坐标方程可得： 2 s in 16P  == ………………7 分 把 代入直线 l 极坐标方程可得： sin2 63  +=  2Q = ………………………………………………………………9 分 线段 PQ 的长 1PQPQ =−= ………………………………………10 分 解法二：把 代入圆的极坐标方程可得： ………………7 分 直线 极坐标方程化为直角坐标方程为 34yx= − + 射线 : 6OM  = 的直角坐标方程为 ( )3 03y x x=…………………8 分 记直线 与 x 轴交点为 A，则 O A Q 为直角三角形，其中∠QOA 为 30° 根据勾股定理可得 2OQ = …………………………………………………9 分 所以线段 PQ 的长 1PQOQOP=−= …………………………………10 分 23．（本小题满分 10 分） 【解析】（1）解法一：由题意知 20 xm xmx   −+ 或 20 xm mxx   −+ ……………………1 分 化简得： 3 xm mx   或 xm xm   − …………………………………………………………2 分 0m  不等式组的解集为 x xm− ……………………………………4 分 2m− = − ，解得： 2m = …………………………………………………………5 分 解法二：由题意知： 22xxmx− − ，…………………………………………1 分 所以 3 xm mx −  …………………………………………………………………2 分 数学试题（文科）答案 第11页，共11页 0m   不等式组的解集为  x x m− …………………………………4 分 2m− = − ，解得： 2m = ……………………………………………………5 分 （2）由（1）可知 a 、b 、 c 为正数且 2abc+ + = ………………………………6 分 由基本不等式有： 2 2b aba + ， 2 2c bcb + ， 2 2a cac + ……………8 分 三式相加可得： 222 222bca abcbcaabc+++++++ …………………9 分 2 2 2b c a abca b c + +  + + ， 即： 222 2b c a a b c+ +  （当且仅当 abc==时等号成立）………………………10 分