【数学】2019届一轮复习北师大版辨析函数与方程的根的情况学案

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【数学】2019届一轮复习北师大版辨析函数与方程的根的情况学案

一.方法综述 确定函数f(x)零点个数(方程f(x)=0的实根个数)的方法 ‎ ‎(1)判断二次函数f(x)在R上的零点个数,一般由对应的二次方程f(x)=0的判别式Δ>0,Δ=0,Δ<0 完成;对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数,则要结合二次函数的图象进行判断.‎ ‎(2)对于一般函数零点个数的判断,不仅要用到零点存在性定理,还必须结合函数的图象和性质才能确定,如三次函数的零点个数问题.‎ ‎(3)若函数f(x)在[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且是单调函数,又f(a)·f(b)<0,则y=f(x)在区间(a,b)内有唯一零点.‎ 二.解题策略 类型一 求方程解的个数 例1、(2013·高考安徽卷)若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1,x2,且f(x1)=x1,则关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数是(  )‎ A.3       B.4 C.5 D.6‎ ‎【答案】A ‎【解题秘籍】方程的解的个数问题可转化为求函数图象的交点的个数.‎ ‎【举一反三】若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x,则方程f(x)=log3|x|的解的个数是(  )‎ A.0 B.2 C.4 D.6‎ ‎【答案】C ‎【解析】画出周期函数f(x)和y=log3|x|的图象,如图所示,方程f(x)=log3|x|的解的个数为4. ‎ 热点题型二 已知方程的根求参数 例2.【2017广西柳州市模拟】设定义域为的函数若关于的方程有7个不同的实数解,则( )‎ A.6 B.4或6 C.6或2 D.2‎ ‎【答案】D ‎【举一反三】【2018广西南宁市摸底】设是定义在上的偶函数,且时,当时, ,若在区间内关于的方程且有且只有4个不同的根,则实数的范围是(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为对于任意的,都有, ‎ 所以,所以函数是一个周期函数,且,‎ 又因为当时, ,且函数是定义在R上的偶函数,‎ 若在区间内关于的方程恰有4个不同的实数解,‎ 则函数与在区间上有四个不同的交点,如下图所示 ‎ ‎ 又,则对于函数,由题意可得,当时的函数值小于1,即,由此解得,所以的范围是,故选D. ‎ 三.强化训练 ‎1.【2018湖北省襄阳市调研】已知函数,若a、b、c互不相等,且f (a) = f (b) = f (c),则 的取值范围是( )‎ A. (1, 2 017) B. (1,2 018) C. [2,2 018] D. (2,2 018)‎ ‎【答案】D[ 学 ]‎ ‎ ‎ ‎2.【2018湖北省稳派教育联考】已知定义在R上的函数满足,若关于的方程恰有5个不同的实数根,则的取值范围是( )‎ A. B. C. (1,2) D. (2,3)‎ ‎【答案】B ‎ 3.【2018内蒙古呼和浩特市调研】已知函数,若存在唯一的正整数,使得,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意设, 则, ‎ 所以 在(上递减,在(上递增, 且 , 在一个坐标系中画出两个函数图象如图 ‎ 因为存在唯一的正整数 ,使得即, 所以由图得,则 ,即 ‎ 解得,所以的取值范围是.故选C. ‎ ‎4.【2017河北唐山市摸底】设是方程的解,则所在的范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎ ‎ ‎5.【2017湖北百所重点校高三联考】设函数,若对任意,都存在,使得,则实数的最大值为( )‎ A. B.2 C. D.4‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题设可得关于方程有解,由于当时,,‎ 所以有解,即有解,所以,也即,‎ 故实数的最大值为,故应选A. ‎ ‎6.【2017年第二次全国大联考(山东卷)】已知函数且,若在内有且仅有两个不同的根,则实数的取值范围是(  )‎ A. B. [ ]‎ C.  D. ‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎7.【2017江西九江地区联考】若函数(,且)的值域是,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎ ‎8.【2017河北衡水中学一调】已知存在,使得,则的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】作出函数的图象,如图所示,‎ 因为存在当时,,所以,‎ 因为在上的最小值为在上的最小值为,‎ 所以,所以,‎ 因为,所以,‎ 令(),所以为开口向上,对称轴为上抛物线,‎ 所以在区间上递增,‎ 所以当时,,当时,,即的取值范围是 ‎,‎ 故选A.‎ ‎9.已知函数,则关于的方程的实根个数不可能为( ) ‎ A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 ‎【答案】A 所以有四个根,‎ 当时,方程有一个负根,三个正根,所以有七个根,‎ 当时,方程有三个正根,一个小于的负根,所以有八个根,‎ 当时,方程有两个正根,一个小于的负根,所以有六个根,‎ 当时,方程有一个正根一个小于的负根,所以有四个根,‎ 所以根的个数可能为,,,,,,故选A.‎ ‎ ‎ ‎10.【2018江西南昌摸底】已知函数,若不等式恒成立,则实数的取值范围为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎11.【2018河南漯河三模】已知函数,若,且,则 .‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】不妨设 , 则令 , 则 或 ; 故 ‎ 故 ‎.‎ ‎12.【2018安徽阜阳一中二模】已知 ,若关于的方程 恰好有个不相等的实数根,则实数的取值范围是______________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎
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